精品解析：吉林省吉林市丰满区吉林松花江中学2023-2024学年九年级下学期第七次考试数学试题

逐梦芳华——阶段性学业水平测评卷 （吉林省版九年级第七次考试A卷） 数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 如图，用直尺量线段，可以读出的长度可能为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在数轴上表示的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ） A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥ 5. 要使的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，在上，，过点作的切线交的延长线于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 根据近两年吉林省高考人数的变化趋势，预计2024年吉林省高考人数将达到126000万人．将数据126000用科学记数法表示为_________． 8. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 9. 一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为_____． 10. 在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段PC的长，理由是_____． 11. 若关于的一元二次方程的判别式的值为，则____． 12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为__________． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则_________． 14. 如图，分别以正方形ABCD的顶点D，C为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分的周长为_______（结果保留π）． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式，请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先去括号，再合并同类项：． 解：原式  ． 16. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 17. 龙年是中国传统文化中的一个重要年份，每隔十二年就会重复一次．根据农历来算，2024年是甲辰年，也就是龙年．在中国传统文化中，龙象征着勇猛、力量和独立．现有三张不透明的卡片，正面图案分别为“黑龙”“青龙”“白龙”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面朝上并搅匀． （1）若小丽从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是黑龙”是  事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） （2）若小丽从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小丽两次抽取的卡片上的图案为“黑龙”和“白龙”的概率． 18. 五一期间，小明和小胡两人相约到电影城看电影，他们家到电影城的路程分别为和．两人从各自家中同时出发，已知小明和小胡的速度比为，结果小明比小胡晚2分钟到达电影城，求小明的速度． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. ，，三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和面试成绩（单位：分）如下： 三位候选人的成绩 笔试 85 95 90 面试 90 80 85 （1）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况用扇形图表示（没有弃权票，每名学生只能投一票），请计算每人的得票数． （2）若每票计1分，系里将笔试、面试、得票三项得分按的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最终成绩，并根据成绩判断谁能当选． 20. 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部24米的点处，日测建筑物顶端处，视线与水平夹角为39°， 目高为1.5米，求建筑物的高度(结果精确到0.1米) [参考数据：，，] 21. 如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． （1）点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） （2）若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）图①中，的形状是  ． （2）图②中，在边上取一点，连接，使． （3）图③中，在边上取一点，连接，使为的平分线． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________． （2）求乙车出发后，与之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 24. 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【发现问题】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数． 解：如图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即． 请你补充完整解答过程． 【应用问题】如图②，在正方形内有一点，若，，，则  ． 【拓展问题】如图③，在正方形中，对角线，相交于点，在直线上方（包括直线）有一点，，，连接，则线段的最大值为  ． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． （1）当时，的形状是______． （2）当点Q与点B重合时，求x的值． （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）当轴时，求的值． （3）连接，，当时，的值为 ． （4）将抛物线在点和点之间的部分记为图像，当图像的最大值和最小值的差为1时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 逐梦芳华——阶段性学业水平测评卷 （吉林省版九年级第七次考试A卷） 数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 如图，用直尺量线段，可以读出的长度可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，能表示出是解题的关键． 【详解】解：如图，处用表示， 由图得：， ， ， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等知识点，根据同底数幂的乘法幂的乘方、同底数幂的除、幂的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A．，原计算正确，故此选项符合题意； B． ，原计算错误，故此选项不符合题意； C．，原计算错误，故此选项不符合题意； D． 与不是同类项，不能合并计算，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A ． 3. 如图，在数轴上表示的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用数轴表示不等式的解．关键是掌握实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 观察数轴上表示的解集，判断即可． 【详解】解：由图可以看出，两个解集公共部分为， ∴不等式的解集为， 故选：B． 4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ） A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解． 【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键． 5. 要使的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减、有理数的乘除、有理数的比较大小，先根据运算法则分别计算出各个选项添加的符号的结果，再比较大小即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，，，， ∵， ∴“□”内应填入的运算符号为， 故选：B． 6. 如图，点，，在上，，过点作的切线交的延长线于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理的应用，解题关键是掌握圆周角定理及切线性质求得及的值，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，得到，再根据“圆的切线垂直于过切点的半径”，可证得，再利用三角形内角和定理，即可求得的值． 【详解】解：，，在上，， ， 过点作的切线交的延长线于点， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 根据近两年吉林省高考人数的变化趋势，预计2024年吉林省高考人数将达到126000万人．将数据126000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据126000用科学记数法表示为， 故答案为：． 8. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 9. 一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：这组数据按从小到大的顺序重新排序为：28，32，35，37，37， 位于最中间的数是35， ∴这组数的中位数是35． 故答案为： 10. 在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段PC的长，理由是_____． 【答案】直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段的定义即可写出. 【详解】解：根据直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短，即为线段PC的长， 故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短 【点睛】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段的线段. 11. 若关于的一元二次方程的判别式的值为，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握判别式公式解题的关键．根据题意可知，，，，代入，即可解得值． 【详解】解：根据题意可知，，，， ， ． 12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了基本作图—作垂线，等边对等角、三角形外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质，由作图可得：垂直平分，则，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质得出，最后再由等边对等角即可得出答案． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，分别以正方形ABCD的顶点D，C为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分的周长为_______（结果保留π）． 【答案】π+2 【解析】 【分析】由正方形的性质得出AB=BC=CD=DA=1，∠ADC=∠BCD=90°，利用弧长公式分别求出、的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝1， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴的长=的长•π×1π， ∴阴影部分的周长的长的长+AD+BC ππ+1+1 ＝π+2． 故答案为：π+2． 【点睛】本题考查了弧长公式，正方形的性质以及周长的定义，利用弧长公式求出弧的长度是解题的关键． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式，请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先去括号，再合并同类项：． 解：原式  ． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．由题意可知，从而知道，再进行同类项合并即可． 【详解】 将该例题的解答过程补充完整如下： 原式 故答案为：． 16. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 17. 龙年是中国传统文化中的一个重要年份，每隔十二年就会重复一次．根据农历来算，2024年是甲辰年，也就是龙年．在中国传统文化中，龙象征着勇猛、力量和独立．现有三张不透明的卡片，正面图案分别为“黑龙”“青龙”“白龙”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面朝上并搅匀． （1）若小丽从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是黑龙”是  事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） （2）若小丽从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小丽两次抽取的卡片上的图案为“黑龙”和“白龙”的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，列表或画树状图求概率； （1）由“一定会发生的事件叫必然事件；一定不会发生的事件叫不可能事件；有可能发生，也有可能不发生的事件叫随机事件．”即可求解； （2）画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 理解事件的分类，“放回”与“不放回”的区别，掌握概率的求法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小丽从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是黑龙”是随机事件； 故答案：随机； 【小问2详解】 解：列表如下， 黑龙 青龙 白龙 黑龙 （黑龙，黑龙） （黑龙，青龙） （黑龙，白龙） 青龙 （青龙，黑龙） （青龙，青龙） （青龙，白龙） 白龙 （白龙，黑龙） （白龙，青龙） （白龙，白龙） 共有种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的图案为“黑龙”和“白龙”的结果有种结果， 小丽两次抽取的卡片上的图案为“黑龙”和“白龙”的概率为； 答：小丽两次抽取的卡片上的图案为“黑龙”和“白龙”的概率为． 18. 五一期间，小明和小胡两人相约到电影城看电影，他们家到电影城的路程分别为和．两人从各自家中同时出发，已知小明和小胡的速度比为，结果小明比小胡晚2分钟到达电影城，求小明的速度． 【答案】小李的速度为米/分，则小张的速度为米/分 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小李的速度为米/分，则小张的速度为米/分，根据“小明比小胡晚2分钟到达电影城”列出分式方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：∵小明和小胡的速度比为， ∴设小李的速度为米/分，则小张的速度为米/分， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴，， ∴小李的速度为米/分，则小张的速度为米/分． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. ，，三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和面试成绩（单位：分）如下： 三位候选人的成绩 笔试 85 95 90 面试 90 80 85 （1）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况用扇形图表示（没有弃权票，每名学生只能投一票），请计算每人的得票数． （2）若每票计1分，系里将笔试、面试、得票三项得分按的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最终成绩，并根据成绩判断谁能当选． 【答案】（1）的得票数为票；的得票数票；的得票数为票 （2）的最终得分为分，的最终得分为分，的最终得分为分，当选 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的知识，求加权平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用300分别乘以扇形统计图中各学生的百分数额得到各自的票数； （2）利用加权平均数的计算方法求出、、的最终成绩，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：的得票数（票）， 的得票数（票）， 的得票数（票）； 【小问2详解】 解：的最终得分（分）， 的最终得分（分）， 的最终得分（分）， ∵， ∴当选． 20. 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部24米的点处，日测建筑物顶端处，视线与水平夹角为39°， 目高为1.5米，求建筑物的高度(结果精确到0.1米) [参考数据：，，] 【答案】20.9米 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB于点E，继而可得出四边形BCDE为矩形，DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，根据∠ADE=39°，在Rt△ADE中利用三角函数求出AE的长度，继而可求得AB的长度． 【详解】过作于点， 则四边形为矩形， ∴米，米， 在中，∵， ∴， ∴ (米)， ∴ (米)． 答:建筑物的高度约为20．9米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． 21. 如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． （1）点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） （2）若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 【答案】（1）； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，坐标与图形： （1）根据矩形的性质得到，再根据点B的纵坐标为m即可求出答案； （2）先由矩形的性质得到点P是对角线的中点，再根据中点坐标公式得到，最后根据反比例函数图象经过P、C两点进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的纵坐标为m， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴点P是对角线的中点． 由（1）可知，， ∴． ∵反比例函数经过P，C两点， ∴， 解得， ∴． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）图①中，的形状是  ． （2）图②中，在边上取一点，连接，使． （3）图③中，在边上取一点，连接，使为的平分线． 【答案】（1）直角三角形 （2） 点即为所作， ， （3） 点即为所求， ， 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理计算出、、的长，再由勾股定理逆定理即可得出答案； （2）取格点、，连接交于，连接，点即为所作； （3）在上取点，使得，连接，取的中点，连接并延长交于，点即为所求． 【小问1详解】 解：由勾股定理得：，，， ∴， ∴的形状是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，取格点、，连接交于，连接，点即为所作， ， 由图可得，四边形为正方形， ∴， ∵的形状是直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在上取点，使得，连接，取的中点，连接并延长交于，点即为所求， ， 可知为等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可得出，即为的平分线． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图、正方形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________． （2）求乙车出发后，与之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 【答案】（1）40，480；（2）；（3）小时或小时 【解析】 【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2小时所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480； （2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可； （3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）； a=40×6×2=480， 故答案为：40；480； （2）设与之间的函数关系式为， 由图可知，函数图象过点，， 所以解得 所以与之间的函数关系式为； （3）两车相遇前： 解得： 两车相遇后： 解得： 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24. 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【发现问题】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数． 解：如图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即． 请你补充完整解答过程． 【应用问题】如图②，在正方形内有一点，若，，，则  ． 【拓展问题】如图③，在正方形中，对角线，相交于点，在直线上方（包括直线）有一点，，，连接，则线段的最大值为  ． 【答案】发现问题：，应用问题：，拓展问题： 【解析】 【分析】发现问题∶由可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； 应用问题：将逆时针旋转，连接、，由勾股定理得，同理可证是直角三角形，即可求解； 拓展问题：将顺时针旋转得，连接、，同理可证，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】发现问题∶ 证明：补充如下：如图， 在和中 ， ()， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， ； 应用问题： 解：如图，将逆时针旋转，连接、， ，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中 ， ()， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， ； 故答案：； 拓展问题： 解：如图，将顺时针旋转得，连接、， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， 的最大值为， 故答案：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定及性质，正方形的性质等，能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． （1）当时，的形状是______． （2）当点Q与点B重合时，求x的值． （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）3 （3）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证； （2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案； （3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，点运动的距离为：， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， ∴当时，点在中点上， 如图，作于，则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形； 【小问2详解】 如图，当点与点重合时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴此时点的运动的距离为， ∴； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， 如图，当时，点在上运动， ， 此时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于，则， ∴四边形为矩形， ∴， 同（1）可得，， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于， 同理可得：四边形为矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）当轴时，求的值． （3）连接，，当时，的值为 ． （4）将抛物线在点和点之间的部分记为图像，当图像的最大值和最小值的差为1时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线顶点坐标为 （2）的值为或 （3） （4）当或时，的最大值和最小值之差为1 【解析】 【分析】（1）直接代入求解即可； （2）当平行于轴时，，据此列方程求解即可； （3）根据两点之间距离公式，再由勾股定理列方程求解即可得到答案； （4）根据题意，由二次函数图象与性质分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当平行于轴时，， 点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为， ， 解得或， 的值为或； 【小问3详解】 解：连接，， ，，， ，，， 当时，则由勾股定理可得， ，解得； 【小问4详解】 解：由题意可知，， ， 对称轴为，最大值为， 当时，最高点为顶点，最低点为，则，解得或（舍）； 当时，最高点为顶点，最低点为，则； 当时，最高点为点，最低点为，则，解得， 当时，最高点为点，最低点为，则，解得或（舍）， 综合上述，当或时，的最大值和最小值之差为1． 【点睛】本题考查了二次函数几何综合；涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，解一元二次方程等知识点，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作出图象． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $