专题03 平面向量（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题03 平面向量 命题解读 考向 考查统计 高考对平面向量的考查，一般为平面向量基本定理、坐标运算、平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如平行、垂直、距离、夹角等问题的计算，难度一般不高。 平面向量的线性运算 2022·新高考Ⅰ卷，3 平面向量垂直的坐标运算 2023·新高考Ⅰ卷，3 2024·新高考Ⅰ卷，3 平面向量夹角的坐标运算 2022·新高考Ⅱ卷，4 平面向量数量积的综合运算 2023·新高考Ⅱ卷，13 2024·新高考Ⅱ卷，3 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直运算，Ⅱ卷还结合了数量积的综合运算。总体上来说，平面向量知识点的考查难度依旧是较易的，掌握基本的知识点和拥有基本的运算能力即可。平面向量考查应关注：平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂直、向量模等知识点，体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。预计2025年高考还是主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。 试题精讲 一、单选题 1．（2024新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2．（2024新高考Ⅱ卷·3）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 一、单选题 1．（2022新高考Ⅰ卷·3）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 2．（2023新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 3．（2022新高考Ⅱ卷·4）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 二、填空题 1．（2023新高考Ⅱ卷·13）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 一、向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 二、平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 三、平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 四、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 【平面向量常用结论】 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 （3）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （4）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （5）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． 一、单选题 1．（2024·广东深圳·三模）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 2．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】对于A，因为，所以不垂直，故A错误； 对于B，因为，所以不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以不垂直，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 3．（2024·浙江·三模）已知向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据与垂直，可得，即可求出，再根据模的坐标公式即可得解. 【详解】， 因为与垂直， 所以，解得， 所以. 故选：B. 4．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量即可求得，进而得. 【详解】因为， 所以，，故， 所以. 故选：C. 5．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，结合数量积的运算律求出，再根据向量的夹角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故选：B. 6．（2024·甘肃兰州·三模）已知向量，设与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 因为为与的夹角，所以. 故选：D 7．（2024·河北衡水·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算向量的模，再计算与的数量积，进而可得夹角的余弦值，可得答案. 【详解】，故． ，设与的夹角为， 则，又，故， 故选：A． 8．（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 【答案】B 【分析】由已知可得，可求得，进而计算可求. 【详解】由，两边平方可得， 所以，所以. 故选：B. 9．（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到结果. 【详解】三点共线，设， 则， 又，所以，即. 故选：C. 10．（2024·江苏苏州·三模）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据题意，分别将与平方，然后作差可得，再由条件可得，即可求得，从而得到，即可得到结果. 【详解】由题意可得，所以，即， 所以①， 因为，所以，即， 所以②， ①②可得，即 又在方向上的投影向量为单位向量， 则，即，解得， 则，代入②中可得，解得. 故选：B 11．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】在中，取为基底， 则， 因为点分别为的中点，, 所以， 所以. 故选：B. 12．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，结合数量积的运算律可得的关系，再根据投影向量的公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为向量在向量上的投影向量是， 所以， 即，所以， 又因为， 所以与的夹角是. 故选：A. 13．（2024·四川眉山·三模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律求出、、，即可求出、、，再根据夹角公式计算可得. 【详解】由题意得，则有，解得， 又由，则有，解得， 同理可得， 所以， ， ， 所以. 故选：A 二、多选题 14．（2024·安徽·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC，由投影向量的定义可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于BC，由于，，故B错误，C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 15．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案. 【详解】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 16．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数使得 D．的夹角的取值范围是 【答案】BC 【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得. 【详解】对A：若，即，即，此时不能作基底，故A错误； 对B：， 故有最小值，故B正确； 对C：若，则有 即，即，即， 解得，即当时，，故C正确； 对D：由A知，若，则，即只能同向不能反向， 故的夹角不可能为，故D错误. 故选：BC. 17．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 18．（2024·吉林·二模）已知平面向量，，，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．若，则的取值范围 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的数量积公式求解选项，设，，，根据已知条件求出向量，，建立直角坐标系，将转化为即可求其最大值；根据图形可知点的轨迹，利用几何性质即可求出的最小值；设出点的坐标，根据已知条件，转化为三角函数求最值的问题求解. 【详解】对于A，由于，，，则， 则，由于向量夹角范围为大于等于小于等于， 故与的夹角为，则A正确； 对于B，设，，，则，， 不妨设，, 由于，即， 故△为等腰三角形，则，故， 因为，所以， 则点C在以为弦，且使得的两个优弧上，如图示： 故C点所在优弧所在的圆的直径为，则其半径为， 设该圆的方程为，将坐标代入， 得，解得或， 则两优弧所在圆的圆心为，，且两个圆心关于直线对称， 设的中点为M，则 ， 而到弦AB的距离为， 故的最大值为，则的最大值为6， 即的最大值为6，则B错误； 对于C，即为，结合C点轨迹可知当C在圆上的那条优弧上运动时， 会取到最小值，由于， 故的最小值为，即的最小值为2，则C正确； 对于D，结合以上分析可知， 当C在圆上的那条优弧上时，圆的方程为， 设，其中， 则由可得， 解得 ，即， 所以， 当C在圆上的那条优弧上时，圆的方程为， 设，其中， 则由可得， 解得，即， 所以，综上所述，的取值范围，则正确； 故选：. 【点睛】平面向量中的复杂问题，可以坐标化为纯代数运算来求解. 三、填空题 19．（2024·四川·三模）若向量与向量是共线向量，则实数= ． 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案. 【详解】因为与共线，所以，解得． 故答案为： 20．（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得. 【详解】由，，，得， 所以. 故答案为： 21．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量满足，，则 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律得到，再由计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以 . 故答案为： 22．（2024·内蒙古·三模）已知单位向量的夹角为，，则 . 【答案】或 【分析】首先求出，再将两边平方，根据数量积的运算律得到方程，解得即可. 【详解】因为单位向量的夹角为，所以， 又因为，所以， 所以，解得或. 故答案为：或 23．（2024·重庆·三模）已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则 . 【答案】 【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】因为在单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，又， 所以，， 所以， 故答案为： 24．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 因为，所以在上的投影向量为. 故答案为： 25．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据投影向量公式得在上的投影向量为，结合已知可得结果. 【详解】设与的夹角为，且，， 则在上的投影向量为， 即，所以，所以， 故答案为：. 26．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 【答案】/ 【分析】结合数量积的定义和性质求出、和，利用即可求出答案. 【详解】因为，所以， 因为，，， ， 所以， ， 因为， ， 所以. 故答案为：. 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如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 三、平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 四、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 【平面向量常用结论】 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 （3）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （4）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （5）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． 一、单选题 1．（2024·广东深圳·三模）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 2．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·三模）已知向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C．3 D．6 4．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 5．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃兰州·三模）已知向量，设与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北衡水·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 9．（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 10．（2024·江苏苏州·三模）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（    ） A．4 B． C． D．6 11．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·四川眉山·三模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2024·安徽·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 15．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数使得 D．的夹角的取值范围是 17．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 18．（2024·吉林·二模）已知平面向量，，，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．若，则的取值范围 三、填空题 19．（2024·四川·三模）若向量与向量是共线向量，则实数= ． 20．（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ． 21．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量满足，，则 . 22．（2024·内蒙古·三模）已知单位向量的夹角为，，则 . 23．（2024·重庆·三模）已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则 . 24．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为 ． 25．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为 . 26．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$