第一章 有理数（大单元教学设计，新教材）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

大单元教学设计 第一章 有理数 大单元教学设计 主备人 课型 新授 时间 课程标准 课题 第1章 有理数 课时 6课时 大单元主题背景分析（教材分析） 第一章“有理数”的主要内容是有理数的有关概念，和旧教材不同的是，新教材把有理数的概念单独成章.通过本章的学习，要使学生了解有理数产生的必要性、有理数的意义，体会“数的扩张”的一致性，并能解决一些简单实际问题. 在数学的广阔领域中，有理数是一个极其重要的基础概念，它不仅是代数、几何、三角函数等后续数学知识的基础，也是理解现实世界中数量关系的关键工具.有理数包括正数、负数、零以及它们之间的运算，其概念的引入与深化，为学生提供了一个从直观到抽象、从具体到一般的思维过程. 正数与负数的引入，标志着数系从自然数、整数向有理数的扩展.它们不仅丰富了数的表示形式，更重要的是，它们为描述现实世界中具有相反意义的量提供了数学工具.例如，温度的高低、海拔的升降、盈利与亏损等，都可以用正负数来表示.这种符号化的表达方式，使得数学语言更加简洁、准确. 数轴是表示有理数的一种直观工具.它将数与点建立了一一对应的关系，使得有理数的大小关系、距离关系都可以通过数轴上的位置关系来直观地表示.通过数轴，学生可以更加直观地理解有理数的性质，如相反数、绝对值等. 相反数是有理数中的一个重要概念.它表示与原数只有符号不同的数.在数轴上，一个数的相反数就是与其关于原点对称的点所表示的数.相反数的引入，不仅丰富了有理数的运算规则，也为后续学习有理数的加减法运算提供了基础. 绝对值是表示一个数距离原点（即0点）的“距离”的数.它只考虑数的大小，不考虑数的正负.绝对值的引入，使得我们可以比较不同符号的有理数的大小，也可以方便地计算有理数的距离.在解决与距离、误差等有关的问题时，绝对值发挥着重要的作用. 有理数的大小比较是有理数概念中的一个重要内容.它要求学生能够根据有理数的定义和性质，判断两个有理数的大小关系.通过比较大小，学生可以更加深入地理解有理数的性质，也为后续学习有理数的运算和不等式打下了基础. 这些内容的学习，不仅为学生提供了丰富的数学知识，也为他们理解现实世界中的数量关系提供了有力的工具.在教学过程中，教师应注重概念的引入和深化，以及学生对概念的理解和应用能力的培养. 本章教材注重突出学生的自主探索，通过一些熟悉的，具体的事物，让学生在观察、思考、探索中体会有理数的意义，探索数量关系，掌握有理数的运算方法及其教育价值. 单元教学的目标 一、知识与技能 学生能够理解并准确区分正数、负数、零的概念，能够用正负数表示具有相反意义的量. 学生能够掌握数轴的基本概念和性质，能够利用数轴表示有理数，并理解数轴上点的位置与有理数大小的关系. 学生能够理解相反数的概念，能够求出一个数的相反数，并能在数轴上表示相反数. 学生能够理解绝对值的含义，能够求出一个数的绝对值，并能解释绝对值在实际问题中的应用. 学生能够掌握有理数大小比较的方法，能够准确判断两个有理数的大小关系. 二、数学思考 学生能够通过观察、归纳、推理等过程，发现正负数、相反数、绝对值等概念的特性和规律，培养数学探究能力. 学生能够运用数轴这一直观工具，解决有理数的大小比较、距离计算等问题，提升数学应用能力. 学生能够通过小组讨论、合作探究等方式，共同解决数学问题，培养团队协作能力和沟通能力. 学生能够学会运用数学符号和数学语言，准确表达数学概念和解题思路，提高数学表达能力. 三、问题解决 学会提出生活中的问题，获得分析有理数问题和解决问题的能力，学会与同学、社会合作交流，初步形成评价与反思的意识. 四、情感态度 培养学生对数学学习的兴趣和热情，通过探索有理数的奥秘，感受数学的魅力和价值. 引导学生树立数学严谨、精确、理性的思维方式，培养科学精神和求真态度. 增强学生的数学应用意识，能够将数学知识与实际生活相联系，解决实际问题. 培养学生的团队协作精神和集体荣誉感，通过共同学习和探究，增强团队凝聚力和向心力. 引导学生形成正确的数学价值观和人生观，认识到数学在社会发展中的重要作用，培养责任感和使命感. 学习活动设计 活动一 认识正数与负数 活动二 认识有理数 活动三 认识数轴 活动四 认识相反数 活动五 认识绝对值 活动六 比较有理数的大小 学习评价设计 1.数形结合的认知过程 · 考察学生是否能够通过数轴等图形工具，直观地理解有理数的性质（如正负性、大小关系）. · 评估学生在解决有理数问题时，能否灵活运用数形结合的方法，提高解题效率. 2.有理数基本概念的掌握 · 检验学生对正数、负数、零、相反数、绝对值等基本概念的理解程度. · 考察学生是否能够在具体情境中准确运用这些概念. 3.分析、概括能力的评价 · 通过观察学生在解决有理数问题时的思维方式，评价其分析问题的深度和广度. · 考查学生是否能够从多个角度对问题进行概括，提炼出一般性的规律. 4.交流能力的评估 · 观察学生在小组讨论或课堂互动中的表现，评价其是否能够积极参与交流，并有效表达自己的观点. · 评估学生是否能够倾听他人的意见，并与他人合作解决问题. 反思性教学改进 本章通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要，例如，通过描述海拔高度的正负变化、温度的升降等，让学生感受到正负数在生活中的实际应用．数学与我们的生活密不可分；经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题．这样教学更能激发学生学习数学的兴趣；提升学生的能力；促进学生的发展．使每个学生在数学上都能得到不同程度的收获2 学习有理数分类的过程中，较大的思维空间，促进学生积极主动地参加学习活动，亲自体验知识的形成过程．避免教师直接分类带来学习的枯燥性．要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透，明确分类标准不同，分类的结果也不相同，且分类结果应是无遗漏、无重复的． 数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学．让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现出了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律，利用数轴引导学生感受相反数的意义．通过教师的层层设问，充分展示学生的思维过程，让学生学会“理性”思考，从而归纳出互为相反数的意义．让学生意识到数学“源于生活，又高于生活”；在认识相反数的意义的过程中，通过数形结合，将数学文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性． 绝对值这个名词既陌生，又是一个不易理解的数学术语，是本章的重点内容，同时也是一个难点内容．教材从几何的角度给出绝对值的概念，也就是从数轴上表示数的点的位置出发，得出定义的．在数学教学过程中，要千方百计教给学生探索方法、使学生了解知识的形成过程，并掌握更多的数学思想、方法；教学过程中做到形数兼备、数形结合． 比较有理数的大小，教学设计主要是从基础出发，从简单到复杂，层层递进，让学生更加深刻地认识和掌握有理数大小比较的方法，但真正掌握有理数的大小比较的方法还需要一定量的练习进行巩固．在教学过程中，要加注重学生的思考和交流，鼓励学生提出自己的问题和见解，引导学生进行讨论和交流，培养学生的独立思考能力和合作学习能力. 单元教学结构图 教学设计 课题 　有理数 学习活动设计 教师活动 学生活动 设计意图 活动一：认识正数与负数 材料1:小学学过这样一首诗： 一片二片三四片,五片六片七八片. 九片十片十一片,飞入草丛皆不见. 材料2：有首童谣耳熟能详： 门前大桥下游过一群鸭， 快来快来数一数， 二四六七八...... 材料3：还没上学之前我们就学会了掰手指，一二三四五，用来简单计数. 思考：从以上材料，出现了什么样的数字？这些数字有怎样的特点？你还认识哪些数字？ 我们知道，数产生于人们实际生产和生活的需要. 魏晋时期我国著名数学家刘徽在《九章算术》中写道：“余钱为正，不足钱为负”，那么什么是“负数”呢？在生活中负数都去哪里了呢？ 在生活、生产、科研中经常遇到数的表示与数的运算的问题. 1. 有一棵树高2米，地面高度为0米，树根往地下延伸有1米，那么树根底部的高度为-1米； 2. 湖北冬季某周末最高气温为零上3摄氏度，最低气温为零下2摄氏度； 3. 拼多多2023年总营收同比增长90% 净利润超600亿元，而2020年净亏损71.8亿元； 4. 据调研机构的数据，2024年第一周国内手机市场获得不错的数据，第一名华为同比整张53.6%，第六名OPPO同比减少12.5%. -1米表示地下1米，类似地， －2摄氏度表示零下2摄氏度， -71.8表示亏损71.8亿元， -12.5%表示减少12.5%， 上面四个数据，与以前学习的数有区别？ 像1、2、71.8、12.5％这样大于零的数叫做正数;像－1、－2、－71.8、－12.5％这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数.根据需要，有时在正数前面也加上“＋”（正）号，例如，＋3、＋2、＋0.5、＋1/3，…就是3、2、0.5、1/3，…. 这样，一个数由两部分组成，数前面的“＋” “－”号叫做它的符号. 例1 （1）一个月内，小明体重增加2公斤，小华体重减少1公斤，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值； （2）2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是： 美国减少6.4％，德国增长1.3％， 法国减少2.4％，英国减少3.5％， 意大利增长0.2％，中国增长7.5％. 写出这些国家2001年进出口总额的增长率. 例2 下列各数哪些是正数？哪些是负数？ －1，2.5，＋，0，－3.14，120， －1.732，－中， 正数是______________； 负数是______________． 大于零的数叫做正数，在正数前面加上负号“－”的数叫做负数，那么0是什么数呢？ 数0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界. 我们知道，0表示没有，它仅仅表示没有吗？实际上它还可以表示一个确定的量.如今天气温是零度，是指一个确定的温度；海拔0表示海平面的平均高度. 0的意义已不仅仅是表示“没有”，它还可以表示一个确定的量. 例3 如果温泉河的水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，那么水位下降0.5m时水位变化记作(　　) A．0m B．0.5m C．－0.8m D．－0.5m 例4 下列对“0”的说法正确的个数是(　　) ①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．3 B．4 C．5 D．0 例5 在美团优选上买水果，页面显示某哈密瓜说明上有“1000±20(g)”字样，请问“1000±20(g)”是什么含义？小明买了5个哈密瓜，其质量分别为1003g，1021g，969g，983g，1027g，问购买的哈密瓜质量是否符合页面说明？ 例6 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、第2024个数吗？ (1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…； (2)一列数：－1，，－3，，－5，，____，____，____，…. 展示图片和动画，让学生自主思考，结合生活中常见的情景，回答问题 当钱包越来越扁，收入出现了负数； 当雾霾越来越重，是空气质量出现了负数； 当风越吹越冷，是温度出现了负数； 当老板焦头烂额，是公司盈利出现了负数； ...... 解：（1）这个月小明体重增长2公斤，小华体重增长－1公斤，小强体重增长0公斤. （2）六个国家2001年商品进出口总额的增长率： 美国－6.4％，德国 1.3％， 法国－2.4％，英国 －3.5％， 意大利 0.2％，中国 7.5％. 理解带“－”号的数字 学生举手发言，依次让学生回答一个数是正数还是负数. 负数有：－1，－3.14，－1.732，－， 正数有：2.5，＋，120， 0既不是正数也不是负数． 正数和负数是相对而言的， 以进为正，则退为负； 以入为正，则出为负； 以增为正，则减为负； 以高为正，则低为负； ...... 对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数． 解：由水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，根据相反意义的量的含义，则水位下降0.5m时水位变化就记作－0.5m，故选D. 解：0除了表示“无”的意义，还表示其他的意义，所以②不正确；0既不是正数也不是负数，所以④不正确；其他的都正确．故选A. 解：“1000±20(g)”是1000g为标准质量，980～1020(g)是合格范围，1003g，983g两个哈密瓜质量符合页面说明. 引导学生找到两组数的区别 启发学生找到每组数据的规律：(1)第n个数，当n为奇数时，此数为n；当n为偶数时，此数为－n；(2)第n个数，当n为奇数时，此数为－n；当n为偶数时，此数为. (1)7，－8，9；第10个数为－10，第105个数是105，第2024个数是－2024； (2)－7，，－9；第10个数为，第105个数是－105，第2024个数是. 从学生熟悉的情景讨论问题，学生参与积极，在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要. 让学生初步理解负数可以表示相反意义的量，为引出负数的定义做铺垫 提高学生参与度，让尽量多的学生感受到初中数学第一课的乐趣和成就感. 判断多数学生掌握情况，及时巩固正负数的判断. 在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义. 强调0的意义，0的特殊性，加深对0的意义的理解. 区分正数和负数要严格按照正、负数的概念，注意0既不是正数也不是负数． 方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少． 通过实例，使学生获得大量的感性材料，为正确建立相反意义的量奠定基础，培养学生归纳总结的能力，通过思考，归纳补充常见具有相反意义的词组 解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列的特征．2 活动二：认识有理数 原始人生活的三件事：吃饭，睡觉，打猎.他们经常把打来的猎物分给部落成员，那么就涉及到猎物数量，例如某天部落成员打到10只野兔，，那么还剩4只；下周打猎一无所获，找首领借了2只，再次将6只野兔分给部落成员，此时野兔的数量是0，但是还欠首领2只，也就是-2只.晚上他们一起吃烤野兔，他掰下来半只给儿子，儿子得到了只野兔；忧心忡忡的他，一边将上次存粮的拿出来给部落家庭，一边祈祷着明天打猎收获满满...... 以上情景中出现了哪些数字，他们都是什么类型的数字？大家讨论一下，到目前为止，你已经认识了哪些类型的数． 整数可以写成分数的形式吗？ 有限小数和无限循环小数可以写成分数的形式吗？ 我们把可以写成分数形式的数统称为有理数，可以写成正分数形式的数称为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数. 你能对以上各种类型的数作出一张分类表吗？ 有理数 以上按整数和分数来分，那可不可以按性质（正数、负数）来分呢，试一试． 有理数 例1．下列说法正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 D．一个有理数不是整数就是负数 例2．有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 例3．在，，，，，3.212212221……，，这些数中，有理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例4.下列各数：－，1，8.6，－7，0，，－4，＋101，－0.05，－9中，(　　) A．只有1，－7，＋101，－9是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有1，8.6，＋101，0 D．只有－，－4，－0.05是负分数 例5．若，则的整数值 有 个． 例6.把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7，3，－10%，，2，0，3.14，－67，，0.618，－1，0.3080080008… 正数集合{　　　　　　　　　　　…}； 负数集合{　　　　　　　　　　　…}； 整数集合{　　　　　　　　　　　…}； 分数集合{　　　　　　　　　　　…}． 学生回答，并相互补充：有小学学过的整数、0、分数，也有负整数、负分数． 以上分类，若学生思考有困难，可加以引导：因为整数和分数统称为有理数，所以有理数可分为整数和分数两大类，那么整数又包含那些数？分数呢？ 解：A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意； B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意； C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意； D．一个有理数不是整数就是分数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 解：在，，，，，3.212212221……，， 这些数中，有理数有，，，共个， 故选：B． 解：根据有理数的有关概念，整数包括：1，－7，0，＋101，－9，故选项A错误；正整数只有两个，即1和＋101，故选项B错误；非负数包括有1，8.6，＋101，0，，故选项C错误；负分数包括－，－4，－0.05，故选项D正确．故选D. 解：∵，且x为整数， ∴x可为． 故答案为：6． 解：正数集合{8，3，，2，3.14，，0.618，0.3080080008…　…}； 负数集合{－10，－7，－10%，－67，－1　…}； 整数集合{－10，8，2，0，－67，－1　…}； 分数集合{－7，3，－10%，，3.14，，0.618，0.3080080008…　…}． 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望. 使学生在原有认知结构的基础上，将数扩充到了有理数的范围.通过练习使学生加深理解有理数的意义. 要将各数填入相应的集合里，首先要弄清楚有理数的分类标准，其次要弄清楚每个数的特征．在填入相应的集合时，要注意每个有理数，身兼不同的身份，所以解答时不要顾此失彼． 在将学过的数分类时，学生有很多不同的分法，通过同伴交流，教师引导，学生知道分类得有标准，有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.学生在领会数学分类思想的同时对有理数有了整体的认识. 活动三：认识数轴 你能举出生活中用直线上的点表示数的例子吗？ 我们温度计横放，读数变了吗？又该怎样用一条直线表示？ 由带有刻度的温度表,由此联想，我们是否可以用一条直线上的一些点表示有理数？ 如图，小明在雄楚大道上，在他的左边5米出有一个交通信号灯，在他左边7米处有一棵槐树，在小明右边3米处是一个路灯，如何用简明的图表示槐树、交通信号灯、小明和路灯的相对位置关系（方向和距离）？ 像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 原点将数轴（除原点外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫做正半轴，另一侧的部分叫做负半轴. 想一想：所有有理数都可以用数轴上的点表示吗？ 注意： (1)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 (2)数轴上的一个点不一定表示一个有理数. 思考：怎样画数轴？ ① 画直线，定原点. ② 确定正方向，并用箭头表示. ③ 选取适当长度为单位长度，并统一. ④ 在数轴上标出1，2，3，－1，－2，－3等各点. 例1．下列数轴画得正确的是（    ） A． B． B． C． D． D． 例2．在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 例3．如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点 ．    例4．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 例5．如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．      例6. 数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是(　　) A．5 B．±5 C．7 D．7或－3 例7.已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是 ． 例8．在数轴上，点表示的数是，把移动2个单位所得的点表示的数是 ． 例9.请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    学生：积极思考 带着问题参与新课. 在一条直线上任一点O表示小明所在位置作为基准点，规定1各单位长度（线段OA的长）表示1米长，则—7所在的点B表示槐树的位置，—5所在的点C表示交通信号灯的位置，3所在的点D表示路灯的位置. 学生总结数轴的概念，注意数轴三要素. 学生思考，教师总结. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示 教师边画图边讲解，最后学生总结过程. 学生自主解答，教师提示解答的思路以及方法. 解：A，没有原点，故该选项不正确，不符合题意； B，单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； C，正确，故该选项符合题意； D，单位标记不正确，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 解：原点和原点右边的点表示的数是非负数， 故选：C． 解：由数轴可知，取右方向为正方向，可得：在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数， ∵M点在原点的左侧，N点，P点在原点的右侧， ∴表示负数的是点M， 故答案为：M． 解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 解：依题意，由数轴得出A、B两点分别表示为， 则， ∴数轴上A、B两点之间的距离为， 故答案为：4 解：与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是7或－3，故选D. 解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ∴， ∵， ∴， ∵C在B的左侧， ∴点C表示的数是． 故答案为：． 解：当点P向左移动时，所得的点表示的数为， 当点P向右移动时，所得的点表示的数为； 综上所述，所得的点表示的数为或， 解：如图，    概念从生活中来.数学源于生活，又服务于生活.从学生已有的生活经验出发，引出我们所学的概念，有些是从生活中来！ （1）数轴是一条特殊的直线； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，并要统一. 通过学生的活动，体会数轴的画法以及画数轴时容易出现的问题，给他们以较深印象. 在学生对数轴有了一定认识后再次提出对画数轴中出现问题进行辨识，加强学生印象，突破难点. 在数轴上表示数.通过在数轴上表示有理数的体验，让学生知道“所有的有理数都可以用数轴上的点来表示”.选取适当长度为单位长度对于“问题解决”的必要性. 方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况． 活动四：认识相反数 1．两名原始人去打猎，他们分别在部落的东边50米和西边50米处狩猎.规定向东为正(正号可以省略)，向东走50米，向西走50米各记作什么？ 2．规定两个同学未走时的点为原点，用上一节课学的数轴将上述问题情境中的2和－2表示出来． 3．从数轴上观察，这两位同学各走的距离都是2步，但方向相反，可用2和－2表示，这两个数具有什么特点？ 你能再举几组这样的例子吗? 数轴上与原点的距离是2的点有__2__个，这些点表示的数是— __2和-2__，与原点的距离是5的点有____2____个，这些点表示的数是_5和-5______ 一般地，设a是一个正数，数轴上到原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a，并且这两点关于原点对称. 思考：关于原点对称的两个数的符号有什么特征？ 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.3的相反数是—3，—3的相反数是3,3和—3互为相反数.0的相反数是0. 一般地，数a的相反数可以表示为－a，即求任意一个数的相反数就是在这个数前面加上“－”号. 规律：（1）在任意一个数前面添上“—”，新的数就表示原数的相反数 （2）在任意一个数前面添上“+” ， 表示原数本身 思考：—a一定是负数吗？ 例1.写出下列各数的相反数：16，－3，0，－，m，－n. 例2(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________． (2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，B＝______． 例3.化简下列各数． (1)－(－8)＝________； (2)－(＋15)＝________； (3)－[－(＋6)]＝________； (4)＋(＋)＝________． 例4.如图，数轴上点A的相反数是（    ） A． B． C．1 D．2 例5.下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 例6．在（a是任意数）这些数中，负数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 例8.数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 例9．如图，点A、B在数轴上，若，且A、B两点表示的数互为相反数，则点A表示的数为 ． 例10．的相反数是 ． 教师引导学生积极思考 引导学生观察与原点的距离 学生动手画数轴借助数轴观察 -2 2 0 -2 2 0 学生思考讨论交流，教师归纳总结. -2 2 0 解： －16，3，0，，－m，n. 解：(1)左边距离原点3个单位长度的点是－3；右边距离原点3个单位长度的点是3，∴距离原点3个单位长度的点所表示的数是3或－3.它们互为相反数；(2)∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，∴原点到点A与点B的距离相等，∵A、B两点间的距离是12.8，∴原点到点A和点B的距离都等于6.4.∵点A在点B的左侧，∴这两点所表示的数分别是－6.4，6.4. 解：(1)－(－8)＝8； (2)－(＋15)＝－15； (3)－[－(＋6)]＝－(－6)＝6； (4)＋(＋)＝. 解：由数轴可知，点A表示的数是2，2的相反数是， 故选：A． 解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 解：只有和是负数． 中是负数，故不是负数，可以是正数或零或负数， ∴负数的个数是2个． 故选：B． 解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误， 解：由题意知： 与互为相反数， ， 解得：． 故选：D． 解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数， ∴A，B两点到原点的距离相等， ∵点A与点B之间的距离为8个单位长度， ∴点A到原点的距离为， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【答案】 解：， 的相反数是， 的相反数是． 以开放的形式创设情境，引起学生学习的兴趣. 分小组进行讨论，并培养学生合作交流学习的能力. 通过数形结合的方法培养学生的观察与归纳能力，渗透数形结合的思想. 学生借助数轴，教师引导学生观察结果，感受几组数的特点.教师说出具备如此特点的数叫相反数.并且举几组相反数的例子. 教师提出问题.培养总结问题的能力. 1、体验对称的图形的特点，为相反数在数轴上的特征做准备. 2、深化相反数的概念；“零的相反数是零”是相反数定义的一部分. 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负． 注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 活动五：认识绝对值 1．两名原始人去打猎，甲在部落的东边50米处猎到三只野兔，乙在西边50米处猎到一头麋鹿. 问题：1.在数轴上表示这一情景． 2．两名原始人他们所经过的路线相同吗？ 3．两名原始人他们所经过的路程一样吗？ 思考：小明家、学校、小李家在数轴上的位置分别如图中点A，O，B所示.若数轴的单位长度表示1km，则A，B两点表示的有理数分别是多少？小明、小李各自从家到学校要走多远？ 我们把4叫做-4的绝对值，记做 “|−𝟒|=4”； 把2叫做2的绝对值，记做“|𝟐|=2” 在实际生活中，有时存在这样的情况，有些问题我们只需要考虑数的大小而不考虑方向．在我们的数学中，就是不需要考虑数的正负性，比如：在计算两名原始人所经过的路程时，与经过的方向无关，这时所走的路程只需要用正数来表示，这样就必需引进一个新的概念——绝对值． 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值).记作|a|. 例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6.同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7. 在数轴上，＋3和－3虽然符号不同，但表示这两个数的点到原点的距离都是3， 我们把这个距离叫做＋3和－3 的绝对值. ＋3的绝对值就是数轴上表示＋3的点到原点的距离，＋3的绝对值是3，记作：＝3 －3的绝对值就是数轴上表示－3的点到原点的距离，－3的绝对值是3，记作：＝3 一个数a的绝对值是数轴上表示数a的点到原点的距离， 数a的绝对值，记作： 你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道： (1)|+2|= ，0.6= ，|+8.2|= ； (2)|0|= ； (3)|―3|= ，|―0.2|= ， |―8.2|= . 师：想一想：绝对值的性质是什么？ 数a的绝对值的一般规律： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2） 0的绝对值是0； （3） 一个负数的绝对值是它的相反数. 即： ①若a＞0，则|a|=a； ②若a＜0，则|a|=–a； ③若a=0，则|a|=0； 或写成： 例1.－3的绝对值是(　　) A．3 B．－3 C．－ D. 例2.如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________． 例3.化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 例4.若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值． 例5.在2024年“林丹杯”深圳羽毛球公开赛中，比赛用球的质量有严格的规定，下表是6个羽毛球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 －0.5 0.1 0.2 四号球 五号球 六号球 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的羽毛球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个羽毛球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个羽毛球？请说明理由． 学生：积极思考 带着问题参与新课. 学生观察图，回答问题 点A表示-4，小明从家到学校要走4km，点B表示2，小李从家到学校要走2km 解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3.故选A. 学生理解绝对值的含义 学生总结绝对值的性质 方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 教师讲解绝对值的写法并提出问题，让学生试着填空. 学生自主解答，教师提示解答的思路以及方法. 解：选A 解：∵或－的绝对值都等于，∴绝对值等于的数是或－. 解：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2. 解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015. 解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克． (2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球 |－0.15|＝0.15，合格品． 这个例子中，第一问是相反意义的量，用正负数表示，后一问的解答则与符号没有关系，说明实际生活中有些问题，人们只需知道它们的具体数值，而并不关注它们所表示的意义．为引入绝对值概念做准备．并使学生体验数学知识与生活实际的联系． 把主动权交给学生，让学生体验学习的乐趣. 方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外． 方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a. 方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0. 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关． 活动六：比较有理数的大小 填空： 某天天气晴朗，部落首领和族人们外出打猎收获颇丰，4名男子在森林中共收获了6只野兔，2只山羊和1.5千克果实；部落首领归还了上周欠的4.5只野兔（用负数可以表示为 ），并在当天享受了一顿大餐，讲两只山羊全部烤熟.睡觉之前，部落首领陷入了沉思：今天兔子的收获比次少了150%（用负数可以表示为 ），此时还剩 只羊，明天天亮之后又要去狩猎了. 任务：在数轴上表示上面材料中画横线的这些数，并按“<”排列. 思考：我们知道对于两个正数或0如何比较大小，例如3>2,1>0,那么对于任何有理数如何比较大小呢？ 提示：在学习数轴时，我们用杆称、温度计或者刻度尺是如何类比的. 在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大，正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数. 那么，怎样直接比较两个负数的大小呢？例如：－3与－5哪个大？－1.3与－3哪个大？ 比较大小的方法： 在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离远的那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边，由于左边的数比右边的数小，所以绝对值大的负数反而小. 法则：两个负数，绝对值大的反而小. 你能归纳出用以上法则比较两个负数大小的步骤吗？ 例1.比较下列各对数的大小： (1)3和－5； (2)－3和－5； (3)－2.5和－|－2.25|； (4)－和－. 在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小． 例2.设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为(　　) A．0，－1，1 B．1，0，－1 C．1，－1，0 D．0，1，－1 例3.下列实数中，最小的数是（    ） A． B．1 C．0 D． 例4.“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 例5.已知，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例6.手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好（单位：），则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是（    ） A． B． C． D． 学生阅读填空 -4.5 -150% 0 学生独立画图解题，教师巡视 类比正数比较大小和温度计读数大小，猜想有理数比较大小的方法 学生归纳，教师补充总结 用法则比较大小的步骤：第一步求两个负数的绝对值，第二步比较绝对值的大小，第三步比较两个负数的大小. 解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5； (2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5； (3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|； (4)因为|－|＝，|－|＝，＜，所以－<－. 解：因为a是绝对值最小的数，所以a＝0，因为b是最大的负整数，所以b＝－1，因为c是最小的正整数，所以c＝1，综上所述，a、b、c分别为0、－1、1.故选A. 解：由“正数负数，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小”可知， ， 故选：A． 解：∵，，， 最小的数是. 解：， ， ， 解：∵， ∴信号最好的是． 故选：A 以开放的形式创设情境，引起学生学习的兴趣. 分小组进行讨论，并培养学生合作交流学习的能力. 培养学生类比思想，培养学生思考能力 通过理解比较大小的法则，强化运用 要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1. 正数负数，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小． 综合考查了绝对值，多重符号化简，有理数的大小比较，先化简个数，再根据有历史大小比较的方法比较即可． 比较大小的实际应用，强化数学服务生活的意识 单元作业设计 A组 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著九章算术中，如果把收入元记作元，那么支出元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某仓库记账员为方便记账，将进货1000件记作，那么出货2024件应记作（    ） A．2024 B． C． D． 3．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转，记作，那么大风车逆时针旋转，记作（    ） A． B． C． D． 4．的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 5．下列各数最大的是（    ） A． B． C．0 D．1 6．下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（    ） A． B． C．3 D．0 7．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 8．的结果是(   ) A． B．2 C． D． 9．在有理数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 10．的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 11．如图，数轴上点A表示数a，则是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 13．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   14．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 16．若a与互为相反数，则a的值为 ． 17．如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ． 三、解答题 18．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 19．把下列各数填入相应的集合中：，，，，，0，，，，，． 整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　…} 负有理数集合{                           …} 非正分数集合{                            …} 20．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 参考答案： 1．A 【分析】根据正数和负数的定义进行解答． 本题考查了正数和负数的定义，掌握正数和负数的定义是关键． 【详解】解：如果把收入元记作元， 那么支出元记作元． 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．从而可得答案． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴进货1000件记作，那么出货2024件应记作． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查正负数的意义，根据顺时针旋转为正，则逆时针旋转为负，进行判断即可． 【详解】解：∵顺时针旋转，记作， ∴逆时针旋转，记作； 故选A． 4．A 【分析】本题考查了相反数的意义，根据相反数的概念解答即可． 【详解】解：的相反数是2． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数． 【详解】解：∵， ∴最大的数是1 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远， 即可作答． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴距离原点最远的是3． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了绝对值．根据非正数的绝对值等于他的相反数，可得答案． 【详解】解：非正数的绝对值等于他的相反数，， ∴一定是非正数， 故选：C． 8．B 【分析】此题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解： 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据绝对值大的负数，其值反而小，判断出最大的负数是哪个即可． 【详解】解：， ∴ ∴最大， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 11．B 【分析】本题主要考查了数轴上的有理数，绝对值，先确定a，再根据绝对值的性质得出答案． 【详解】根据数轴上的点可知， ∴． 故选：B． 12．C 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 13．D 【分析】本题主要考查了数轴的知识，熟练掌握数轴的基本要素是解题关键．规定了原点、正方向和规定长度的直线叫数轴，数轴的三要素缺一不可，据此分析判断即可． 【详解】解：A.没有原点，故此选项错误，不符合题意； B.单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意； C.没有正方向，故此选项错误，不符合题意； D.符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 14．C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 15． 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故答案为：． 16．/0.5 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：若与互为相反数，则的值为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查数轴上两点的距离，根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：由数轴，点A表示的数为1，又点B在数轴上点A的左边，且， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 19．见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类．首先计算各数，根据有理数的分类求解即可． 【详解】，，，， 整数集合{0，，，…} 负有理数集合{，，，，…} 非正分数集合{，，…} 20．（1）或 （2） 【分析】 本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． B组 1．一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 2．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 3．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C．0 D．4 5．如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 7．已知数轴A点表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是 ． 8．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    9．比较大小： ． 三、解答题 10．某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：﹣17，+9，﹣2，+8，+6，+9，﹣5，﹣1，+4，﹣7，﹣8． （1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？ （2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工甲队耗油多少升？ 11．某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？ 12．某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 13．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 14．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 15．如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，点A、B表示数1和．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． (1)请你求出数x的值． (2)若m为的相反数，n为的绝对值，求． 参考答案： 1．B 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50． ∴落点处离O点的距离是50个单位． 故答案为:B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 2．B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 3．D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 4．C 【分析】先计算绝对值，再比较大小即可． 本题考查了有理数的大小比较，绝对值大计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】根据题意，得，且， 故绝对值最小的数是0， 故选C． 5．C 【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键． ，，则，，；结合选项即可求解 【详解】解：从图可知，， ∴，，，故、错误； ∴，故正确，错误， 故选． 6． 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 7． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：由题可知，A点表示的数是，点B表示的数是， 设点C表示的数是x， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 8．或/或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 9． 【分析】本题考查了有理数的比较大小，先分别求出两个数，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（1）甲队在A地的正东方向39米，乙队在A地的正南方向4米；（2）3.9升． 【分析】（1）分别将两组记录的数据相加，分别求出两组距离A地的距离即可； （2）将甲队行走记录的绝对值相加即为总路程，然后根据每千米的耗油量列式计算即可． 【详解】解：（1）甲队离A地为：+15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39，即甲队在A地的正东方向，距离A地39千米； 乙队离A地为：-17+9-2+8+6+9-5-1+4-7-8=-4，即乙队在A地的正南方向，距离A地4千米； （2）队走总路程为：15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6=65千米 所以甲队出发到收工共耗油：65×0.06=3.9升． 答：从出发到收工甲队耗油3.9升． 【点睛】本题主要考查了正负数的应用和意义，理解绝对值的意义并根据题意列出算式是解答本题的关键． 11．上周星期一至星期五该班一共借书册； 【分析】本题考查正负数意义的应用，用乘以天数加上各天的正负数即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 答：上周星期一至星期五该班一共借书册． 12．(1)A在岗亭南，距岗亭13千米 (2)离开出发点最远时是15千米 (3)从岗亭到A处共耗油33.5升 【分析】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．（1）求出记录数据之和，即可作出判断；（2）找出各个位置离出发点的距离，比较即可；（3）求出各数据绝对值之和，乘以0.5即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：（千米）， 答：A在岗亭南，距岗亭13千米； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 答：离开出发点最远时是15千米； （3）根据题意得： （千米）， ∵摩托车行驶1千米耗油0.5升， ∴（升）， 答：从岗亭到A处共耗油升． 13． 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 14．(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 15．(1)表示的数 (2) 【分析】 本题考查数轴上两点的距离，相反数和绝对值，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据数轴上两点间的距离求出之间的距离即为的值； （2）根据题意及的值求出和的值，再把，代入所求代数式进行计算即可． 【详解】（1） 解： 点，表示的数分别是1和， ， ， 点表示的数； （2） 解：由（1）知， ， ，， ． C组 1．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 2．点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 参考答案： 1．(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】 本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1） 解：， 故答案为:； （2） 解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 2．(1)； (2)； (3)或或． 【分析】（）根据伴随点的定义，求出，进而得出点的值； （）根据伴随点的定义，列出关于点的方程 ，代入即可求的得值； （）随着两点运动的情况，分四种情况讨论，列出关于的方程，求出值即可； 本题考查了新定义下数轴上两点之间的距离，根据新定义列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴点表示的数是 ∴点关于原点的伴随点表示的数是； （2）解：根据题意得，， 即， 根据数轴有， ∴可化为，， 解得； （3）解：根据题意得：点秒后的位置为，点秒后的位置为，点表示的数是， 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即 ， ∵， ∴， 解得不合，舍去， 故点关于点的伴随点是点不存在； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得； 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 综上：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$