第01讲 放缩与相似形（三类知识点+六大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第01讲 放缩与相似形（六大题型） 学习目标 1、了解放缩运动的特点； 2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 3、掌握相似多边形的性质。 一、知识引入 日常生活中，可以看到许多像这样形状相同、大小不一定相同的图形. 对于图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD,得到四边形A₁B₁C₁D₁;放大四边ABCD,得到四边形A₂B₂C₂D₂. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形 . 图中，四边形 A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂ 都与四边形ABCD形状相同.我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. 相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到.对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 二、图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 【即学即练1】 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 三、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. 温馨提示： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等。 【即学即练1】 下列图标中，不是相似图形的是（    ） A．B． C． D． 【即学即练2】 下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 四、知识探究 如图24-4,△A₁B₁C是△ABC通过放大后得到的图形，这两个三角形的形状相同，它们是相似形. 图24 - 4 问题;对△ABC和△A₁B₁C₁ 进行观察和测量，可以发现∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与 ∠C分别有怎样的大小关系? A₁B₁与AB、B₁C₁与 BC、A ₁ C₁ 与 AC 这三组边的长度的比值之间有怎样的大小关系? 通过测量及计算，可以得：∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与∠C对应相等； 由各组边的长度的对应比值相等，可知这两个三角形的边的长度对应成比例. △ABC 放大为△A₁B₁C₁后，△ABC的角的大小不变，而它的各边“同样程度”地放大了.我们说△A₁B₁C₁ 与△ABC的形状相同，就是指它们的角对应相等，边的长度对应成比例. 五、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形． 温馨提示： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【即学即练1】 如图所示，两个四边形相似， 求未知数x，y和角度α的大小． 题型1：放缩运动 【典例1】．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【典例2】．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(     )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 题型2：相似形的识别 【典例3】．下列说法中，不正确的是(    ) A．同一版的8开中国地图与32开的中国地图相似 B．同一张底片冲出的两张照片相似 C．校长办公桌上插的小国旗与学校升旗杆上飘扬的国旗相似 D．画图用的两块三角板是相似的 【典例4】．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．下列和如图相似的图形是（    ） A． B． C． D． 【典例6】．在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ． 题型3：相似形的概念和特点 【典例7】．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【典例8】．相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 题型4：几何图形中相似形的判断 【典例9】．下列命题是假命题的是（  ） A．所有等边三角形一定相似 B．所有等腰直角三角形一定相似 C．有一个角为的两个等腰三角形相似 D．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似 【典例10】．下列判断正确的是（    ） A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的直角三角形都相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的菱形都相似 【典例11】．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型5：相似多边形的性质——对应关系的重要性（含图形） 【典例12】．如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．        【典例13】．如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【典例14】．如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【典例15】．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      题型6：相似多边形的性质——对应关系的重要性（数学语言描述） 【典例16】．已知五边形五边形，，，，，则 ． 【典例17】．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ ． 【典例18】．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【典例19】．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 一、单选题 1．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 2．如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换　　 A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换 3．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（    ） A．放大后，是原来的2倍 B．放大后，各边长是原来的2倍 C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍 4．下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（　　） A．B． C． D． 6．下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D．各有一个角是50°的两个等腰三角形 7．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 8．如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 9．下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 10．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 二、填空题 11．形状相同的图形叫做 ． 两个图形相似是指它们的 相同，与它们的位置无关； 是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同． 12．仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有 (填序号)． 13．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 14．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有 ．(填序号) 15．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 ． 16．如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．    17．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ． 18．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ． 三、解答题 19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？ 20．如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值． 21．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 22．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值． 23．如图，四边形四边形，且，，，，，．求、的大小和的长． 24．沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二，所得的两张矩形纸的边缘形状仍然与原来的矩形纸相似，那么这种矩形纸的长、宽之比是多少？ 25．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 放缩与相似形（六大题型） 学习目标 1、了解放缩运动的特点； 2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 3、掌握相似多边形的性质。 一、知识引入 日常生活中，可以看到许多像这样形状相同、大小不一定相同的图形. 对于图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD,得到四边形A₁B₁C₁D₁;放大四边ABCD,得到四边形A₂B₂C₂D₂. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形 . 图中，四边形 A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂ 都与四边形ABCD形状相同.我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. 相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到.对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 二、图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 【即学即练1】 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变， 故选D． 点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键. 三、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. 温馨提示： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等。 【即学即练1】 下列图标中，不是相似图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可． 【解析】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形． 故选：C． 【即学即练2】 下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案． 【解析】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确； C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键． 四、知识探究 如图24-4,△A₁B₁C是△ABC通过放大后得到的图形，这两个三角形的形状相同，它们是相似形. 图24 - 4 问题;对△ABC和△A₁B₁C₁ 进行观察和测量，可以发现∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与 ∠C分别有怎样的大小关系? A₁B₁与AB、B₁C₁与 BC、A ₁ C₁ 与 AC 这三组边的长度的比值之间有怎样的大小关系? 通过测量及计算，可以得：∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与∠C对应相等； 由各组边的长度的对应比值相等，可知这两个三角形的边的长度对应成比例. △ABC 放大为△A₁B₁C₁后，△ABC的角的大小不变，而它的各边“同样程度”地放大了.我们说△A₁B₁C₁ 与△ABC的形状相同，就是指它们的角对应相等，边的长度对应成比例. 五、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形． 温馨提示： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【即学即练1】 如图所示，两个四边形相似， 求未知数x，y和角度α的大小． 【答案】x＝12，y＝6，∠α＝125° 【分析】到已知的题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题. 【解析】∵两个四边形相似， ∴8:y=x:9=20:15,∠C=∠C′=50° 解得：y=6，x=12. ∵四边形内角和等于360°， ∴α=∠D=360°－∠A－∠B－∠C=125°. ∴x=12，y=6，α=125°. 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键. 题型1：放缩运动 【典例1】．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（    ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【答案】D 【分析】根据相似图形的性质解答． 【解析】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，正确理解图形的相似是解题的关键． 【典例2】．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(     )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】B 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案． 【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选B． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 题型2：相似形的识别 【典例3】．下列说法中，不正确的是(     ) A．同一版的8开中国地图与32开的中国地图相似 B．同一张底片冲出的两张照片相似 C．校长办公桌上插的小国旗与学校升旗杆上飘扬的国旗相似 D．画图用的两块三角板是相似的 【答案】D 【解析】A.同一版的8开中国地图与32开的中国地图相似，正确；B.同一张底片冲出的两张照片相似，正确；C.校长办公桌上插的小国旗与学校升旗杆上飘扬的国旗相似，正确；D.画图用的两块三角板是相似的，不正确，一块是等腰直角三角形，一块不是等腰直角三角形，故选D. 【典例4】．下面几对图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【解析】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 【典例5】．下列和如图相似的图形是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项分析，排除错误答案． 【解析】解：A、形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确； B、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； C、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； D、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误． 故选A． 【点睛】形状相同是识别相似形的关键，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换即为相似变换． 【典例6】．在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ． 【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4） 【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可． 【解析】解：根据相似图形的定义可知： （3），（5），（6）是相似图形， （1），（2），（4）不是相似图形． 故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4） 【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键． 题型3：相似形的概念和特点 【典例7】．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【解析】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 【典例8】．相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 【答案】不一定 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【解析】相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况． 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似图形，明确相似图形的定义是解题的关键． 题型4：几何图形中相似形的判断 【典例9】．下列命题是假命题的是（  ） A．所有等边三角形一定相似 B．所有等腰直角三角形一定相似 C．有一个角为的两个等腰三角形相似 D．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【解析】解：A、所有等边三角形一定相似，故A选项为真命题； B、所有等腰直角三角形一定相似，故B选项为真命题； C、有一个角为的两个等腰三角形相似，故C选项为真命题； D、有一条边对应成比例的两个等腰三角形不一定相似，故D选项为假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【典例10】．下列判断正确的是（    ） A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的直角三角形都相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的菱形都相似 【答案】C 【分析】根据相似多边形的判定逐项验证即可得到答案． 【解析】解：A、所有的等腰三角形对应角不一定相等，不一定相似，故错误，不符合题意； B、所有的直角三角形对应边的比不一定成比例，不一定相似，故错误，不符合题意； C、所有的正方形的对应角相等，对应边成比例，故正确，符合题意； D、所有的菱形的对应边的比相等但对应角不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似图形的判定，解题的关键是了解相似图形的定义，根据三角形相似的判定定理及多边形相似的判定验证是解决问题的关键． 【典例11】．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据相似多边形的判定条件求解即可． 【解析】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等， ∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等， ∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似， 矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似， ∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组， 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，熟知对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键． 题型5：相似多边形的性质——对应关系的重要性（含图形） 【典例12】．如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．        【答案】，． 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【解析】解：∵，，， ∴． ∵四边形四边形， ∴，， ∴， ∴． 【典例13】．如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】27，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【解析】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【典例14】．如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质； （1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得； （2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长． 【解析】（1）解：∵四边形四边形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵四边形四边形 ∴ ∵， ∴ 解得： 【典例15】．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【解析】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 题型6：相似多边形的性质——对应关系的重要性（数学语言描述） 【典例16】．已知五边形五边形，，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答． 【解析】解：∵五边形五边形， ∴，， 又∵五边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等． 【典例17】．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ ． 【答案】2 【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可． 【解析】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4， ∴， ∵AB＝2， ∴A′B′＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型． 【典例18】．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质可求出，的长；根据四边形内角和求出，再根据相似图形的性质可得的度数． 【解析】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的形状完全相同，相似图形各内角对应相等，各边对应成比例是解题的关键． 【典例19】．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 一、单选题 1．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【解析】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 2．如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换　　 A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】A 【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念并结合图形，得出正确结果． 【解析】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化． 故选A． 【点睛】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换比较容易选错的答案是位似变换． 3．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（    ） A．放大后，是原来的2倍 B．放大后，各边长是原来的2倍 C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍 【答案】A 【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变． 【解析】解：因为放大前后的三角形相似， 放大后三角形的内角度数不变， 面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍， 故选A． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 4．下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【解析】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案． 【解析】解：A．形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求； B．形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求； C．形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求； D．两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例． 6．下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D．各有一个角是50°的两个等腰三角形 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解． 【解析】A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似； B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似； C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似； D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键． 7．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变， 故选D． 点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键. 8．如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解． 【解析】解：四边形四边形， ， ，，， ， ． 故选：． 9．下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义进行分析即可． 【解析】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似图形的判断，解题的关键是理解相似图形的定义． 10．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【解析】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 二、填空题 11．形状相同的图形叫做 ． 两个图形相似是指它们的 相同，与它们的位置无关； 是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同． 【答案】 相似图形 形状 全等图形 【解析】略 12．仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有 (填序号)． 【答案】(1)(2)(5) 【分析】两个图形相似，则大小不同，但形状相同，据此可作出判断． 【解析】因为大小不同，形状相同的图形是相似形，所以相似的有(1)(2)(5)， 故答案为(1)(2)(5). 【点睛】本题考查了图形的相似，理解两个图形相似的含义是解题的关键． 13．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 【答案】②③⑤ 【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质、圆的性质逐一进行判断即可． 【解析】①所有的等腰三角形都相似，错误，如等腰锐角三角形与等腰直角三角形不相似； ②所有的正三角形都相似，正确； ③所有的正方形都相似，正确； ④所有的矩形都相似，错误； ⑤所有的圆都相似，正确， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般． 14．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有 ．(填序号) 【答案】①③④ 【分析】根据真命题的定义，结合相似多边形的判定方法逐条分析即可. 【解析】①∵正方形的角都等于90° ∴正方形的角都相等； ∵正方形的四条边相等， ∴正方形的对应边成比例， ∴所有的正方形都相似正确； ②矩形的角都相等，但边不一定成比例，如： 矩形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=2;矩形A′B′C′D′中，A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1， 则AB: A′B′≠CD: C′D′, ∴所有的矩形都相似错误； ③∵两个菱形都有一个角都是150°， ∴两个菱形各有两个150°的角和两个30°的角， ∴两个菱形的对应角相等； ∵菱形的四条边相等， ∴菱形的对应边成比例， ∴有一个角都是150°的两个菱形相似正确； ④∵正六边形的角都等于60° ∴正六边形的角都相等； ∵正六边形的四条边相等， ∴正六边形的对应边成比例， ∴所有的正六边形都相似正确． 故答案为①③④. 【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备． 15．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 ． 【答案】1.6． 【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题． 【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴CD：C′D′＝BC：B′C′， ∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2， ∴C′D′＝1.6， 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 16．如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．    【答案】100 【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可． 【解析】∵四边形四边形， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关舞是了解相似多边形的对应角相等，难度不大． 17．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ． 【答案】36 【解析】根据对应边成比例，得出该四边形的另三条边的长分别是8，10，12．所以周长为6＋8＋10＋12＝36． 18．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵余下的矩形矩形， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 三、解答题 19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？ 【答案】d与（1）相似，e与（2）相似 【分析】观察比较图形，根据相似图形的定义即可得出本题答案． 【解析】解：d与（1）相似，e与（2）相似 理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d）是半圆，所以图形与图形相似； 图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似； 故答案是： d与（1）相似，e与（2）相似． 【点睛】本题主要考查了图形相似的知识点． 20．如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值． 【答案】，，， 【分析】根据相似多边形的性质求解即可； 【解析】∵两个五边形相似， ∴相似比是， ∴， 解得，，，． 【点睛】本题主要考查了利用相似多边形的性质应用，准确计算是解题的关键． 21．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 【答案】x=24，y=28，α=75° 【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题． 【解析】∵两个四边形相似， ∴20：5=x：6=y：7， 解得：x=24，y=28， ∵四边形内角和等于360°， ∴α= =75°， ∴x=24，y=28，α=75°． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键． 22．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值． 【答案】，，，，， 【分析】根据相似形对应角相等，对应边成比例，列式计算即可． 【解析】解：∵四边形相似于四边形 ∴，，， ，∴，，，，， 又∵ ∴ 综上，，，，，，． 【点睛】本题考查了四边形内角和，相似形的性质，熟练应用相似形的性质是解决本题的关键． 23．如图，四边形四边形，且，，，，，．求、的大小和的长． 【答案】，， 【分析】根据题意由四边形ABCD∽四边形GFEH，根据相似四边形的对应角相等，即可求得∠C=∠E=120°，∠F=∠B=60°，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠D的度数；根据相似四边形的对应边成比例，即可求得AD的长． 【解析】解：∵四边形四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形四边形， ∴，∵，， ∴，解得． ∴． 【点睛】本题考查相似四边形的性质．题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用． 24．沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二，所得的两张矩形纸的边缘形状仍然与原来的矩形纸相似，那么这种矩形纸的长、宽之比是多少？ 【答案】 【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解． 【解析】解：如图， 设原来矩形的长为x，宽为y， 则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴x：y=y：， 解得x：y=：1． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，关键是主要利用相似多边形对应边成比例的性质解答． 25．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54 【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确； （2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积． 【解析】解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O， ∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1， ∴AB//DE，AC//DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF， ∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ∵，， ∴， ∴新矩形于原矩形不相似， ∴观点二不正确； （2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， 由（1）知△ABC∽△DEF， ∴∠DFE=90°，， ∴，， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF的面积为：9×12＝54． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$