精品解析：福建省龙岩市非一级达标校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023--2024学年第二学期半期考 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡--并交画. 4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一章至三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量X服从两点分布，，则（ ） A. 0.5 B. 0.57 C. 0.67 D. 0.77 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布的概念计算即可. 【详解】. 故选：C 2. 已知函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0和2 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象的单调性，分析即得函数的极大值点. 【详解】由图可知，在上单调递增，则, 在上单调递减，则,故的极大值点为1. 故选：B. 3. 与空间向量同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，结合与空间向量同向的单位向量为运算求解. 【详解】因为，则， 所以与空间向量同向的单位向量为. 故选：C. 4. 函数的图象在处切线的斜率为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】函数求导，利用导数的几何意义即得. 【详解】由求导可得，， 则函数在处切线的斜率为：. 故选：D. 5. 一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不达标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合超几何分布的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从中任意选取4个， 由超几何分布概率计算公式，可得恰有2个的尺寸不达标的概率为. 故选：A. 6. 若函数不存在极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意恒成立，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为的定义域为， 且， 又函数不存在极值， 则没有变号零点， 所以恒成立，则，解得， 即的取值范围是. 故选：D 7. 如图，在斜三棱柱中，，，，则（ ） A. 48 B. 32 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【详解】. 故选：C 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用函数单调性和作差法进行比较大小 【详解】令，所以， 且， 令，得或； 令，得， 所以在单调递增，在，单调递减， ，即，，即 由，所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. A与相互独立 B. 与相互对立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件、对立事件的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，即，A与相互独立，A正确； 对于B，由选项A知，，则，即与不互斥，不对立，B错误； 对于CD，，C正确，D错误. 故选：AC 10. 在空间直角坐标系中，已知，，，，，则（ ） A. B. 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 C. 从A，B，C，D，P，O这6个点中选2个点确定一条直线，则有13条不同的直线 D. 从A，B，C，D，P，O这6个点中选3个点确定一个平面，则有10个不同的平面 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量法求出，即可判断A，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可判断B，利用组合数公式判断C、D. 【详解】依题意，得到图形如图， 对于A：因为，， 所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则，故B错误； 对于C：因为，，三点共线， 所以从，，，，，这个点中选个点确定一条直线有条，故C正确； 对于D：因为，，，，五点共面，，，，四点共面， 从，，，，，这个点中选个点确定一个平面， 则有个不同的平面，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 的极大值点为 B. 函数的零点个数为3 C. 函数的零点个数为7 D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导函数求出单调区间，根据极值定义和奇偶性可判断A；数形结合判断B、C；赋值方法判断D 【详解】由题意得， 当时，，得， 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为1， 又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对； 当时，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以，所以 分别画出和的图象， 得函数的零点个数为3，B对； 令，得或或， 令，得，或， 如图，分别画出的图象， 由图可知：函数的零点个数为7， C 对； 令，则， 故D错； 故选：ABC 【点睛】方法点睛： 对于零点个数的求法：一是通过解方程求出零点，二是数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的距离公式，即可求解. 【详解】由点和，可得， 又由平面的一个法向量为，所以点B到平面PAD的距离为. 故答案为：. 13. 某校运动会短跑比赛有两个项目：100米短跑和400短跑．甲参加100米短跑比赛的概率为0.7，参加400米短跑比赛的概率为0.3，且甲参加100米短跑比赛夺冠的概率为0.7，参加400米短跑比赛夺冠的概率为0.8，则甲参加短跑比赛夺冠的概率为______． 【答案】0.73 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】事件：甲参加100米短跑比赛，事件：甲参加400米短跑比赛，事件：甲参加短跑比赛夺冠， 则，，，且互斥， 所以. 所以甲参加短跑比赛夺冠的概率为0.73. 故答案为：0.73 14. 已知函数，则_______________，的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由出导函数，令求得，由极限定义可得极限，再根据导数求得最小值． 【详解】由已知得，所以，解得， ， ，， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以的极小值也是最小值为， 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知福建某地生产的桂圆干是按包销售的，每包桂圆干的质量M（单位：g）服从正态分布，. （1）求； （2）若从该地生产的桂圆干中随机选取3包，记质量在247g～253g内的包数为X，求及. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. （2）由（1）的结论及二项分布求出概率及方差. 【小问1详解】 因为M服从正态分布，且，， 则，所以. 【小问2详解】 依题意，， 所以，. 16. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 分别为的中点， 平面， 平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得，再根据，即可证出. （2）建立空间直角坐标系，先求出平面AEF的法向量，再求出平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设平面AEF的法向量为，可得，故， 令，则解得，，得到平面的一个法向量为 易得平面的一个法向量为 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）当时，求在上的值域； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出区间端点值，即可得解； （2）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，则， 当时恒成立，所以在上单调递增， 又，， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当，即时恒成立，所以在上单调递减； 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 18. 一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）.现从盒子中一次性随机取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； （2）在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）X的分布列为 X 2 3 4 5 P 【解析】 【分析】（1）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型即可求出答案； （2）首先分析出X可能的值有5，4，3，2，再分别写出其对应概率，从而得到分布列，再结合数学期望公式即可得解. 【小问1详解】 7个球里取3个共有种， 3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3， 其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种， 所以总共有种， 所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为. 【小问2详解】 X的可能取值为2，3，4，5. 设“取出的3个小球中有黑色小球”，则， 所以，， ，. 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P . 19. 已知函数． （1）若，证明：在上单调递减． （2），，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再分析导函数的取值情况，即可得证； （2）依题意，恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，结合，求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，则， 当时，， 所以对恒成立，所以在上单调递减； 【小问2详解】 因为，恒成立， 即，恒成立， 令，则， 若，则在上恒成立，所以在上单调递减， 则，符合题意； 当时，令， 则， 当时，， 所以在上恒成立， 则在上单调递减， 所以， 当，即时在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上单调递减，则，符合题意； 当，即时，，， 所以，使得， 所以当时，即，所以在上单调递增， 则当时，不符合题意； 综上可得，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023--2024学年第二学期半期考 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡--并交画. 4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一章至三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量X服从两点分布，，则（ ） A. 0.5 B. 0.57 C. 0.67 D. 0.77 2. 已知函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0和2 3. 与空间向量同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象在处切线的斜率为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 5. 一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不达标的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数不存在极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在斜三棱柱中，，，，则（ ） A. 48 B. 32 C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. A与相互独立 B. 与相互对立 C. D. 10. 在空间直角坐标系中，已知，，，，，则（ ） A. B. 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 C. 从A，B，C，D，P，O这6个点中选2个点确定一条直线，则有13条不同的直线 D. 从A，B，C，D，P，O这6个点中选3个点确定一个平面，则有10个不同的平面 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 的极大值点为 B. 函数的零点个数为3 C. 函数的零点个数为7 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为______________. 13. 某校运动会短跑比赛有两个项目：100米短跑和400短跑．甲参加100米短跑比赛的概率为0.7，参加400米短跑比赛的概率为0.3，且甲参加100米短跑比赛夺冠的概率为0.7，参加400米短跑比赛夺冠的概率为0.8，则甲参加短跑比赛夺冠的概率为______． 14. 已知函数，则_______________，的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知福建某地生产的桂圆干是按包销售的，每包桂圆干的质量M（单位：g）服从正态分布，. （1）求； （2）若从该地生产的桂圆干中随机选取3包，记质量在247g～253g内的包数为X，求及. 16. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求在上的值域； （2）讨论的单调性． 18. 一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）.现从盒子中一次性随机取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； （2）在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列与数学期望. 19. 已知函数． （1）若，证明：在上单调递减． （2），，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $