四川绵阳南山中学2023-2024学年高二下学期期末热身数学试题

南山中学高二下期数学期末热身考试2024年6月 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 2．的展开式中的系数为（ ） A．50 B．100 C． D． 3．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 4．已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 5．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（    ） A．150 B．180 C．240 D．540 7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于的概率为（    ） A． B． C． D． 8．若实数满足，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 10．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（ ） A． B．满足的的最小值为11 C． D． 11.设函数，则（    ） A．当时，直线不是曲线的切线 B．当时，函数有三个零点 C．若有三个不同的零点，则 D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则的极小值点为 ． 13．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ． 14．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 16． （15分） 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． (1)从这50个模型中随机取1个，用表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设： 假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的期望（精确到元）. 17．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围． 18．（17分） 在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为. (1)若，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为，求的分布列与期望； (2)若，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率. 19．（17分） 已知函数， (1)讨论的单调性； (2)当时，以为切点，作直线交的图象于异于的点，再以为切点，作直线交的图象于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图象于异于的点，其中．求的通项公式； (3)在(2)的条件下，证明：. 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南山中学高二下期数学期末热身考试 数学（参考答案） 1、 单选题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C D A D B 二、多选题： 题号 9 10 11 答案 BCD BD BCD 三、填空题： 12. x=1 13. 729(或36 ) 14.4049 四、解答题： 15.解（1）因为①，所以当时，②， 由①②得到，整理得到， 又，所以，得到，…………………………………………… 4分 所以当时，， 当，满足，所以. …………………………………………… 7分 （2）由（1）知，……………………… 9分 所以，…… 11分 因为，且，所以是关于的递增数列，由恒成立，得到， 所以实数的最小值为. …………………………………………… 13分 16.解：（1）模型内饰为米色的共有20个，所以，………… 2分 红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所， 4分 红色外观模型且内饰为米色的共有15个， 所以，，…………………………………… 6分 因为，所以，不独立；…………………………………… 7分 （2）设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件“取出的模型外观和内饰都异色”，事件“仅外观或仅内饰同色”， ， …………………………………… 9分 ， …………………………………… 11分 ， …………………………… 13分 因为， 所以获得一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为， 其分布列为 …………………………………… 14分 3000 2000 1000 期望为. …………………………… 15分 17.解:（1）当时，则，， 可得，， …………………………… 3分 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即.…………… 5分 （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； …………………………… 7分 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，……………… 9分 则有极小值，无极大值，…………………………… 11分 由题意可得：，即， 构建，则，……………………… 13分 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； …………………………… 15分 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. (参考解法一：酌情给分) 18.解:（1）由题可知，的所有可能取值为，且 ， …………………………………… 2分 …………………………… 4分 …………………………… 6分 …………………………… 8分 的分布列为 …………………………… 9分 0 1 2 3 则. …………………………… 10分 （2）设“考生甲答对第道试题”， 则， …………………………… 12分 ， 则. …………………………… 14分 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 则， 即他第10道试题也答对的概率为. …………………………… 17分 19.解：（1） ①若，当时，；当时， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增…2分 ②若，则，则在上单调递增 …………………… 3分 ③若，当时，；当时， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增…5分 综上所述： ①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，则在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，，，切点 …………………………… 7分 切线斜率：，故切线方程为： 联立得： 化简得： 因式分解得：． 故 …………………………… 9分 上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故 ，则是以为首项，以为公比的等比数列 故，故 …………………………… 11分 （3）构造， ，故在上单调递减，故 故当时， …………………………… 13分 故 则，，……，… 15分 将上式累加，得 故 故…………………… 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （15分）17 第3页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （15分）16 第2页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 班级 姓名 学校 准考证号 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 正确填涂 错误填涂 考生禁填 缺考 违规 注意事项 .答题前请将姓名、班级、考 场、座号和准考证号填写清 楚。 1 .客观题答题,必须使用2B铅 笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 2 .主观题必须使用黑色签字笔 书写。 3 .必须在题号对应的答题区域 内作答,超出答题区域书写无 效。 4 .保持答卷清洁完整。5 (由监考老师填 涂) 客观题 (共11题) 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 、   、   、   12                   13                   14                    . （13分）15 第1页 共6页 绵阳南山中学2024年春高2022级期末热身考试 数学答题卡 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （17分）19 第5页 共6页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （17分）18 第4页 共6页 第 1页 南山中学高二下期数学期末热身考试 数学试题 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1a  ， 5 9a  ，则 10S 的值为（ ） A．70 B．80 C．90 D．100 2．  55x y 的展开式中 2 3x y 的系数为（ ） A．50 B．100 C． 50 D． 100 3．某校高中三年级 1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩 X服从正 态分布  2100,N  （试卷满分为 150分），统计结果显示，数学考试成绩在 80分到 120分之间的 人数约为总人数的 3 4 ，则此次统考中成绩不低于 120分的学生人数约为（ ） A．200 B．150 C．250 D．100 4．已知等比数列 na 的公比为 12 ，前 n项和为 nS .若 2 31mS  ， 32mS  ，则m （ ） A．3 B．4 C．5 D．7 5．若曲线  1 exy x  有两条过点  , 0A a 的切线，则 a的取值范围是（ ） A．    , 1 3,   B．  3,1 C．  , 3  D．    , 3 1,   6．某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了 3门选修课供学生选择，现有 5名同学 参加选课走班的活动，要求这 5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则 5名同学选课 的种数为（ ） A．150 B．180 C．240 D．540 7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点  0,0 出发，每隔1s等可 能地向上或向右移动一个单位，则质点移动 6次后位于  2, 4 的概率为（ ） A． 1 16 B． 1 15 C． 15 32 D． 15 64 2024 年 6 月 第 2页 8．若实数 , ,x y z满足 2 , ln( )y xz z x y x y     ，则下列不等式错误的是（ ） A． ln( )x y x y   B． 0x  C． 0y  D． z x y  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．设 na 是等差数列， nS 是其前 n项的和.且 5 6S S ， 6 7 8S S S  ，则下面结论正确的是（ ） A． 0d  B． 7 0a  C． 6S 与 7S 均为 nS 的最大值 D．满足 0nS  的 n的最小值为 14 10．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为 该数列的一次“和扩充”．如数列 1，3，第 1次“和扩充”后得到数列 1，4，3；第 2次“和扩 充”后得到数列 1，5，4，7，3；依次扩充，记第  *n nN 次“和扩充”后所得数列的项数．．记 为 nP ，所有项．的和记为 na ，数列 na 的前 n项为 nS ，则（ ） A． 12 1nnP   B．满足 2024nP  的 n的最小值为 11 C． 13 1nna   D． 13 2 3nnS n    11.设函数 3( ) 1( )f x x ax a   R ，则（ ） A．当 0a  时，直线 1y  不是曲线 ( )y f x 的切线 B．当 3a  时，函数 ( )y f x 有三个零点 C．若 ( )f x 有三个不同的零点 1 2 3x x x， ， ，则 1 2 3 0x x x   D．若曲线 ( )y f x 上有且仅有四点能构成一个正方形，则 2 2a  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知函数    2 3 exf x x  ，则  f x 的极小值点为 ． 13．在 3 2( )nx x  的二项式中，所有的二项式系数之和为 64，则各项的系数的绝对值之和 为 ． 14．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国 第 3页 古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第 一条斜线之和为 1a ，第二条斜线之和为 2a ，第三条斜线之和为 3a ，以此类推，组成数列 na .例 如 1 2 31, 1, 1 1, ,a a a     若 2024 2 1 1k n n a a    ，则 k  . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设数列 na 的前 n项和为 1, 1nS a  ，且   1 2 n n n a S   ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)若 12 2 1 n n n n n a ab a a      ，数列 nb 的前 n项和为 *, ,n nT n T m  N 恒成立，求实数m的最小值． 16．（15分） 为迎接 2024新春佳节，某地 4S店特推出盲盒抽奖营销活动 中，店家将从一批汽车模型中随机抽取 50个装入盲盒用于 抽奖，已知抽出的 50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布 如下表所示． (1)从这 50个模型中随机取 1个，用 A表示事件“取出的模型 外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求  P B 和  P B A ，并判断事件 A与B 是否相互独立； (2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿 2个盲盒．对其中的模型给出以下假设： 假设 1：拿到的 2个模型会出现 3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外 观或仅内饰同色．假设 2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设 3：该抽奖活动的奖 金额为一等奖 3000元、二等奖 2000元、三等奖 1000元．请你分析奖项对应的结果，设 X 为奖 金额，写出 X 的分布列并求出 X 的期望（精确到元）. 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 第 4页 17．（15分） 已知函数 3( ) e xf x ax a   ． (1)当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点  1, (1)f 处的切线方程； (2)若 ( )f x 有极小值，且极小值小于 0，求实数 a的取值范围． 18．（17分） 在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答 n道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题 也答对的概率为 1 3 ，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为 2 3 . (1)若 3n  ，考生甲第 1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为 X ，求 X 的 分布列与期望； (2)若 10n  ，且考生甲答对第 1道试题，求他第 10道试题也答对的概率. 19．（17分） 已知函数   3 2 21 3 3 f x x ax a x   ， a R (1)讨论  f x 的单调性； (2)当 1a  时，以   0 0, 0A f 为切点，作直线 1l 交  f x 的图象于异于 0A 的点   1 1 1,A x f x ， 再以 1A 为切点，作直线 2l 交  f x 的图象于异于 1A 的点   2 2 2,A x f x ，…，依此类推，以   ,n n nA x f x 为切点，作直线 1nl  交  f x 的图象于异于 nA 的点   1 1 1,n n nA x f x   ，其中 n N ．求 nx 的通项公式； (3)在(2)的条件下，证明： 1 2 3 1 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 ) e 1 1 1 1nx x x x           .