第02讲 比例线段（第1课时）（四类知识点+八大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第02讲 比例线段（第1课时）（八大题型） 学习目标 1、了解比例线段的概念及有关性质； 2、能运用线段比例的性质解决相关问题； 3、学会解线段比例性质的几何应用有关试题。 一、成比例、两条线段的比 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a:b(或),其中b≠0.a除以b所得的商叫做比值.如a:b的比值等于k,那么a=kb. 如果a:b=c:d（或),那么就说a、b、c、d成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正量，所以两条线段的比值总是正数. 二、成比例线段（比例线段） 在图24-6中，DE是△ABC的中位线.线段DE与BC的比可记作(或DE:BC),于是得到 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例如图24-6中，根据DE是△ABC的中位线的条件，可得,则线段DE、BC、AD、AB是比例线段. 【即学即练1】 下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 三、比例线段的性质 （1）如果a、b、c、d是比例线段，即(或a:b=c:d)，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即 如果，那么ad=bc. 还可以得到，，，............ （2）等比性质：如果 （3）合比性质：如果 如果 比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中项.线段的比例中项是b为正数的情况. 【即学即练1】 已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 【即学即练2】 如果，那么 ． 【即学即练3】 若，则＝ ． 四、比例线段的几何应用 教材P7-P8,例1-例2 例1 已知，如图24-7中，.求证：（1）;(2) 例2 已知，如图24-8中，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△AOD=S△BOC求证： 【即学即练1】 如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 题型1：判断成比例线段 【典例1】．下列各组线段中，能成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【典例2】．下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．下列各组数中，不成比例的是（    ） A． B．1，2，3，4 C． D． 【典例4】．已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果，，，那么d的值是（　　） A．8 B．6 C．4 D．1 题型2：比例的性质—外项之积等于内项之积、等比性质 【典例5】．如果x：y＝1：2，那么＝ ． 【典例6】．已知，则 ． 【典例7】．已知，那么 ． 【典例8】．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例9】．若（，，均不为0），则的值为 【典例10】．已知实数x，y，z满足，试求的值． 题型3：比例中项、线段的比例中项 【典例11】．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（    ） A．2 B．6 C．8 D．2 【典例12】．已知线段，则线段的比例中项为（     ） A． B．          C． D． 【典例13】．45与 的比例中项是8． 【典例14】．已知x是2和6的比例中项，则 ． 题型4：求其他比例项 【典例15】．已知则的第四比例项 ． 【典例16】．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 题型5：比例尺的应用 【典例17】．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例18】．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　） A．50cm B．500cm C． D． 【典例19】．在比例尺是 的地图上，京张（北京北站至张家口站）高速铁路主线长约为 ，则该铁路的实际长度约为 （    ） A． B． C． D． 【典例20】．如图，在山西旅游景区地图上，图上距离与实际距离之比约1 :10000000 ，若从太原到大同云冈石窟所在 地的实际距离约为 251.0 km，则这两地的图上距离约为（    ） cm． A．0.251 B．2.51 C．25.1 D．251 题型6：已知三个数，求另一个数组成比例式 【典例21】．某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（    ） A．1∶200 B．1∶2000 C．1∶20000 D．1∶200000 【典例22】．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 题型7：比例的合比性质 【典例23】．已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【典例24】．下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 【典例25】．题目：“已知数x，y，z，m满足，求m的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）． A．甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．甲、丙的答案合在一起才完整 【典例26】．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 题型8：成比例线段的几何应用 【典例27】．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为90，求的面积． 【典例28】．如图，三角形内的线段、相交于点．，，设、、和四边形的面积分别为、、、． （1）已知的值； （2）如果，求的值． 【典例29】．【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 一、单选题 1．下列线段中，能成比例的是（    ） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm 2．已知，下列各选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（　　） A． B． C． D． 4．已知线段、、、的长度满足等式，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知四个数，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C． D． 6．两地的实际距离是1000 m．在地图上量得这两地的距离是1cm．则这幅地图的比例尺为（    ） A．1∶1000 B．1∶10000 C．1∶100000 D．1∶1000000 7．若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 8．已知，若，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．1 9．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 10．设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则的值为 ． 12．若，则＝ ． 13．已知线段，，则，的比例中项线段长等于 ． 14．已知A、B两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2m，这幅地图的比例尺为 ． 15．已知三角的三边a、b、c满足，且三角形的周长为26，则该三角形的最大边长为 ． 16．（1）是和的比例中项，则 ； （2）是和的比例中项，则 ； （3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 ． 17．找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论：①；②；③；④，则正确的结论有 ． 18．若，则的值为 ． 三、解答题 19．已知线段，，． 求线段与线段的比． 如果线段、、、成比例，求线段的长． 是和的比例中项吗？为什么？ 20．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 21．在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？ 22．（1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 23．若，求的值． 24．与在网格中的位置如图所示，且每个小正方形的边长都是．    (1)求，，的值 (2)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 25．已知三条长度分别为、、的线段，若再添一条线段，使这四条线段成比例．求所添线段的长度． 26．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 27．如果，试求k的值. 28．已知=k，求k2-3k-4的值． 29．已知，且.求证：. 30．已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 比例线段（第1课时）（八大题型） 学习目标 1、了解比例线段的概念及有关性质； 2、能运用线段比例的性质解决相关问题； 3、学会解线段比例性质的几何应用有关试题。 一、成比例、两条线段的比 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a:b(或),其中b≠0.a除以b所得的商叫做比值.如a:b的比值等于k,那么a=kb. 如果a:b=c:d（或),那么就说a、b、c、d成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正量，所以两条线段的比值总是正数. 二、成比例线段（比例线段） 在图24-6中，DE是△ABC的中位线.线段DE与BC的比可记作(或DE:BC),于是得到 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例如图24-6中，根据DE是△ABC的中位线的条件，可得,则线段DE、BC、AD、AB是比例线段. 【即学即练1】 下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 三、比例线段的性质 （1）如果a、b、c、d是比例线段，即(或a:b=c:d)，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即 如果，那么ad=bc. 还可以得到，，，............ （2）等比性质：如果 （3）合比性质：如果 如果 比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中项.线段的比例中项是b为正数的情况. 【即学即练1】 已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，即可求解． 【解析】解：依题意，厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：． 【即学即练2】 如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，将其代入进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 【即学即练3】 若，则＝ ． 【答案】 【分析】设，得出x＝2k，y＝5k，z＝4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解析】解：设，则x＝2k，y＝5k，z＝4k， 则＝＝； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 四、比例线段的几何应用 教材P7-P8,例1-例2 例1 已知，如图24-7中，.求证：（1）;(2) 例2 已知，如图24-8中，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△AOD=S△BOC求证： 【即学即练1】 如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】2016 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案． 【解析】解：设，，， 则， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2016． 题型1：判断成比例线段 【典例1】．下列各组线段中，能成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【解析】解：A、1×6≠3×4，故错误； B、30×0.2≠12×0.8，故错误； C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故错误； D、15×16=40×6，故正确． 故选D． 【点睛】根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 【典例2】．下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解析】解：A、， ∴四条线段不成比例； B、， ∴四条线段不成比例； C、， ∴四条线段成比例； D、， ∴四条线段不成比例． 故选：C． 【典例3】．下列各组数中，不成比例的是（    ） A． B．1，2，3，4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可． 【解析】解：A.，成比例，故不符合题意； B.，不成比例，故符合题意； C.，成比例，故不符合题意； D.，成比例，故不符合题意． 故选：B． 【典例4】．已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果，，，那么d的值是（　　） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】B 【分析】利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值． 【解析】解：根据题意得：， 即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段． 题型2：比例的性质—外项之积等于内项之积、等比性质 【典例5】．如果x：y＝1：2，那么＝ ． 【答案】 【分析】根据合比性质即可求解． 【解析】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查合比性质，熟记合比性质（若，则 ）的公式是解题关键． 【典例6】．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质．熟练掌握代数式求值，比例的性质是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【典例7】．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【解析】解：， 设，则， ， 故答案为：． 【典例8】．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可． 【解析】解：∵， ∴， A. ，则， 即，不一定成立，符合题意； B. ，则 即，故该选项成立，不符合题意； C. ，则， 即，故该选项成立，不符合题意； D. ，则 ∴ ∴ 即，故该选项成立，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键． 【典例9】．若（，，均不为0），则的值为 【答案】1 【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出，，然后将化为：+-，再代入求值． 【解析】解：已知（，，均不为0），由比例的性质得： ； ； 则=+= 故答案为：1． 【点睛】此题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算． 【典例10】．已知实数x，y，z满足，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案． 【解析】解：设， ∴， ∴ ． 题型3：比例中项、线段的比例中项 【典例11】．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（    ） A．2 B．6 C．8 D．2 【答案】C 【分析】根据比例线段的定义列式求解即可，在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a∶b=c∶d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项． 【解析】解：由题意，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的定义，找准对应关系是解题关键． 【典例12】．已知线段，则线段的比例中项为（     ） A． B．          C． D． 【答案】D 【解析】试题解析：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8， ∴x2=ab=32，∴x=±4，即a、b的比例中等于4． 故选D. 【典例13】．45与 的比例中项是8． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义列式求解即可． 【解析】解：设45与的比例中项是8， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了成比例线段，正确理解比例的基本性质是解本题的关键． 【典例14】．已知x是2和6的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的概念，得，则x可求出来． 【解析】是2和6的比例中项， ， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算． 题型4：求其他比例项 【典例15】．已知则的第四比例项 ． 【答案】6 【分析】根据第四比例项的概念，得，再根据比例的基本性质进行求解． 【解析】解：∵是、、的第四比例项 ∴ ∴ ∵，， ∴ 故答案为：6． 【点睛】熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 【典例16】．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 【答案】D 【分析】根据线段成比例进行判断即可． 【解析】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为 ， B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为， C选项c不是ab的比例中项，因为， D选项b是ac的比例中项，因为 故选：D 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答． 题型5：比例尺的应用 【典例17】．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据比例的概念，要组成一个比例式，最大的数与最小数的积等于另外两个数的积，据此解答即可． 【解析】解：添加6时，，故选项A不符合题意； 添加8时，，故选项B不符合题意； 添加10时，，故选项C不符合题意； 添加12时，，故选项D不符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【典例18】．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　） A．50cm B．500cm C． D． 【答案】B 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【解析】解：∵1：50=10:500， ∴长度为10cm的线段实际长为500cm， 故选B． 【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键． 【典例19】．在比例尺是 的地图上，京张（北京北站至张家口站）高速铁路主线长约为 ，则该铁路的实际长度约为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这段铁路的实际长度为 ，根据比例尺图上距离：实际距离列出方程求解即可． 【解析】设这段铁路的实际长度为 ， 由题意得， 解得 ， 经检验，是原方程的解， ， ∴该铁路的实际长度约为， 故选C． 【点睛】本题主要考查比例尺，理解比例尺的概念，掌握计算方法，是解题的关键． 【典例20】．如图，在山西旅游景区地图上，图上距离与实际距离之比约1 :10000000 ，若从太原到大同云冈石窟所在 地的实际距离约为 251.0 km，则这两地的图上距离约为（    ） cm． A．0.251 B．2.51 C．25.1 D．251 【答案】B 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，直接求出即可． 【解析】解：251.0km＝25100000cm， ∴比例尺＝1：10000000＝2.51：25100000； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 题型6：已知三个数，求另一个数组成比例式 【典例21】．某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（    ） A．1∶200 B．1∶2000 C．1∶20000 D．1∶200000 【答案】C 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比． 【解析】解：因为3000米＝300000厘米，则15厘米：300000厘米＝1：20000． 故这幅地图的比例尺是1：20000． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一． 【典例22】．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 【答案】或15或 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式解答即可． 【解析】当x与6组成外项时，，； 当x与2组成外项时，，； 当x与5组成外项时，，. 故答案为：或15或 【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握两外项之积等于两内项之积是解答此题的关键． 题型7：比例的合比性质 【典例23】．已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】 此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2） ∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 【典例24】．下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可． 【解析】解：A：设， 则，， ∴，， ∴，故A不符合题意； B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意； C：设，则，， ， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D：设，则，， ， ∴，，， ∴，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键． 【典例25】．题目：“已知数x，y，z，m满足，求m的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）． A．甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．甲、丙的答案合在一起才完整 【答案】D 【分析】分和两种情况求解即可． 【解析】解：当时， ∵ ∴； 当时，， ∴， 综上，m的值为2或， 故选：D 【点睛】本题主要考查了合比定理，熟练掌握合比定理是解答本题的关键． 【典例26】．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【解析】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 题型8：成比例线段的几何应用 【典例27】．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为90，求的面积． 【答案】(1)2 (2)的面积为270． 【分析】（1）利用已知的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案； （2）根据的周长为90得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案． 【解析】（1）解：设，则，，， ∴； （2）解：∵的周长为90， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∵， ∴，即是直角三角形 ∴的面积为． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理等，正确表示出各数是解题关键． 【典例28】．如图，三角形内的线段、相交于点．，，设、、和四边形的面积分别为、、、． （1）已知的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）7. 【分析】(1)根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比即可求出答案; (2)连接OA,由(1)可知、设,则,观察图形中面积之间的关系，即可解答此题 【解析】（1）根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴，． 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形面积之间的相互转换,解答此题的关键是熟悉“高相等的三角形的面积之比等于底边之比”.此外,求给定几何图形面积,往往有三种考虑方式: (1)各部分面积和等于该图形面积; (2)该图形面积减去几部分面积等于剩余部分面积; (3)不规则图形通过辅助线分割成已学过的特殊几何图形来求面积. 【典例29】．【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 【答案】（1）、、，，;（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有，，进而问题可求解； （2）由（1）及题意可进行求解； （3）由题意易得，，进而问题可进行求解． 【解析】（1）解：由题意得： 以BF为公共边的“共边三角形”为：、、， 由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； （2）证明：由“共边三角形”的性质： 即：， ∴， ∴； （3）解：由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可． 一、单选题 1．下列线段中，能成比例的是（    ） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm 【答案】D 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【解析】A.，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 2．已知，下列各选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，分式运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由题意知，当时，，，，进而可知A、C、D不一定正确，，可知B一定正确，然后作答即可． 【解析】解：∵， ∴当时，，，，A、C、D不一定正确，故不符合要求； ，B一定正确，故符合要求； 故选：B． 3．在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查比例尺，根据：由比例尺 ，即可计算． 【解析】解：， 故选：C． 4．已知线段、、、的长度满足等式，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的两内项之积等于两外项之积逐项排查即可． 【解析】解：A.由可得bc=ad，故A选项符合题意；     B.由可得ab=cd，故B选项不符合题意；     C.由可得ab=cd，故C选项不符合题意；     D.由可得ab=cd，故D选项不符合题意． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，即掌握两内项之积等于两外项之积成为解答本题的关键． 5．已知四个数，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例．熟练掌握比例的定义，比例的基本性质，是解决问题的关键．比例的定义：在四个数中，如果两个数的比等于另外两个数的比，就叫做这四个数成比例；比例的基本性质：两内项之比等于两外项之比． 根据比例的定义，写出比例式，运用比例的基本性质解答． 【解析】∵四个数，9，2，d成比例 ∴， ∴， 解得，． 故选：D． 6．两地的实际距离是1000 m．在地图上量得这两地的距离是1cm．则这幅地图的比例尺为（    ） A．1∶1000 B．1∶10000 C．1∶100000 D．1∶1000000 【答案】C 【分析】先把1000m化为100000cm，然后根据比例尺的定义求解． 【解析】解：1000m=100000cm， 所以这幅地图的比例尺为1：100000． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 7．若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值 ，最后把所求的代入所求的代数式即可求解． 【解析】解：， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 8．已知，若，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键．利用等比性质计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【解析】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 10．设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，分别求得的值，进而即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式求值，根据已知等式变形是解题的关键． 二、填空题 11．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】用a表示b，代入求值即可． 【解析】解：∵， ∴， 代入得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是根据比例式得出两个字母的关系，整体代入，准确求值． 12．若，则＝ ． 【答案】 【分析】设，得出x＝2k，y＝5k，z＝4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解析】解：设，则x＝2k，y＝5k，z＝4k， 则＝＝； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 13．已知线段，，则，的比例中项线段长等于 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【解析】解：设a，b的比例中项为c， 根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， ∴c2＝ab＝4×8＝32， 解得：c＝或c＝−（不合题意，舍去） 故答案为：． 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数． 14．已知A、B两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2m，这幅地图的比例尺为 ． 【答案】1：1000． 【分析】根据比例尺的定义求解． 【解析】这幅地图的比例尺为2：2000＝1：1000． 故答案为：1：1000． 【点睛】此题考查了比例线段，解题关键在于掌握其定义． 15．已知三角的三边a、b、c满足，且三角形的周长为26，则该三角形的最大边长为 ． 【答案】12 【分析】设，根据三角形的周长列出方程即可求出k的值，从而求出结论． 【解析】解：设 ∴，，， ∵三角形的周长为26， ∴， ∴， 解得：， ∴该三角形的最大边长为， 故答案为：12． 【点睛】此题考查的是比例的性质，设是解题的关键． 16．（1）是和的比例中项，则 ； （2）是和的比例中项，则 ； （3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 ． 【答案】 厘米 【分析】（1）根据比例中项的定义求出a与b的积，再整体代入求解即可． （2）根据比例中项的定义即可求解． （3）根据比例中项的定义即可求解． 【解析】（1）由题意可知， 由此， 所以； 故答案为：． （2）由题意可知， 可解得； 故答案为：． （3）因为、都为线段， 因此其比例中项只能是线段，取正值，即为（厘米）． 故答案为：厘米． 【点睛】本题考查了比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别． 17．找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论：①；②；③；④，则正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值． 【解析】解：∵， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 设， ∴， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 18．若，则的值为 ． 【答案】-1或8 【分析】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案． 【解析】设=k， ∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c）， ∴（a+b+c）(2-k)=0， 当a+b+c=0时，即a+b=-c， ∴k===-1， ∴==k3=-1， 当a+b+c≠0时，则2-k=0， 解得：k=2， ∴==k3=8， 故答案为：-1或8 【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键． 三、解答题 19．已知线段，，． 求线段与线段的比． 如果线段、、、成比例，求线段的长． 是和的比例中项吗？为什么？ 【答案】； ；是，理由详见解析． 【分析】（1）根据；，即可求得的值； （2）根据线段是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长； （3）根据，可得，进而得出b是a和c的比例中项． 【解析】∵；， ∴； ∵线段、、、是成比例线段， ∴， ∵， ∴， ∴； 是，理由： ∵，， ∴， ∴是和的比例中项． 【点睛】考查线段的比，比例线段，比例中项等的概念，掌握概念是解题的关键，注意在解题过程中单位一定要统一． 20．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【解析】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 21．在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？ 【答案】75小时 【分析】先根据比例尺的定义求出实际距离，再根据时间=路程÷速度得出答案． 【解析】解：（厘米） 900000000厘米＝9000千米， 9000÷120＝75（小时）， 答：从甲地开往乙地，需要75小时． 【点睛】本题主要考查了比例尺的知识，掌握定义是解题的关键．即比例尺＝图上距离÷实际距离． 22．（1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把代入进行计算即可； （2）设，则，代入，求出k的值，从而得出a的值． 【解析】解：（1）∵a，b，c，d是成比例线段 ∴， 即， ∴a=1cm； （2）设，则， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了成比例线段，关键是理解成比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质． 23．若，求的值． 【答案】5 【分析】设，得到，进而可解答； 本题主要考查成比例线段的应用，掌握相关求解方法是解题的关键． 【解析】解：设， ∴， ∴． 24．与在网格中的位置如图所示，且每个小正方形的边长都是．    (1)求，，的值 (2)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据网格和勾股定理求出、、、、、的长度即可解答； （2）根据两条线段的比与另两条线段的比相等找出成比例的线段． 【解析】（1）解：由图可知：，，，，，， ，，； （2），、、、是成比例的线段； ，、、、是成比例的线段； ，、、、是成比例的线段． 【点睛】本题考查的是成比例线段、勾股定理的应用，根据格点求出线段的长度是解题的关键． 25．已知三条长度分别为、、的线段，若再添一条线段，使这四条线段成比例．求所添线段的长度． 【答案】1或4或36 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【解析】解：设添加的线段长度为x， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． ∴所添线段的长度为1或4或36． 【点睛】此题考查了线段成比例，解题的关键是熟练掌握线段成比例性质并分类讨论． 26．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)10 【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答； （2）利用等比性质，进行计算即可解答． 【解析】（1）解：，且， ， 的值为2； （2）解：， ， ， ， ， 的值为10． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 27．如果，试求k的值. 【答案】k的值为或-1. 【分析】根据已知条件得a=（b+c+d）k①，b=（a+c+d）k②，c=（a+b+d）k③，d=（a+b+c）k④，将①②③④相加，分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解． 【解析】由题意知：a＝（b＋c＋d）k，b＝（a＋c＋d）k，c＝（a＋b＋d）k，d＝（a＋b＋c）k， 故a＋b＋c＋d＝3（a＋b＋c＋d）k，当a＋b＋c＋d时，， 当a＋b＋c＋d＝0时，b＋c＋d＝－a，所以k＝－1， 故k的值为或-1. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握． 28．已知=k，求k2-3k-4的值． 【答案】-或6． 【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值． 【解析】∵=k， ∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，=k， k==； 当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a， ∴k==-2；    当k=时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 29．已知，且.求证：. 【答案】见解析 【分析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出 【解析】设，从而，，， 于是（+）， 又因为，所以； . 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 30．已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论； （2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论； （3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论. 【解析】（1）∵，， ∴a=2b，c=2d， ∴，. 故答案为：==； （2）=.理由如下： 设，则， ∴a=bt，c=dt， ∴， ， ∴=； （3）∵， ∴a=ct，b=dt. ∵2=3， ∴. 解得：t=. 经检验：t=是原方程的解. 【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 5 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $$