精品解析：陕西省西安市工业大学附属中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期期中质量检测 高二数学 一､单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 某校迎新晩会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 4. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 设随机变量服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）． A. 420 B. 180 C. 64 D. 25 8. 已知实数成公差非零的等差数列，集合，，若，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二､多选题：（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 若则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 10. 在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. D. 11. 若，则下列等式正确的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上） 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 13. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则______. 14. 设函数在区间上存在零点，则的最小值为__________. 四､解答题：（本大题共5小题共77分解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 16. 已知函数. （1）求的最值； （2）求曲线过点的切线方程. 17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）． （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的20件产品中任取3件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的数学期望和方差． 18. 已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. （1）求的方程； （2）过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 19. 已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质， （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求的取值范围； （3）已知函数的图象是连续不断的曲线，且，判断函数在区间上是否具有性质，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期中质量检测 高二数学 一､单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用组合数、排列数公式求值即可. 【详解】. 故选：B 2. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出 【详解】设等比数列的公比为（）， 由题意得，且，即， ， 因为，所以，， 故选：D 3. 某校迎新晩会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】排列问题中相邻元素捆绑法，不相邻元素插空法. 【详解】先将两个节目D，F捆绑成一个元素，与节目C，E进行全排列，再将节目A，B插入四个空档中， 所以共有种不同的结果. 故选：D． 4. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案. 【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项. 当时，从左向右，是递增、递减、递增， 对应导数的符号为，由此排除C选项， 所以A选项正确. 故选：A 5. 设随机变量服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点分布，结合已知条件求出，，再根据方差公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，所以解得，， 所以，， 故选：A 6. 的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项和二项式系数的性质求解即可. 【详解】∵的展开式通项为，（，，，…，）， ∵第四项和第五项的二项式系数相等，∴，∴， ∴，（，，，…，）， ∴当为整数，即，，，时，为有理项， ∴展开式中有理项的项数是项. 故选：B. 7. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）． A. 420 B. 180 C. 64 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论A，D同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域有5种涂法，有4种涂法， ，不同色，有3种，有2种涂法，有种， ，同色，有1种涂法，有3种涂法，有种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题. 8. 已知实数成公差非零的等差数列，集合，，若，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】实数成公差非零的等差数列，则直线过定点，由可得点在以为直径的圆上，可求圆外的点到圆上的点的最大距离. 【详解】 由实数成公差非零的等差数列，可得，， 动直线可变形为， 令，解得，即动直线过定点， 又直线的一个法向量为，若，则， 即点在以为直径的圆上（如图）. 圆心为中点，半径， 又，则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点在于通过条件发现，，从而得出点在以为直径的圆上，问题转化为求圆外的点到圆上的点的最大距离. 二､多选题：（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 若则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AD，根据条件概率公式结合已知条件分析判断，对于B，由相互独立事件的定义分析判断，对于D，利用和事件的概率公式求解即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以事件与不是相互独立事件，所以B错误， 对于C，因为，， 所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D正确， 故选：ACD 10. 在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，得，再表示出，则可表示出，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，所以A错误， 对于B，因为线段的中点为，，则 到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C正确， 对于D，因为 ，所以D错误， 故选：BC 11. 若，则下列等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解AC,求导后结合赋值法可判断D，利用通项的特征可判断B. 【详解】对于A,令，则，故A正确， 对于B,，因此，故B错误， 对于C,令，则，令，则，两式相加可得，故C正确， 对于D,对两边求导得，令得，故D正确， 故选:ACD 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上） 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 13. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】方法一：由题意，结合焦点三角性面积结论，利用等面积法求解； 方法二：由题意，利用勾股定理结合椭圆的第一定义列式求解即可. 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又， 平方得：，所以. 故答案为：2 14. 设函数在区间上存在零点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数零点定义得方程，将其转化为点在直线上，从而可理解为点到原点的距离的平方，继而只需使在上能成立，即求在上的最小值即得. 【详解】设为在上的零点，可得，即， 即点在直线上，又可理解为点到原点的距离的平方, 故得在上能成立，即在上能成立. 令，，则， 因，故得恒成立， 即在上为单调递增函数，故当时，， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于，设出零点后将方程理解为点在直线上，利用的几何意义将其看成直线上的点到原点的距离，从而将距离最小问题转化为求在上的最小值问题解决. 四､解答题：（本大题共5小题共77分解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）利用条件概率求解； （3）利用全概率求解. 【小问1详解】 设事件“取出饺子是肉馅”，， 【小问2详解】 设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， 【小问3详解】 设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”， 16. 已知函数. （1）求的最值； （2）求曲线过点的切线方程. 【答案】（1）最小值为，无最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，得出导函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出答案； （2）设切点为，根据导数的几何意义得出斜率.根据已知结合斜率的公式即可得出.联立得出方程，求出方程的根，得出切点坐标以及斜率，代入点斜式方程，即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，的定义域为， 且. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值. 所以，的最小值为，无最大值. 【小问2详解】 设切点为，则 根据导数的几何意义可知， 曲线在处的斜率， 则， 所以，， 整理可得，. 设，则在上恒成立， 所以，在上单调递增. 又，所以存在唯一解. 所以，的解为，切点， 此时斜率为， 切线方程为，整理可得，切线方程为. 17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）． （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的20件产品中任取3件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的数学期望和方差． 【答案】（1）6 （2） X 0 1 2 3 P （3），【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图计算即可得； （2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列即可得； （3）先分析Y服从二项分布，再利用二项分布期望与方程得公式求解即可得． 【小问1详解】 质量超过505克的产品的频率为， 所以质量超过505克的产品数量为 (件)； 【小问2详解】 重量超过505的产品数量为6件，则重量未超过505克的产品数量为14件， X的取值可能为0，1，2，3，X服从超几何分布， ，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问3详解】 由质量超过505克的产品的频率为， 故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为， 从流水线上任取5件产品互不影响，该问题可看成5次独立重复试验， 即，则，. 18. 已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. （1）求的方程； （2）过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解； （2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证. 【小问1详解】 因为，，成等差数列，所以， 又，所以. 将点的坐标代入C的方程得，解得， 所以，所以C的方程为. 【小问2详解】 依题意可设PQ：， 由，得, 设，，，则. ，， 则， 而， 所以， 所以是定值，定值为. 【点睛】关键点点睛： （1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组； （2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简. 19. 已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质， （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求的取值范围； （3）已知函数的图象是连续不断的曲线，且，判断函数在区间上是否具有性质，说明理由. 【答案】（1）是， 若，则， 因为，且， 所以函数在区间上具有性质； （2） （3）具有， 设，则 ，，，……， ，……，， 以上各式相加得， 因为， 所以， ①当中有一个为0时， 不妨设， 即， 即， 所以函数在区间上具有性质， ②当中均不为0时， 由于其和为0，所以中必存在正数和负数， 不妨设，其中，， 因为函数的图象是连续不断的曲线， 所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数）， 其中，使得， 即， 即存在，使， 所以函数在区间上具有性质， 综上，函数在区间上具有性质 【解析】 【分析】（1）根据函数在区间上具有性质的定义分析判断即可； （2）由题意存在，使，由正弦函数的性质解出，再利用 函数在区间上具有性质，可得，从而可求出的取值范围； （3）设，则利用累加法可得，然后分中有一个为0和中均不为0，结合定义判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意存在，使， 所以（舍去），或， 得， 因为，所以， 因为，且， 所以，即所求的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，考查正弦函数的性质的应用，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查理解能力和计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $