精品解析：重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期数学定时练习八

秘密★启用前【考试时间: 6 月 20 日 16:10-18:10】 2024 年重庆一中高二下期数学定时练习试题 （八） 数学试题卷 一、选择题: 本题有 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式求得集合A，根据集合的交集运算可得答案. 【详解】解不等式，即， 故， 故， 故选：B 2. 某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解. 【详解】设高一年级学生人数为， 因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人， 所以从高二和高三年级抽取人， 则，解得， 即高一年级学生人数为. 故选：B. 3. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立. 【详解】因，则由可得，解得，即充分性成立； 当时，满足，但此时，即必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： ）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图. 已知第一组与第二组共有20人， 第三组中没有疗效的有6人， 则第三组中有疗效的人数为 （ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】计算出第一组和第二组的频率之和，进而得到选取志愿者的总人数和第三组人数，求出答案. 【详解】故第一组和第二组的频率之和为， 又第一组与第二组共有20人，故选取志愿者的总人数为， 故第三组人数为，其中有疗效的人数为. 故选：D 5. 椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，则，中点为，根据三点共线得到，得到答案. 【详解】如图， 设点，则，，， 由 知，为线段的中点，则， 由三点共线，故，化简得到，故. 故选：A. 6. 直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数定点分析可得，再结合“1”的灵活应用以及基本不等式运算求解. 【详解】令，解得， 由题意可知：点在直线上， 可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可． 【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B， 事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则， 又，则， 即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为． 故选：D． 8. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题干条件得到和是周期为4的周期函数，再利用是奇函数，得到为偶函数，最后求出函数和在一个周期内的函数值，进而利用周期求出和的值. 【详解】因为，所以， 又，则有，因为是奇函数，所以， 可得，即，所以， 所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数， 因为是奇函数，所以， 将替换为可得，又， 所以，所以为偶函数，故A错误； 由是奇函数，则，所以，又， 所以，所以C选项错误； 由，得，所以B选项错误； 因为，， 所以， 所以，所以D选项正确． 二、选择题: 本题共 3 个小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对得部分分. 9. 下列说法中， 正确的是（ ） A. 若随机变量的方差，则 B. 一组数据 的第百分位数为 C. 在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若值越小，则模型的拟合效果越差 D. 分别抛掷枚质地均匀的骰子，若事件 “第一枚骰子正面向上的点数是奇数”， “枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据随机变量方差为，计算即可；对于B，根据百分位数的计算公式即可；对于C，值越大，模型的拟合效果越好，值越小，模型的拟合效果越差；对于D，计算，判断与是否相等即可. 【详解】对于A，随机变量的方差为， 所以，故A错误； 对于B，该组数据已从小到大排序，则， 故第百分位数为第位，即16，故B正确； 对于C，值越大，模型的拟合效果越好， 值越小，模型的拟合效果越差，故C正确； 对于D，抛掷 2 枚质地均匀的骰子，则样本空间为， , 所以， 因为，故互为独立事件，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知 ，下列说法成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算及指对函数的单调性，以及构造函数，利用导数判断单调性可得，据此判断AB；举反例判断C；由题意得，令，由导数确定可判断D. 【详解】对于A，由知，， 令，则，当时，单调递增， 当时，单调递减，所以，即， 由知，故A正确； 对于B，由可得，可得（时取等号）， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为，当时，，则，又， 所以，由知， 所以此时，故C错误； 对于D，，， 令，则， 由于得，可得，时等号成立，当时，， 所以， 在单调递增，，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项时，对式子进行变形换元后得到是解题的第一个关键，构造函数，利用两次求导可得出函数的最小值是解题的第二个关键点. 11. 已知函数 的定义域为 ，定义集合 ，在使得 的所有 中，下列说法成立的是 （ ） A. 一定不会是偶函数 B. 存在 是严格增函数 C. 存在在处取最大值 D. 存在在 处取到极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ABD，构造函数可判断C. 【详解】对，若存在 是偶函数，取 ， 则对于任意 ，而 ，矛盾，故正确； 对 ，假设存在，使得严格递增，则，与已知 矛盾，故 错误； 对，可构造函数 ，满足集合 当 时，则. 当时，， 当时， . 则存在在处取最大值，故C正确； 对 ，假设存在，使得在处取极小值， 则在的左侧附近存在，使得， 这与已知集合的定义矛盾，故错误. 故选：AC. 三、填空题: 本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知多项式，则 _________ 【答案】 【解析】 【分析】赋值令、令即可得到答案. 【详解】令，得到， 令，，解出. 故答案为：. 13. 函数，则满足的实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，对分类讨论，分段求解方程，并借助导数求出的范围. 【详解】当 时，，则，因此； 当时，， 当，即时，，而 ， 则，因此； 当，即时，，， 令，方程化为， 令，求导得，显然函数在上递减， ，则存在，使得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 于是，而，则函数在上有唯一零点，此时， 因此当时，有唯一解， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 若3个整数满足，则这样的有序整数组共有__________组. 【答案】14 【解析】 【分析】涉及整数的不等式问题，先使用常见的不等式缩小范围，进一步求解即可. 【详解】由 （1）或2时,,此时共有6组; （2）或2时,,此时共有4组; （3）或2时,,此时共有4组. 综上,满足题意的有序整数组共有14组. 故答案为：14. 四、解答题: 本题共 5 个小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若是偶函数，求的值； （2）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求的范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）若是偶函数，则有恒成立，化简整理表达式求解恒等式即可． （2），，，都在上单调递减， 所以函数在上单调递减，且，转化为求解 在区间上恰有两个不同的交点，即是在，有两解． 【详解】（1）若是偶函数，则有恒成立，即， 可化为， 化简得，则. （2），，，都在上单调递减， 所以函数在上单调递减，且， 则可化为. 又单调递减，得， 在有两解，则. 令，，，， 作出与的简图知，， 又，故. 【点睛】复合函数的单调性遵循同增异减的原则，y=f(g(x)),y=g(x),y=f(x)三个函数的单调性知二得一，相互转化．解复合函数的零点问题由外到里，去掉外层函数讨论里层函数的性质． 16. 教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据： 甲 77 73 77 81 85 81 77 85 93 73 77 81 乙 71 81 73 73 71 73 85 73 已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差. （1）求这20次投篮次数的平均数与方差. （2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望. 【答案】（1）平均数78，方差33； （2）的分布列为 1 2 3 期望为【解析】 【分析】（1）利用平均数的计算公式及分层抽样的方差公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【小问1详解】 甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数. 这20次投篮次数的平均数， 方差 . 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 . 17. 设函数. （1）求的极值； （2）若对任意，有恒成立，求的最大值. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值; （2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解. 【小问1详解】 . 令，得，令，得. 故在单调递减，在单调递增. 在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 对恒成立，即对恒成立. 令，则只需即可. . 易知均在上单调递增， 故在上单调递增且. 当时，单调递减； 当时，单调递增. .故，故的最大值为. 18. 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点. （i）证明：共线； （ii）判断是否为定值，若是定值求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】（1） （2） （i）设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中， 联立方程，消去可得， 该方程有两个正根，解得， 根据韦达定理：， 直线的方程为，而，即， 直线的方程为，而，即， 联立方程两式相加得， 代回方程组得， 根据，易得， 即都在直线上，所以共线； （ii）是定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程与焦点坐标列方程组求解，即可得双曲线标准方程； （2）（i）设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得坐标关系，从而证得结论；（ii）设坐标为，直线方程为，结合（i）中坐标关系，利用两点之间的距离公式可得结论. 【小问1详解】 由题意得解得所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）为定值，定值为，理由如下： 由（i）得：设坐标为，直线方程为， 即（i）中，根据①中的计算， ， ， ， 所以. 【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程，得到根与系数的关系，利用坐标关系可求解点的横纵坐标关系、直线上两点距离、三角形面积、定值定点等几何性质问题，但需要注意计算技巧处理. 19. 已知函数 的定义域为区间 ，值域为区间 ，若 ，则称 是 的缩域函数. （1）若 是区间 的缩域函数，求实数 的取值范围; （2）设 为正数，且 ，若 是区间 的缩域函数， （ⅰ）当 时，判断 在 上的单调性; （ⅱ）证明: . 【答案】（1） （2）（ⅰ）单调递减； （ⅱ）证明： 若 是区间 的缩域函数，则 ； 故有 . 即， 设函数，则， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减； 因为 为正数且 ，则 . 又 . 所以 在 上单调递减. 所以 ， 记 ，设 ，且 ，由 的单调性可知 ，故 ； 记 ，则 . 当 时， ， 单调递增； 故 . 即 ； 因为 在 上单调递减. 故 ，即 ； 由 ，故 ， 所以 ，又因为 ，故 . 【解析】 【分析】（1）若是区间的缩域函数，则，然后利用导数与单调性、最值的关系即可求解； （2）（ⅰ）当时，若是区间的缩域函数，则，有，故当时，，即，然后由函数的单调性即可得证；（ⅱ）若是区间的缩域函数，则，故有，设，由的单调性可得，记，设，且，则由上可知，故，设，再通过讨论的单调性得，进一步可得，即可求解． 【小问1详解】 若是区间的缩域函数，则，； 即，解得； 可得，则； 令，则， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增. 所以，解得， 下面证明，即，也即； 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此可得，所以， 综上a的取值范围为 【小问2详解】 （ⅰ） 在区间 上单调递减，理由如下： 当 时，若 是区间 的缩域函数. 则 ， 即 . 进一步 ， 当 时. ，即 由 (1) 可知，当 时， ，则 单调递减； 所以 在区间 上单调递减. （ⅱ） 略 【点睛】方法点睛： ①首先理解题意缩域函数得定义，第一问首先得到两个端点处的函数值在定义域范围里面，能够得出的一个范围. ②（ⅰ）要注意上问下用.（ⅱ）能够变形构造函数单调性，进而转化成极值点偏移问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前【考试时间: 6 月 20 日 16:10-18:10】 2024 年重庆一中高二下期数学定时练习试题 （八） 数学试题卷 一、选择题: 本题有 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： ）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图. 已知第一组与第二组共有20人， 第三组中没有疗效的有6人， 则第三组中有疗效的人数为 （ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 5. 椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （ ） A. B. C. D. 6. 直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 二、选择题: 本题共 3 个小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对得部分分. 9. 下列说法中， 正确的是（ ） A. 若随机变量的方差，则 B. 一组数据 的第百分位数为 C. 在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若值越小，则模型的拟合效果越差 D. 分别抛掷枚质地均匀的骰子，若事件 “第一枚骰子正面向上的点数是奇数”， “枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件 10. 已知 ，下列说法成立的是 （ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 的定义域为 ，定义集合 ，在使得 的所有 中，下列说法成立的是 （ ） A. 一定不会是偶函数 B. 存在 是严格增函数 C. 存在在处取最大值 D. 存在在 处取到极小值 三、填空题: 本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知多项式，则 _________ 13. 函数，则满足的实数的取值范围是_________ 14. 若3个整数满足，则这样的有序整数组共有__________组. 四、解答题: 本题共 5 个小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若是偶函数，求的值； （2）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求的范围. 16. 教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据： 甲 77 73 77 81 85 81 77 85 93 73 77 81 乙 71 81 73 73 71 73 85 73 已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差. （1）求这20次投篮次数的平均数与方差. （2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望. 17. 设函数. （1）求的极值； （2）若对任意，有恒成立，求的最大值. 18. 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点. （i）证明：共线； （ii）判断是否为定值，若是定值求出定值；若不是定值，说明理由. 19. 已知函数 的定义域为区间 ，值域为区间 ，若 ，则称 是 的缩域函数. （1）若 是区间 的缩域函数，求实数 的取值范围; （2）设 为正数，且 ，若 是区间 的缩域函数， （ⅰ）当 时，判断 在 上的单调性; （ⅱ）证明: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $