考点28正弦定理、余弦定理（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

考点28正弦定理、余弦定理（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.理解三角形的面积公式并能应用. 3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 【知识点】 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝ ＝ ＝2R a2＝ ； b2＝ ； c2＝ 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝ ， c＝ ； (2)sin A＝， sin B＝ ， sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝____________ cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ 2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3．三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ ＝ ＝ ； (3)S＝ (r为三角形的内切圆半径)． 常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. (6)三角形中的面积S＝. 【核心题型】 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值 【例题1】（2024·广东江门·二模）是内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且，则 . 【变式2】（2024·山东日照·二模）的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． (1)求角； (2)若，，求． 【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　三角形的形状判断 判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 【例题2】（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的形状为 . 【变式2】（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【变式3】（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，证明：为直角三角形. 命题点2　三角形的面积 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【例题3】（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，则的面积等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式1】（2024·安徽·三模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足,，则的面积是 ． 【变式2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形中，内角对应边分别为且. (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，，求及的面积. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）在中，已知. (1)求证：； (2)若D为AB的中点，且，，求的面积. 命题点3　与平面几何有关的问题 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想 【例题4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，、分别在边、上，，且.则值是 ；的面积是 . 【变式2】（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【变式3】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆的半径为2，直线与圆相切于点，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记. (1)当时，求的面积； (2)试确定的值，使得的面积等于的面积的2倍. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 2．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·河南·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（    ） A． B． C．6 D． 4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在中，，为内一点，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·江西·二模）已知中，为的角平分线，交于点为中点，下列结论正确的是（  ） A． B． C．的面积为 D．在的外接圆上，则的最大值为 6．（2024·重庆·模拟预测）已知的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为锐角三角形 三、填空题 7．（2024·北京昌平·二模）已知中，，则 ． 8．（2024·江苏·二模）设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 . 9．（2024·河南·三模）如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则 ； .    四、解答题 10．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 11．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． (1)求角； (2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·浙江金华·三模）在中，角的对边分别为，，.若，，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 2．（2024·青海西宁·二模）在中，内角的对边分别为，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出以下4个命题： （1）若，则； （2）若，则一定为直角三角形； （3）若，，，则外接圆半径为； （4）若，则一定是等边三角形. 则其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．（2024·吉林长春·模拟预测）的内角所对的边分别为，则（    ） A．2 B． C． D．1 7．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形满足，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）若的三个内角为，则下列说法正确的有（    ） A．一定能构成三角形的三条边 B．一定能构成三角形的三条边 C．一定能构成三角形的三条边 D．一定能构成三角形的三条边 10．（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江·三模）已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（    ） A． B．若 ，则 有两解 C．当时， 为直角三角形 D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 三、填空题 12．（2024·全国·模拟预测）已知在中，点在线段上，且，则 ． 13．（2024·湖南长沙·二模）在中，若，，，则 . 14．（2024·福建厦门·三模）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（2024·陕西西安·模拟预测）设的内角所对的边分别是且向量满足. (1)求A； (2)若，求BC边上的高. 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，的角平分线与相交于点，且. (1)求的大小； (2)求的值. 17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且，在B处测得，在D处测得．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内） (1)求A，C两处景点之间的距离； (2)栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由． 18．（2024·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)证明：是锐角三角形； (2)若，求的面积． 19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上） 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________， (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·山东·二模）在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2024·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”中，准备修一条三角形健身步道，已知扇形的半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥P﹣ABC所有棱长都等于2，动点M在三棱锥P﹣ABC的外接球上，且的最大值为s，最小值为t，则（   ） A．2 B． C． D．3 二、多选题 5．（2024·湖北·模拟预测）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ） A．若，则 B．的最大值为 C． D．角的最小值为 6．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则一定是等边三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是钝角三角形 三、填空题 7．（2024·全国·三模）在中，，.若，则的面积为 . 8．（2024·陕西铜川·三模）已知的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则 . 9．（2024·广西·模拟预测）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积，则的取值范围为 ． 四、解答题 10．（2024·河南·三模）已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点． (1)若，求排水沟BD的长； (2)若，试用表示4条人行道的总长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点28正弦定理、余弦定理（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.理解三角形的面积公式并能应用. 3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 【知识点】 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3．三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. (6)三角形中的面积S＝. 【核心题型】 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值 【例题1】（2024·广东江门·二模）是内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，分别使用正弦定理，结合化简整理即可得解 【详解】因为， 所以， 设，因为，所以． 在中，由正弦定理可得， 则，即， 即， 解得． 故选：D 【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，由同角的平方关系可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】， ， .又， 所以，所以. 因为，由正弦定理知， 所以，又，所以. 故答案为： 【变式2】（2024·山东日照·二模）的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． (1)求角； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，利用余弦定理求得，即可求解； （2）设，在和中，利用正弦定理化简得到，结合三角函数基本关系式，联立方程组，求得的值. 【详解】（1）解：由分别以为边长的正三角形的面积依次为， 则，可得， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）解：设（其中为锐角）， 在和中，由正弦定理可得且， 于是， 又因为，所以， 化简得， 根据同角三角函数的基本关系式，可得， 因为，联立方程组，解得，即 【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； （2）延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以,， 所以,， 所以,． 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　三角形的形状判断 判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 【例题2】（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的形状为 . 【答案】等腰三角形或直角三角形. 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，得到，化简得到，进而得到答案. 【详解】因为，可得， 由正弦定理和余弦定理，可得， 整理得，即， 即，可得， 所以或，所以是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 【变式2】（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解； （2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 【变式3】（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，证明：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到，求出答案； （2）由（1）得到，结合，得到，化简得到，，得到答案. 【详解】（1）由， 可得， 所以， 所以， 则，即. （2）证明：由（1）可得. 又，所以， 即， 故， 所以， 即， 因为，所以为锐角， 解得（负值舍去），即， 所以为直角三角形. 命题点2　三角形的面积 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【例题3】（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，则的面积等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】由余弦定理得，，因为为三角形内角， 则， 所以， 故选：B． 【变式1】（2024·安徽·三模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足,，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】先化角为边结合余弦定理得出，利用可得，利用面积公式可得答案. 【详解】因为， 由正弦定理可得，整理得，， 因为，所以； 由得，即， 因为， 所以，即，所以三角形是正三角形， 因为，所以的面积是. 故答案为： 【变式2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形中，内角对应边分别为且. (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，，求及的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，根据式子特点，变换，从而可以化简三角恒等式为，最后利用辅助角公式求出； （2）设，可知用表示，，利用正弦定理可得公共边的式子，最后可得一个关于角的三角方程求解出角的大小，然后求出求出和，最后利用面积公式即可求出面积. 【详解】（1），由正弦定理边化角得： ，由三角形内角和为可得：， 即， 即， 又， 即，又，，即. （2）设，在中，， ，， ， 在中，，，， ， 即， ， ，又， ，解得， ， 又由 ， 于是 【变式3】（2024·全国·模拟预测）在中，已知. (1)求证：； (2)若D为AB的中点，且，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由，利用两角和与差的正弦函数化简求解； （2）由D为AB的中点，得到，再两边平方得到CA，CB的一个关系式，由，利用余弦定理得到再得到得到CA，CB的一个关系式，然后利用（1）的结论求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 因为，所以； （2）因为D为AB的中点，且，， 所以， 两边平方得， ， 即， 又， 即， 由（1）知， 解得，又，且， 所以，则. 命题点3　与平面几何有关的问题 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想 【例题4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故选：B 【变式1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，、分别在边、上，，且.则值是 ；的面积是 . 【答案】 / 【分析】分析可得，，在中，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得的值；求出的长，利用两角和的正弦公式求出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】因为，则，故， 因为，则为的中点，且， 在中，由正弦定理可得，即， 易知为锐角，故，可得， 所以，，则， ， ，故在中，为锐角，故， 所以，， 因此，. 故答案为：；. 【变式2】（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值； （2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解. （Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得； （Ⅱ）设，由， 可得，化简可得 有， 由于，所以， 所以， 则． 【变式3】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆的半径为2，直线与圆相切于点，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记. (1)当时，求的面积； (2)试确定的值，使得的面积等于的面积的2倍. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）过点作，利用圆的性质求得，代入面积公式直接求解即可； （2）设的面积为的面积为，结合三角形面积公式建立方程，利用辅助角公式化简求解即可. 【详解】（1）过点作交于点，如图： 因为圆的半径为2，由题意， 又，所以的面积为. （2）连接，设的面积为的面积为， 又，， 由题意知，所以，即，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以当时，使得的面积等于的面积的2倍. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】C 【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解. 【详解】由于, 故为钝角，进而三角形为钝角三角形 故选：C 2．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理化边为角求出角，在向量化求出边，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以， 在中，D为的中点，则， 则， 即，解得（舍去）， 所以. 故选：D. 3．（23-24高三下·河南·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用余弦定理求得，得到，结合，列出方程求得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】因为及，可得， 由余弦定理得， 又由，所以， 因为，即，解得， 由余弦定理得，即． 故选：D． 4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在中，，为内一点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，设，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解. 【详解】在中，设，令，    则，， 在中，可得，， 由正弦定理， 得， 所以， 可得，即． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦定理得到关系式. 二、多选题 5．（2024·江西·二模）已知中，为的角平分线，交于点为中点，下列结论正确的是（  ） A． B． C．的面积为 D．在的外接圆上，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】对每一个选项逐一判断，由余弦定理求出，再由角平分线定理可知，利用三角形面积公式求出，再设，将表示为的三角函数求最值即可判断. 【详解】在中，由余弦定理得， 由角平分线定理得：，所以A正确； 由得，解得，所以B错误； ，所以C正确； 在中， 设，则，由正弦定理得： ，其中，所以D正确. 故选：ACD. 6．（2024·重庆·模拟预测）已知的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AC 【分析】由正弦定理可判断A；余弦函数的单调性可判断B；由余弦定理可判断C，D. 【详解】对于A，在中，， 由正弦定理可得：，故A正确； 对于B，即， 因为在上单调递减，所以， ，故B错误； 对于C，， 因为，所以， 所以角为钝角，故C正确； 对于，，， 因为，所以， 则只能判断角为锐角，两角可能有钝角，故错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（2024·北京昌平·二模）已知中，，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求出，由同角三角函数的平方关系求出，最后由三角形的面积公式即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得：， 解得：，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 8．（2024·江苏·二模）设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意， 故答案为： 9．（2024·河南·三模）如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则 ； .    【答案】 【分析】根据题意结合角度关系分析可知：，，即可得结果；根据题意利用正项定理可得，，根据图形分别求，即可得结果. 【详解】在中，可知， 因为，且为的平分线，可知， 则， 在中，可得， 在中，可得， 所以； 因为， ， 在中，由正弦定理可得， 则，解得， 由正弦定理可得， 且为的平分线，则，可得， 在中，由正弦定理可得， 在中，可知，则， 在中，可知， 在中，可知， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 10．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)4，为等边三角形 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求； （2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状. 【详解】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时为等边三角形. 11．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． (1)求角； (2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，两式联立可得，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即， ，故， ，即， 又，则． （2） 由（1）可知，，又外接圆的半径为； 由正弦定理可知， 所以， 因为是的平分线，故， 又， 由， 可得，即．① 由余弦定理可知，，即．② 由①②可知． 所以， 又，则， 所以. 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·浙江金华·三模）在中，角的对边分别为，，.若，，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得, 即，即，解得或（舍）. 故选：C. 2．（2024·青海西宁·二模）在中，内角的对边分别为，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，利用余弦函数的单调性可得，进而可得，由正弦定理得，计算可求. 【详解】因为， 所以， 即，因为，则， 且余弦函数在上单调递减，所以， 所以，又，所以， 由正弦定理得，即， 所以. 故选：B. 3．（2024·山东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，即， 又由余弦定理得. 故选：C. 4．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出以下4个命题： （1）若，则； （2）若，则一定为直角三角形； （3）若，，，则外接圆半径为； （4）若，则一定是等边三角形. 则其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理得到和的大小关系，再利用倍角公式可以比较和，进而判断（1）；利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求角，判断（2）；利用余弦定理求出，再利用同角三角函数关系得，由正弦定理可以得到外接圆半径；根据三角形内角的范围和余弦值的范围可以对（4）进行判断. 【详解】（1）若，则，则， 则，即，故（1）是真命题； （2）若，由正弦定理得， 又因为，所以， 即整理可得， 因为，所以，所以，因为，故， 所以一定为直角三角形，故（2）是真命题； （3）若，，，由余弦定理得，则， 由正弦定理得，故外接圆半径，故（3）是假命题； （4）若，则， 则，从而，则一定是等边三角形，故（4）是真命题； 综上，真命题有3个. 故选：C. 5．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可得，即，再由两角差的正弦公式化简，可得，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以，所以， 因为.所以， 所以的形状为顶角为的等腰三角形. 故选：B. 6．（2024·吉林长春·模拟预测）的内角所对的边分别为，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】由已知可得，结合三角恒等变换，正弦定理可得，由此可求，再结合勾股定理求即可. 【详解】因为， 所以，故， 由正弦定理可得， 所以，又， 所以，又， 所以，， 故 由勾股定理可得， 所以， 故选：A. 7．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【分析】由正弦定理得，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展开式化简可得，解方程可得答案. 【详解】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A. 8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形满足，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由正弦定理结合圆的性质分别得到和，再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦展开式求解. 【详解】    设， 则，，， 在和中，由正弦定理可得；同理， 所以四边形的面积 ， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角形面积公式表示出四边形面积，再结合正弦定理求解. 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）若的三个内角为，则下列说法正确的有（    ） A．一定能构成三角形的三条边 B．一定能构成三角形的三条边 C．一定能构成三角形的三条边 D．一定能构成三角形的三条边 【答案】AD 【分析】根据题意，利用正弦定理和特例，结合构成三角形的条件，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理得， 所以作为三条线段的长一定能构成三角形，所以A正确； 对于B中，例如：设中，， 可得，可得， 显然作为三条线段不一定构成三角形，所以B错误； 对于C中，例如：设中，， 可得，所以， 此时，所以作为三条线段不能构成三角形，所以C错误； 对于D中，由正弦定理得， 不妨设，则，且， 又由，即， 所以D正确. 故选：AD. 10．（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】在中由正弦定理求解判断A；利用两角和差公式求解判断B；利用向量数量积计算判断C；利用数量积计算判断D． 【详解】在中，， 则， 由正弦定理知， 即，故A正确； ， ， ，故B正确； ，故C错误； ， 故，即，故D正确． 故选：ABD 11．（2024·浙江·三模）已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（    ） A． B．若 ，则 有两解 C．当时， 为直角三角形 D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 【答案】ACD 【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通过余弦定理及可得或，即可判断C；通过求的取值范围，并将即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以由及正弦定理得，， 由诱导公式得，， 因为，故，所以， 化解得，即， 所以或，即（舍）或，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即，得， 由，所以(负值舍)，即有一解，故B错误； 对于C，因为，两边平方得， 由余弦定理得， 由两式消得，，解得或， 由解得， 由解得; 故为直角三角形，故C正确； 对于D，因为为锐角三角形，且， 所以， 即， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·全国·模拟预测）已知在中，点在线段上，且，则 ． 【答案】 【分析】由题意，根据正弦定理、余弦定理计算即可求解. 【详解】在中，由余弦定理，得， 则，即， 在中，， 由正弦定理得，解得． 故答案为： 13．（2024·湖南长沙·二模）在中，若，，，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数关系求解，再由正弦定理可得解. 【详解】由已知，， 则，， 又， 所以，， 又根据正弦定理， 则， 故答案为：. 14．（2024·福建厦门·三模）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意及余弦定理可得的关系，由余弦定理可得，再由为锐角三角形可得，即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得：， 可得，在锐角中，由余弦定理可得： ， 因为，即，即， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·陕西西安·模拟预测）设的内角所对的边分别是且向量满足. (1)求A； (2)若，求BC边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行关系得到方程，结合正弦定理得到，求出； （2）由余弦定理得到，根据三角形面积得到方程，求出答案. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又，解得； （2）因为，所以， 即 化简得，解得或(舍去)， 由的面积，又， 故，解得. 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，的角平分线与相交于点，且. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理结合已知条件求出，即可得解； （2）依题意可得，由求出，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 又， 所以，因为， 所以. 因为，所以. （2）因为，所以. 因为平分，所以. 因为， 所以， 又，，所以， 解得， 因为，所以 ， 所以. 17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且，在B处测得，在D处测得．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内） (1)求A，C两处景点之间的距离； (2)栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由． 【答案】(1) (2)不垂直，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件利用正弦余弦定理求解即可； （2）在和中利用正弦余弦定理求解，然后计算是否为零即可. 【详解】（1）由已知在中，，，， 所以，则为等腰三角形， 则， 在中，，，， 则， 由正弦定理，即，解得， 在中，，， 由余弦定理， 即A，C两处景点之间的距离为； （2）在中，， 在中，因为， 所以， 由正弦定理， 即，得， 所以 ， 即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直. 18．（2024·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)证明：是锐角三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可； （2）由两角和的正弦公式求出，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以由正弦定理得，整理得． 则，因为，所以， 因为，所以，因为， 所以，所以是锐角三角形． （2）因为，所以， 所以． 在中，由正弦定理得，即，所以， 所以的面积为． 19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上） 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________， (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，利用正弦定理结合得到，求出答案； 选②，由正弦定理得到，利用余弦定理得到，求出答案； 选③，由正弦定理得到，由辅助角公式得到，求出答案； （2）利用正弦定理和余弦定理得到，结合△ABC为锐角三角形，求出，求出答案. 【详解】（1）若选① 因为， 由正弦定理得， 即， 所以， 由，得，所以，即， 因为，所以. 若选② 由，化简得. 由正弦定理得：，即，所以. 因为，所以. 若选③ 由正弦定理得，即， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以. （2）在中，由正弦定理，得， 由（1）知：，又с=1代入上式得： 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·山东·二模）在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 即，整理得， 由正弦定理得，则或，即或， 因此甲：或，显然甲不能推乙； 乙：是直角三角形，当角或是直角时，乙不能推甲， 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 故选：D 2．（2024·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式结合正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可 【详解】由及正弦定理得，即， 由及余弦定理可得， ∴，∴，∴. 又，∴. 故选：D. 3．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”中，准备修一条三角形健身步道，已知扇形的半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，在中利用正弦定理及三角形面积公式列出函数关系，再求出函数最大值即得. 【详解】设，由，得， 在中，由正弦定理得，即， 则的面积 ，显然，因此当，即时，， 所以面积的最大值为. 故选：A 4．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥P﹣ABC所有棱长都等于2，动点M在三棱锥P﹣ABC的外接球上，且的最大值为s，最小值为t，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意确定点的轨迹，结合余弦定理求的取值范围. 【详解】如图： 过作平面于，则正四面体的外接球球心（也是内切球球心）在线段上，设为，设内切球半径为，外接球半径为. 则，， 而，所以，. 因为在的外接球上，且， 所以在以为直径的球面上，取中点为， 则在圆上，圆所在的平面与垂直. 在中，，，， 过作于G，则为正的中心，且， 所以在中，，所以. 设，则当点共面时，取得最值，即 所以. 在中，由余弦定理：. 所以， 所以，，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是弄清楚点的轨迹.因为点满足，所以点在以为直径的球面上，又点在正四面体的外接球上，故点的轨迹上两球的交线，即如图所示的圆上. 二、多选题 5．（2024·湖北·模拟预测）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ） A．若，则 B．的最大值为 C． D．角的最小值为 【答案】ABC 【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模的计算公式判断C选项. 【详解】选项A，若，由余弦定理，得，所以， 则三角形面积，A正确； 选项B，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立， 由余弦定理可得， 则，B正确； 选项C，因为边上的中点为，所以， 而，即，则， 所以 ，故C正确； 选项D，因为，即， 所以由余弦定理得， 又，且函数在上单调递减，所以，D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则一定是等边三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】BCD 【分析】对于A：利用正弦定理得到或，即可判断；对于B：由余弦函数的有界性求出，即可判断；对于C：由余弦定理求出，即可判断；对于D：利用三角公式判断出或，即可得到答案. 【详解】对于A：因为，由正弦定理得：， 所以. 因为，为的内角，所以或， 所以或.所以是等腰三角形或直角三角形.错误； 对于B：由余弦函数的有界性可知：若. 因为，所以或. 当时，有且，所以， 所以是等边三角形. 当时，有且，不符合题意. 所以一定是等边三角形.正确； 对于C：因为，由余弦定理得：， 所以，所以，则一定是等腰三角形.正确； 对于D：在中，，所以 . 所以， 所以，即，所以或. 所以一定是钝角三角形，正确. 故选：BCD 三、填空题 7．（2024·全国·三模）在中，，.若，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合复数模的运算，根据数量积的定义求得，利用同角三角函数基本关系求得，然后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】，， 则，所以， 所以. 所以. 故答案为： 8．（2024·陕西铜川·三模）已知的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换，求得，再由，列出方程求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得，所以 又因为为的一条中线，可得， 所以， 即，解得或（舍）. 由余弦定理得. 故答案为：. 9．（2024·广西·模拟预测）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知求得， ，由余弦定理得，令，由锐角三角形及两角和正弦公式求的取值范围即可． 【详解】由三角形面积公式，结合，且为锐角三角形， 可知，即， 又由平方关系，所以， 即， 解得或（舍去）， 由余弦定理有， 所以， 令，所以， 故只需求出t的范围即可， 由正弦定理边化角得 ， 注意到在锐角中，有，简单说明如下： 若，则， 即B不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾， 所以在锐角中，有， 所以在锐角中，有， 因为正切函数在上单调递增，所以， 从而， 而函数在单调递减，在单调递增， 所以． 综上所述：的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题可以从以下方面解题 （1）通过三角形的面积公式及平方和关系求出三角函数值； （2）利用余弦定理将目标式子进行变形，并通过正弦定理确定的取值范围； （3）根据基本不等式解的取值范围即可. 四、解答题 10．（2024·河南·三模）已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在等腰中可得，进而得，在中运用正弦定理可求得的值. （2）求出的值，设，则，在、中，由正弦定理可得、，结合求解即可. 【详解】（1）如图所示，    在中，，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）如图所示，    当时，. 设，则. 在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即， 整理得，即，解得，即. 11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点． (1)若，求排水沟BD的长； (2)若，试用表示4条人行道的总长度． 【答案】(1)百米； (2)百米. 【分析】（1）在中，求出，，利用和差公式求，再由余弦定理可得； （2）设，利用正弦定理求得，，由和可得，，分别在，中求出，然后可得答案. 【详解】（1）因为，百米，百米， 所以百米，所以， 又，，所以为等腰直角三角形， 所以百米， 因为， 所以在中，由余弦定理得百米. （2）因为M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点， 所以百米，百米， 设，其中， 在中，由余弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 连接，则， 在中，，， 由余弦定理得 ， 在中，，， 由余弦定理得 ， 所以4条人行道的总长度为百米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$