第21章 二次函数与反比例函数单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河北沧州·期末）当 的值最小时，的取值是（　　） A．0 B． C．3 D． 4．（22-23九年级上·山西临汾·期末）小李同学在求一元二次方程的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数的图象，利用图象得到方程的近似根为，，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（    ） A．类比思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．分类讨论思想 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 6．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）若，两点均在函数的图象上，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＞0；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也一定在图象上．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 8．（2024·甘肃武威·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（     ）    A．或 B．或 C．或 D．或 9．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 10．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（  ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24九年级上·北京石景山·期中）函数是二次函数，则 ． 12．（22-23九年级下·全国·课后作业）二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第 象限． 13．（22-231九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是 ． 14．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是 ． 15．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 16．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．    （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知是关于的二次函数，试确定的值． 18．（22-23九年级上·全国·课后作业）证明：对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数． 19．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的表达式． 20．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若一个用电器通过的电流超过12A，这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使用，它的可变电阻应控制在什么范围？ 21．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）已知反比例函数（k为常数，）． （Ⅰ）若点在这个函数的图象上，求k的值； （Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （Ⅲ）如图，若反比例函数的图象经过点A，轴于B，且的面积为6，求k的值； 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数（a为常数）的图像的对称轴为， (1)求a的值 (2)若点，点均在该函数的图像上，且满足，求m的取值范围 (3)向下平移二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式 23．（2023·重庆渝中·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作∥x轴交抛物线于点，连接 （1）求这个抛物线的解析式 （2）设为抛物线上的一点，且在直线的下方，连接，当的面积最大时，线段在轴上左右移动得到线段，求的最小值． 24．（2024·湖北随州·一模）小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分的高度为，要求设计水流在距离柱子处达到距离水平面最高，且最高为．    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？ 25．（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，m）． (1)求m、k的值； (2)点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，MN围成的区域（不含边界）为W． ①当xp＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为_____； ②若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据定义解题即可． 【详解】解：．是一次函数，故本选项不符合题意； ．，时，为一次函数，故本选项不符合题意； ．，为一次函数，故本选项不符合题意； ．，为二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】形如的顶点坐标为，据此可以直接求顶点坐标．． 【详解】解：∵抛物线， ∴该函数的顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（22-23九年级上·河北沧州·期末）当 的值最小时，的取值是（　　） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答，即可得出答案． 【详解】， ， ， ∴当时，的值最小 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式的形式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·山西临汾·期末）小李同学在求一元二次方程的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数的图象，利用图象得到方程的近似根为，，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（    ） A．类比思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．分类讨论思想 【答案】B 【分析】 根据图象解答题目，属于数形结合的数学思想的利用． 【详解】 解：根据函数解析式得到函数图象，利用图象得到方程的近似根为，，属于数形结合的数学思想． 故选：B． 【点睛】 本题考查了抛物线与轴的交点，利用图象法进行求解，求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，也可以令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6， ∵a=-1＜0 ∴当x=2时，水柱的最大高度是：6． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）若，两点均在函数的图象上，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象，根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【详解】解：的比例系数为，反比例函数图象在二、四象限； ∵，则图象在第四象限，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：C． 7．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＞0；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也一定在图象上．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象可知，m＞0，故①正确； 当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误； 将A（-1，h），B（2，k）代入y＝得到h=-m，2k=m， ∵m＞0， ∴h＜k，故③正确； 将P（x，y）代入y＝得到m=xy，将P′（-x，-y）代入y＝得到m=xy， 若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 8．（2024·甘肃武威·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（     ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．利用数形结合的数学思想，得到一次函数图象不在反比例函数图象下方部分的点的横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即， 所以当时，的取值范围是：或． 故选：C 9．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 10．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取的中点F,连接 根据题意得到和，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当时，得，结合三角形面积公式求解即可；（2）当时，得，，和，结合；（3）当时，点、都在上，结合和求面积即可． 【详解】解：如图，取的中点F，连接，   ， 点、是中点， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， 当时，点在上，点在上，， ； 如图，当时，点在上，点在上，   ， ，，， ； 如图，当时，点、都在上，   ， 综上判断选项A的图象符合题意． 故选：A． 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24九年级上·北京石景山·期中）函数是二次函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数． 12．（22-23九年级下·全国·课后作业）二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二/2 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴ 则一次函数经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键． 13．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是 ． 【答案】x1＝0，x2＝﹣4 【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝−2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2，即可求解． 【详解】解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝−2， 根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2． 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝−2的根x＝0或−4．　 故答案为：x1＝0，x2＝−4． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键． 14．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】由图像知，当或时，一次函数在反比例函数上方，即， 故答案为：或 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象问题，解题的关键是不要被题目中的无关字母干扰． 15．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．    （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 【答案】 6 【分析】（1）设点E的坐标为：，则抛物线的表达式为：，则点C的坐标为：，点，再用待定系数法即可求解； （2）确定直线的表达式为：，求出，，进而求解． 【详解】解：（1）以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：    设点E的坐标为：，则抛物线的表达式为：， 则点C的坐标为：，点， 将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 即抛物线的表达式为：①， ， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和x轴的夹角为， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知是关于的二次函数，试确定的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m的值． 【详解】解：根据题意得，，解得，， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是二次函数的定义． 18．（22-23九年级上·全国·课后作业）证明：对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数． 【答案】证明见解析． 【分析】由二次函数定义知，证明二次项系数不为零即可． 【详解】∵ 又∵ ∴ ∴对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 19．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】二次函数的解析式为 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，设出抛物线的顶点式是解本题的关键，设二次函数的解析式为，再把把代入即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 20．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若一个用电器通过的电流超过12A，这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使用，它的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1)I＝（R＞0） (2)用电器的可变电阻应控制在3欧以下范围内 【分析】（1）将M代入解析式即可求出解答； （2）根据反比例函数图像的性质解答即可． 【详解】（1）电流I是电阻R的反比例函数．设I＝， ∵图象经过M(4，9)， ∴u＝IR＝9×4＝36， ∴I＝，（R＞0） （2）当I＝12时，R＝＝3， ∵I随R的增大而减小， 用电器的可变电阻应控制在3欧以下范围内． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质和求解反比例函数，解决本题的关键掌握反比例函数的性质． 21．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）已知反比例函数（k为常数，）． （Ⅰ）若点在这个函数的图象上，求k的值； （Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （Ⅲ）如图，若反比例函数的图象经过点A，轴于B，且的面积为6，求k的值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k-1=1×2，然后解方程即可； （2）根据反比例函数的性质得k-1>0，然后解不等式即可； （3）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴； （2）∵在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴， ∴； （3）由题根据反比函数k的几何意义，可知：， ∴，解得：或， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查求解反比例函数的系数，反比函数的性质及反比例函数k的几何意义，熟记基本性质是解题关键． 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数（a为常数）的图像的对称轴为， (1)求a的值 (2)若点，点均在该函数的图像上，且满足，求m的取值范围 (3)向下平移二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数的增减性，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）根据抛物线上关于对称轴对称的两个点的坐标可得对称轴，再建立方程求解即可； （2）由抛物线的开口方向结合离对称轴越远的点的函数值越大，再建立不等式解题即可； （3）根据二次函数的平移规则，上加下减可得答案； 【详解】（1）解：∵时， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴． 解得； （2）∵， ∴抛物线的开口向上， ∵点，点均在该函数的图像上，且满足， ∴， 解得：， （3）由（1）知，，则该抛物线解析式是：． ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点． ∴平移后图像所对应的二次函数的表达式是. 23．（2023·重庆渝中·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作∥x轴交抛物线于点，连接 （1）求这个抛物线的解析式 （2）设为抛物线上的一点，且在直线的下方，连接，当的面积最大时，线段在轴上左右移动得到线段，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可求解； （2）把代入求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，设点的坐标为：，过点作交于点，得到点的坐标为：，利用表示为关于n的二次函数，故可求出的面积最大时P点坐标，过点作轴，且使，连接交轴于点，过点作交轴于点，可得此时的值最小求出，进而得到的最小值 ． 【详解】解：（1）把，代入中得 ，解得 这个抛物线的解析式为： （2）把代入，得 解得：， 点的坐标为 设直线的解析式为 ，解得 直线的解析式为： 设点的坐标为： 过点作交于点 则点的坐标为： 又 当时，的面积最大 此时点的坐标为： 如图，过点作轴，且使， ∴ 连接交轴于点 过点作交轴于点 ∴四边形PP’B’A’是平行四边形， 此时的值最小 令y=3，得x=0或x=4， ∴D（4,3） ，， 又， 的最小值为：． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、三角形的面积公式、对称性及二次函数的图像性质． 24．（2024·湖北随州·一模）小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分的高度为，要求设计水流在距离柱子处达到距离水平面最高，且最高为．    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用： （1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式； （2）令，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为， 可设解析式为，过点，即， 解得． 抛物线的解析式为：． （2）解：由（1）可知：， 令， ． 解得或（舍去）． 花坛半径至少为． 25．（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，m）． (1)求m、k的值； (2)点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，MN围成的区域（不含边界）为W． ①当xp＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为_____； ②若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围． 【答案】(1)m＝2，k＝6 (2)①（4，2）；②当 0＜xp＜1或6＜xP≤7时，区域W内有6个整点 【分析】（1）将A（3，m）代入y=x-1，得到m=2，A（3，2），再把A（3，2）代入y=，得到k=6； （2）①当时，根据A（3，2）、M（5，4）、N（5，），知道，区域W内的整点坐标为（4，2）；②结合函数图象可知，当0＜xp＜1时，区域W内有6个整点；当6＜xP≤7时，区域W内有6个整点． 【详解】（1）∵直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，m）， ∴m＝3﹣1＝2， ∴点A（3，2）， ∵反比例函数y＝过点A， ∴k＝3×2＝6； （2）①当xp＝5时，M、N两点的坐标为M（5，4）、N（5，）， ∵A（3，2）， ∴区域W内的整点的坐标为（4，2）， ②当点P在点A左边时，如图1， 结合函数图象可知，当0＜xp＜1时，区域W内有6个整点； 当点P在点A右时，如图2， 结合函数图象可知，当6＜xP≤7时，区域W内有6个整点； 综上所述：当 0＜xp＜1或6＜xP≤7时，区域W内有6个整点． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数，新定义整点，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式，熟练运用先定义整点，结合函数与不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$