第五章小结-【同步课时练】2024年七年级数学上册（人教版）

92 本章小结 一、 知识结构网络 二、 重点难点精析 1. 一元一次方程的解法:解一元一次方 程的一般步骤是:(1)去分母;(2)去括号; (3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1. 注意:①去分母时,既要不漏乘不含分 母的项,又要注意分数线的括号作用,去掉 分母时分子要加括号. ②去括号时须正确运用乘法分配律和 去括号法则,不要漏乘括号内的某些项.如 果括号前面是负号,去掉括号和它前面的负 号,括号中的每一项都要变号. ③移项时一定要变号,同时不能漏项. ④系数化为1时,系数只能做分母,如 果系数是字母,要强调其不为0. 2. 列一元一次方程解决实际应用问题 的一般过程: (1)审题:弄清题意,了解题中的数量 关系. (2)找出相等关系:找出能够表示本题 全部含义的相等关系. (3)设出未知数,列出方程:设出未知数 后,表示出有关的含有未知数的式子,然后 利用已找出的等量关系列出方程. (4)解方程:解所列的方程,求出未知数 的值. (5)检验、写出答案:检验所求出的未知 数的值是否是方程的解,是否符合实际意 义,检验之后写出答案. 注意:①设未知数时,采用哪种方法设, 不能一概而论,要根据情况而定,不能生搬 硬套,一般直接设未知数法居多,不管用哪 种方法,要本着简单、容易的原则,设未知数 要表明代表的意义. ②大部分应用问题的数量关系都是通 过包含运算意义的词语体现出来的,如:和、 差、倍、分、增加、减少、超过、提前、几比几多 几等,解题时要抓住这些关键词寻找等量 关系. ③选择不同的等量关系,所列的方程也 就不同,但其结果是一样的.另外在解题时 要注意单位名称的统一,不要漏写“设”和 “答”,“设”和“答”要写上单位和名称. ④列方程时,不能一味模仿例题的解 法,不要死记题目的类型,从而把分析题中 的等量关系变成了判断题目所属类型上. 三、 典例赏析 考点1 一元一次方程的有关概念 和一元一次方程的定义有关的题目主 要有:(1)识别所给的方程哪个是一元一次 方程;(2)根据实际问题中的数量关系列出 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 方程;(3)根据方程的根,写出方程. 【例1】 一个两位数,十位上的数字比个位 上的数字小1,十位与个位上的数字的和是 这个两位数的1 5. 求这个两位数.(只需列出 方程) 【解析】 设十位上的数字为x,则个位上的 数字为x+1.根据题意,得x+(x+1)= 1 5 [10x+(x+1)]. 【答案】 x+(x+1)= 1 5 [10x+(x+1)] 【点评】 首先设出未知数,然后根据题目中 的等量关系列方程. 【例2】 已知关于x 的方程4x-3m=2的 解是x=m,则m 的值是 ( ) A. 2 B. -2 C. 2 7 D. - 2 7 【解析】 由题意可知,所给方程的解是x= m,根据方程解的定义,一元一次方程的解 能使方程左、右两边的值相等.把x=m 代 入原方程中,可得到关于 m 的一元一次方 程,解这个方程即可求出 m 的值.把x=m 代入已知方程4x-3m=2中,得4m-3m =2,解得m=2. 【答案】 A 【点评】 根据方程的解的概念,直接把方程 的解代入,从而建立新的一元一次方程即可 求解. 考点2 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是:去分 母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 等,把一个一元一次方程“转化”成x=a 的 形式.根据题意可交换顺序,去分母时注意 没有分母的项也要同乘分母的最小公倍数, 移项要改变符号,最后要养成检验的习惯. 【例3】 方程4x-1=3的解是 ( ) A. x=-1 B. x=1 C. x=-2 D. x=2 【解析】 本题主要考查移项法则,解题时要 注意移项必须改变符号,不 移 动 的 项 不 变 号.移项,得4x=4;系数化为1,得x=1. 【答案】 B 【例4】 解方程:2(x-1)+1=0. 【解析】 本题综合考查去括号、移项的法 则,在去括号时要注意:(1)运用乘法分配律 时,不要漏乘括号里的项;(2)当括号前面是 “-”,去括号时括号里的每一项都要变号; 移项时要注意改变符号. 去括号,得2x-2+1=0;合并同类项, 得2x-1=0;移项,得2x=1;系数化为1, 得x= 1 2. 【答案】 x= 1 2 【点评】 题目虽然简单,但是能很好地考查 同学们对基础知识的掌握情况. 【例5】 把方程3x+ 2x-1 3 =3- x+1 2 去分 母正确的是 ( ) A. 18x+2(2x-1)=18-3(x+1) B. 3x+(2x-1)=3-(x+1) C. 18x+(2x-1)=18-(x+1) D. 3x+2(2x-1)=3-3(x+1) 【解析】 准确地找到方程中各分母的最小 公倍数,利用等式的性质2去分母是解本题 的关键. 在方程的两边都乘分母2和3的最小公 倍数6,得18x+2(2x-1)=18-3(x+1). 【答案】 A 【点评】 解方程在去分母时要注意:(1)分 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 数线除了可以代替除号(÷)以外,还具有括 号的作用,如果分子是一个多项式,应该把 它看作一个整体,去分母时,通常用括号括 起来;(2)方程两边各项都乘各分母的最小 公倍数时,不要漏乘不含分母的项. 考点3 一元一次方程的实际应用 列方程解实际问题,特别是社会的热点 问题,是一个重点,也是考试中的一个热点. 列方程解实际问题的关键是从实际问题中 找出相等关系,并通过设未知数,根据相等 关系列出方程. 【例6】 小明准备为希望工程捐款,他现在 有20元,以后每月打算存10元.若设x 月 后他能捐出100元,则下列方程中能正确计 算出x 的是 ( ) A. 10x+20=100 B. 10x-20=100 C. 20-10x=100 D. 20x+10=100 【解析】 已知小明现有20元,每月打算存 10元,则x 月存入的钱为10x 元,由现有钱 数+x 月存入的钱数=100元可列一元一次 方程求解. 设小明x 月后他能捐出100元,根据题 意可得方程10x+20=100. 【答案】 A 【点评】 本题属于直接列方程解决实际问 题,它以为希望工程捐款作为背景,体现了 数学在日常生活中的重要应用价值. 【例7】 某商店销售一批服装,每件售价 150元,打八折出售后,仍可获利20元.设这 种服装的成本价为每件x 元,则x 满足的方 程是 . 【解析】 已知进价(即成本价)为x 元,每件 售价150元,打八折出售,根据售价=标价 ×折扣可得实际售价为150×80%元,再由 利润=售价-进价可列一元一次方程. 设这种服装的成本价为每件x 元,则每 件服装的实际售价为150×80%元,根据题 意,可列方程150×80%-x=20. 【答案】 150×80%-x=20 【点评】 对于商品销售问题要牢牢抓住基 本的数量关系:商品利润=商品售价-商品 进价,商品售价=商品标价×折扣,商品利 润率=商品利润/商品进价. 【例8】 我国对职业中专在校学生给予每生 每年补贴2 000元.某市预计今年职业中专 在校生人数是去年的1.2倍,且要在去年的 基础上增加投入600万元,今年该市职业中 专在校生有多少万人? 补贴多少万元? 【解析】 在这个问题中隐含了这样的相等 关系:今年职业中专在校学生生活补贴-去 年职业中专在校学生生活补贴=600万元. 设去年职业中专在校生为x 万人,则题中的 数量关系可表示如下表: 年份 在校生人数 (万人) 每生每年 补贴(万元) 合计 去年 x 2 000 2 000x 今年 1.2x 2 000 2 000×1.2x 【答案】 设去年职业中专在校生为x 万人, 根据题意,得2 000×1.2x-2 000x=600, 解得x=1.5.所以1.5×1.2=1.8(万人); 1.8×2 000=3 600(万元). 答:今年该市职业中专在校生有1.8万 人,补贴3 600万元. 【点评】 用方程解决实际问题,正确列出方 程是解决问题的关键,也是难点所在.在分 析问题中的数量关系时,利用表格可以帮助 我们快捷、有效地找准等量关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95 【例9】 请你替小健同学解答以下问题: 【解析】 根据图上信息知,购买名著的费用 =(65×20)元,购买辞典的费用=购买辞典 的本数×辞典的单价40元,购买辞典的费 用+购买名著的费用=2 000.根据相等关系 即可列出方程,问题得以解决. 【答案】 解:设还能买辞典x 本.根据题 意,得: 40x+65×20=2 000, 解得,x=17.5. 由于x 为整数,所以x=17. 答:最多还能买辞典17本. 【点评】 解决本题的关键是从图上信息中 找到相等关系.本题所隐含的相等关系是: 购买辞典的费用+购买名著的费用=2 000. 【例10】 某酒店客房部有三人间、双人间客 房,收费标准如下表. 普通/元/(间·天) 豪华/元/(间·天) 三人间 150 300 双人间 140 400 为吸引游客,实行团体入住五折优惠措 施.一个50人的旅游团优惠期间到该酒店 入住,住了一些三人普通间和双人普通间客 房.若每间客房正好住满,且一天共花去住 宿费1 510元,则旅游团住了三人普通间和 双人普通间客房各多少间? 【解析】 本题是一道表格信息题.通过观察 表格信息,可设三人普通间共住了x 人,则 双人普通间共住了(50-x)人,根据相等关 系:三人普通间的费用+双人普通间的费用 =1 510,列方程解决问题. 【答案】 解:设三人普通间共住了x 人,则 双人普通间共住了(50-x)人, 根据题意,得150×0.5× x 3+140×0.5 × 50-x 2 =1 510. 解得x=24,即50-x=26. 且24 3=8 (间),26 2=13 (间). 答:三人间普通客房、双人间普通客房 分别住了8间、13间. 【点评】 表格信息型问题是要求学生依据 所给出的信息通过整理、分析以及加工等手 段进行解答的一类实际应用问题.其主要考 查学生阅读表格和处理信息的能力. 考点4 创新应用 【例11】 符号“ a b c d ”称为二阶行列式, 规定它的运算法则为: a b c d =ad-bc.请 你根据上述规定求出下列等式中x 的值. 2 1 1-x 2 x-1 6 =1. 【解析】 2 1 1-x 2 x-1 6 =1, 整理得2× x-1 6 - 1-x 2 ×1=1. 解之得x= 11 5. 【答案】 x= 11 5 【点评】 本题是中考中的一类新型题目,考 查了解方程的知识.重点在于掌握题目中所 说的运算法则,将新知识转化为所学知识进 而求解,体现了数学中的转化思想,提高了 学生解决问题的能力. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋