精品解析：山东省枣庄市薛城区五校联考2023-2024学年下学期八年级月考数学试题

八年级数学月考试卷 一、单选题（每题3分共30分） 1. 在式子、、、、、中，分式的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 5. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分共18分） 11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________． 12. 代数式有意义时，字母x的取值范围是______． 13. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________． 14. 已知关于的二次三项式可分解为，则的值为________． 15. 关于的分式方程有增根，则的值为_______． 16. 已知，则________． 三、解答题 17. （1）因式分解：． （2）． 18. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 19. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．求方程的解． 20. 先化简，然后再从、0、1、2四个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 21. 如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，时，求的面积． 22. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 23. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 24. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学月考试卷 一、单选题（每题3分共30分） 1. 在式子、、、、、中，分式的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据分式的定义可知与是分式， 分式的个数是2个， 故选：A． 2. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式．对A、B、C、D四个选项进行求解即可． 【详解】解：A、，从左到右是整式相乘，故A错误； B、，符合因式分解的定义，故B正确； C、，右边式子不是乘积的形式，故C错误； D、，右边式子不是乘积的形式，故D错误． 故选：B． 3. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 5. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可． 【详解】解：分式方程的两侧同乘得：． 故选：B． 6. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 7. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把分子合并分解因式，然后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 8. 小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设小强每小时骑行xkm，根据“小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等”即可列出方程． 【详解】解：∵小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行xkm， ∴小明每小时骑行（x﹣2）km． 依题意得：＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 9. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解： 解得： 且 ∵关于的分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解． 分为三种情况：①，②，③，分别画出即可． 【详解】解：以为圆心，以为半径画弧交轴于点和，此时三角形是等腰三角形，即2个； 以为圆心，以为半径画弧交轴于点（除外），此时三角形是等腰三角形，即个； 作的垂直平分线交轴于一点，则，此时三角形是等腰三角形，即个； 则满足条件的点有个． 故选：C． 二、填空题（每题3分共18分） 11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为， ∴这个多项式可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键． 12. 代数式有意义时，字母x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据题意可得，，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：，， 且， 即自变量x的取值范围是且． 13. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________． 【答案】23 【解析】 【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， 故答案为：23 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 14. 已知关于的二次三项式可分解为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，能熟记是解此题的关键，根据公式得出，，求出、，再求出答案即可． 【详解】解：关于的二次三项式可分解为， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 15. 关于的分式方程有增根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先去分母，根据分式方程有增根，求出，再代入整式方程求出． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 16. 已知，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键，原式化简得，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，，， ． 故答案为：0. 三、解答题 17. （1）因式分解：． （2）． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解和整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可解题； （2）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ． 18. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】根据题意，先对不等式组进行求解，然后将其解集在数轴上表示即可． 【详解】根据题意，令为①式，为②式 解：由①式得，由②式得 则原不等式组的解集为：． 【点睛】本题主要考查了不等式组的求解，熟练掌握不等式组的解法并将其解集在数轴上进行表示是解决本题的关键． 19. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．求方程的解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新运算的法则，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴原方程化为：， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为：． 20. 先化简，然后再从、0、1、2四个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2） 解：选择甲同学， 原式 ； ∵，， ∴取，原式； 选择乙同学， 原式 ； ∵，， ∴取，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）根据题意直接得到答案即可； （2）选择甲同学，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值． 选择乙同学，利用乘法分配律去括号，约分化简得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是②分式的基本性质；乙同学解法的依据是③乘法分配律； 故答案为：②；③； 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，时，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键． 22. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 多项式的最小值是； 【小问3详解】 解：， 即， ， ， ，，， ∴的周长为． 23. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）商场节后每千克A粽子的进价是10元； （2）商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克粽子的进价是10元； 【小问2详解】 设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 24. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2） （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 【解析】 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $