精品解析：安徽省定远县第三中学2023-2024学年高二下学期6月阶段性检测数学试题

数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 某大学新生中男生和女生人数相等，统计他们身高数据（单位：），发现男生身高服从正态分布，女生身高服从正态分布，则身高超过的男生人数约等于（ ） A. 身高低于的女生人数 B. 身高低于的女生人数 C. 身高超过的女生人数 D. 身高超过的女生人数 4. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. 7 B. 3 C. 1 D. 5. 4位男生与5位女生排成一排照相，要求5位女生相邻，且坐在正中间，小吴（男）必须坐在最左边，则所有的排法共有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，都是边长为1的正三角形，且平面平面，已知三棱锥的顶点都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数，则的极值点为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. 点是图象的一个对称中心 D. 在区间上不具有单调性 11. 已知是抛物线上不同于坐标原点三点，过的焦点且垂直于轴的直线与交于两点（点在点的下方），则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，则直线过定点 C. 若的重心是点，则 D. 在点处的切线方程为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 运动前热身能有效预防运动损伤，已知在未进行热身和进行过热身的条件下，跑步受伤的概率分别为和.某天小李在体育场随机调查了部分跑步的人，得知其中的人进行了热身，若从这些跑步的人中任选一人，则其跑步受伤的概率为__________. 13. 已知直线与轴､轴分别交于点，点为圆的圆心，则的面积为__________. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若，且，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）证明数列为等差数列，并求； （2）求的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 利用汉字“六书”之义（即象形､指事､会意､形声､转注､假借）造谜，是我国灯谜由来已久的优秀传统.某次猜灯谜的规则如下：有象形､会意､形声三类灯谜题，共进行四轮比赛，每轮比赛中选手先随机选择一类题，再从该类题中随机选择一道回答，答对得分，答错不得分.在四轮比赛中，每类题最多选择两次.四轮的总得分不低于7分的进入决赛.假设甲前面的题是否答对对后面的答题情况没有影响，且答对三类题中每道题的概率及得分如下表： 象形灯谜 会意灯谜 形声灯谜 答对概率 0.6 0.5 0.4 答对得分 2 3 4 （1）若甲前两轮都选择了会意灯谜题，且只答对了一道题，则他后两轮应该如何选择才能使其进入决赛概率最大？说明理由. （2）若甲在四轮答题中，选择了一道象形灯谜题､两道会意灯谜题､一道形声灯谜题，且两道会意灯谜题均答对，记甲四轮答题的总得分为，求的分布列和数学期望. 18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，在轴上位于右侧有一点，满足. （1）求的方程； （2）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，以为圆心作圆与直线交于两点，证明：直线的交点恒在直线上. 19. 已知函数和. （1）求的图象在点处的切线方程. （2）已知正数满足. ①若，求证：； ②若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为 所以. 故选：B. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：A. 3. 某大学新生中男生和女生人数相等，统计他们的身高数据（单位：），发现男生身高服从正态分布，女生身高服从正态分布，则身高超过的男生人数约等于（ ） A. 身高低于的女生人数 B. 身高低于的女生人数 C. 身高超过的女生人数 D. 身高超过的女生人数 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布对称性可知，，从而得解. 【详解】因为，根据正态分布对称性可知， 则， 而男生身高超过的概率为， 女生身高低于的概率为， 又男生和女生人数相等， 所以身高超过的男生人数约等于身高低于的女生人数. 故选：B 4. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. 7 B. 3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据通项公式和求和公式得到方程组，求出公差. 【详解】由得，， 即，解得 故选：D 5. 4位男生与5位女生排成一排照相，要求5位女生相邻，且坐在正中间，小吴（男）必须坐在最左边，则所有的排法共有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种 【答案】C 【解析】 【分析】由排列数的计算以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先排5位女生，共有种排法，再排4位男生，共有种排法，所以共有（种）排法. 故选：C. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方关系、差角的余弦公式列式计算即得. 【详解】由，得，由，得， 由，得， 所以. 故选：B 7. 在三棱锥中，都是边长为1的正三角形，且平面平面，已知三棱锥的顶点都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间线面位置关系，结合球心在过截面三角形外接圆的圆心且与该截面垂直的垂线上，找到球心，再计算球心到顶点的距离就是半径，从而计算外接球的表面积. 【详解】 如图，取的中点，连接， 由正三角形性质可知，， 所以为二面角的平面角， 又平面平面，所以. 设分别为的外心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线， 则的交点即为三棱锥外接球的球心，记为，连接. 因为， 所以， 即三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 8. 已知偶函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用为偶函数及两个条件来判断函数周期，将转化为时代入函数即可求解. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 即，又，故，即①，用代替得②. 由①②得，故的周期为6，故，又由已知得. 因为当时，，所以，故. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数，则的极值点为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令，求得方程的根，进而判断可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，可得极值点. 【详解】，令，得或-1或1， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有极大值点-1，极小值点0. 故选：AB 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A B. 若，且，则 C. 点是图象的一个对称中心 D. 在区间上不具有单调性 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正切函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，故A错误； 对于B的最小正周期为，结合题意可知即为函数最小正周期，故B正确； 对于C，当时，，所以点是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，当时，，因函数在处无意义， 再结合的图象特征可知在区间上不具有单调性，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知是抛物线上不同于坐标原点的三点，过的焦点且垂直于轴的直线与交于两点（点在点的下方），则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，则直线过定点 C. 若的重心是点，则 D. 在点处的切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，通过是否为焦点弦即可判断；对于B，与抛物线相结合化简后可知，直线是否与轴垂直两种情况进行讨论，分别写出直线的方程，化简后即可判断；对于，重心坐标为，化简后即可根据重心坐标进行求解；对于D，由已知条件易知点坐标，求导后求出该点斜率即可求出该处切线方程. 【详解】由题可知的焦点为. 对于，由于直线不一定过焦点，所以不一定成立，故A错误； 对于B，若，则，即或（舍去）， 当直线与轴垂直时，，则，直线的方程为， 当直线不与轴垂直时，直线的方程为，即，也即， 故直线经过定点，故B正确； 对于，因为的重心是点，所以， 所以， 所以，故C错误； 对于D，联立解得或故，由，得， 当时，，则在点处的切线斜率为-1，切线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 在求解抛物线上某点切线方程时，若该抛物线对称轴为轴，需先分别求出上下两部分的曲线方程再进行求导. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 运动前热身能有效预防运动损伤，已知在未进行热身和进行过热身的条件下，跑步受伤的概率分别为和.某天小李在体育场随机调查了部分跑步的人，得知其中的人进行了热身，若从这些跑步的人中任选一人，则其跑步受伤的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算. 【详解】根据全概率公式，跑步受伤的概率为 . 故答案为： 13. 已知直线与轴､轴分别交于点，点为圆的圆心，则的面积为__________. 【答案】#### 【解析】 【分析】利用解析几何思想，用点到直线的距离求三角形的高，即可计算面积. 【详解】由题可得，所以. 因为圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据写出和的关系，令，求出，根据写出勾股定理，据此即可求解. 【详解】 设半焦距为，由题可知，且，因为， 所以，令， 则， 所以， 则，得， 所以，因为， 所以， 解得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，求出. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）证明数列为等差数列，并求； （2）求的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2）. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等差数列的定义证明即可，再由等差数列的通项公式计算可得； （2）利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，故， 即数列是以为公差的等差数列， 又，所以， 故， 所以. 【小问2详解】 依题意可得， ， 两式相减可得， 所以. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，连接，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 如图，取棱的中点，连接. 因为分别是棱的中点，所以且， 且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 设，则. 在直三棱柱中，平面，而平面，平面， 所以， 又因为， 所以两两互相垂直； 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，解得，从而可得. 而， 设平面的一个法向量为， 则， 令，解得， 所以平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 利用汉字“六书”之义（即象形､指事､会意､形声､转注､假借）造谜，是我国灯谜由来已久的优秀传统.某次猜灯谜的规则如下：有象形､会意､形声三类灯谜题，共进行四轮比赛，每轮比赛中选手先随机选择一类题，再从该类题中随机选择一道回答，答对得分，答错不得分.在四轮比赛中，每类题最多选择两次.四轮的总得分不低于7分的进入决赛.假设甲前面的题是否答对对后面的答题情况没有影响，且答对三类题中每道题的概率及得分如下表： 象形灯谜 会意灯谜 形声灯谜 答对概率 0.6 0.5 0.4 答对得分 2 3 4 （1）若甲前两轮都选择了会意灯谜题，且只答对了一道题，则他后两轮应该如何选择才能使其进入决赛的概率最大？说明理由. （2）若甲在四轮答题中，选择了一道象形灯谜题､两道会意灯谜题､一道形声灯谜题，且两道会意灯谜题均答对，记甲四轮答题的总得分为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）甲后两轮应该均选择形声灯谜题，理由见解析 （2）分布列见解析，8.8 【解析】 【分析】（1）依题意甲前两轮共得了3分，要进入决赛，至少还需得4分，则后两轮的选择还有三种方案：即都选择象形灯谜题，都选择形声灯谜题，选择一道象形灯谜题､一道形声灯谜题，分别求出总得分不低于7分的概率，即可判断； （2）依题意的所有可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列，再求出数学期望即可. 【小问1详解】 依题意，甲前两轮共得了3分，要进入决赛，至少还需得4分. 因为每类题均最多选择两次，所以甲后两轮的选择有三种方案： 方案一：都选择象形灯谜题，则四轮总得分不低于7分的概率为； 方案二：都选择形声灯谜题，则四轮总得分不低于7分的概率为； 方案三：选择一道象形灯谜题､一道形声灯谜题，则四轮总得分不低于7分概率为. 因为， 所以甲后两轮应该均选择形声灯谜题. 【小问2详解】 两道会意灯谜题均答对，则甲得6分. 依题意，的所有可能取值为. ， ， 所以的分布列为 6 8 10 12 0.24 0.36 0.16 0.24 所以. 18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，在轴上位于右侧有一点，满足. （1）求的方程； （2）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，以为圆心作圆与直线交于两点，证明：直线的交点恒在直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设的半焦距为，则，由已知可得，可求，进而可得，可求椭圆的方程. （2）由（1）知，点，设直线的方程为，联立方程组可得，设，求得的方程，联立两方程可求得直线的交点恒在直线上. 【小问1详解】 设的半焦距为，则. 因为， 所以，解得， 因为，所以，即，解得， 则， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点，设直线的方程为. 由，可得， 则. 设，则. 由题可设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程，可得 ， 解得，即直线的交点恒在直线上. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法再联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出直线的方程，联立得到的表达式，再求出值即可. 19. 已知函数和. （1）求的图象在点处的切线方程. （2）已知正数满足. ①若，求证：； ②若，求证：. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点处的切线方程； （2）①由已知可得，构造函数，求导可得的单调性，可得结论； ②由①可知在上单调递增，只需证，令，求导可得，进而可得，可得，从而可证结论. 【小问1详解】 由题可知， 的图象在点处的切线斜率是， 则切线方程是，即. 【小问2详解】 ①由，即，可得. 设，则题设条件等价于. 因为， 所以当时，单调递减，当时，单调递增. 当时，因为，所以， 故由，可得，得证. ②当时，要证，即证. 因为，所以，又在上单调递增，所以只需证. 先证明. 令，则当时，， 所以在上单调递减，所以， 所以，即. 再由，可得，所以，得证. 【点睛】方法点睛：利用同构，构造函数，利用导数研究函数的单调性证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$