第三部分 11.1平方根与立方根-【假期成才路·暑假】2024年七年级数学假期总复习与衔接（华东师大版）

第三部分八年级上册新课预习 第三部分八年级上册新课预习 第11章 数的开方 11.1平方根与立方根 (4).(-16)2=256,且（±16）2=256， 11.1.1平方根（第1课时） .(-16)2的平方根为±16， 基础子净 即士√（-16)2=士16. 规律与方法： 1.平方根的定义：如果一个数的平方等于 1.记住一个正数a的平方根有两个，即 a,那么这个数叫做a的平方根（或a的二次方 根).即：如果x2=a,那么x叫做a的平方根，记 土a: 作x=土Va. 2.可以利用平方来检验或寻找一个数的平 2.平方根的性质 方根. (1)一个正数a有两个平方根，它们互为相 3.求形如（一16）这样的数的平方根，应先 反数： 将原数化为最简形式，再求平方根。 (2)0只有一个平方根，就是0本身： 例2求下列各式中x的值： (3)负数没有平方根. (1)169x2-25=0:(2)9(2x-1)2=36. 典例探冤上 解：(1)169.x2=25,x2= 25 169' 知识点1：平方根的定义 25 例1求下列各数的平方根： x=±169 -13 (1)36: (20.01:(3)2器 (2(2x-12-36=4, 9 (4)(-16)2. .(2x-1)=±2， 分析：本题主要考查求平方根的方法，可根 .2x-1=2或2x-1=-2, 据平方根的定义求解」 解：(1)，（±6）2=36， 即= .36的平方根为±6，即士√36=士6. (2)(±0.1)2=0.01， 规律与方法：利用平方根的定义，即如果x ∴.0.01的平方根为±0.1， =a,那么x是a的平方根，即用x=士√a来 即士√0.01=士0.1. 求解. 3(±-g-2器 知识点2：平方根的性质 491 例3已知一个正数的平方根是3m一2和 2铝的年方为士号即士， 5m+6,求这个数. 解：由题意可得： (3m-2)+(5m+6)=0, ·37· 假期成才路·七年级数学(HS) ..m= 3m-2=5m+6- 10.观察并思考下列计算过程，因为112=121，所以 √12I=11,同样，因为1112=12321，所以 “这两个平方根为士号这个正教为碧 V12321 111,…,由此猜想： 规律与方法：一个正数的两个平方根互为 √12345678987654321= 相反数. 11.求下列各数的平方根： 有主网练上 a2: (2)-(-4)3. 1.下列各数：-4，(-3，-，引是 -（-2),其中有平方根的是 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.下列计算正确的是 ( A.±√(-5)2=士5 B.±√52=5 12.求下列各式中x的值： (1)3.x2-108=0: (2)y2=(-7)2. C.-√5=5 D.V(-5)=-5 3.下列各数中一定没有平方根的是 ( A.-a B.--a C.-a2-1 D.-a-1 4号的平方根是士，用式子表示为 ( 13.母亲节要到了，小华给妈妈准备了一张正方 B.±64 9 形贺卡，面积为100cm,还配了一个漂亮的 c晨- 长方形信封，长宽比为5：3，面积为 D.一N64 150cm2,他能将这张贺卡不折叠的放人此信 5.已知(m-1)2+1n-91=0,则的平方根是 封吗？请通过计算说明理由. ( A c号 D.没有平方根 6.√2表示2的 ,一√2表示2的 ,士2表示 14.已知2a-1的平方根是士3,3a+b-1的平 7.若x2=10000且x>0,则x的平方根是 方根是士4，c是√57的整数部分，求a+2b+c 的平方根 8.若一√5是m的一个平方根，则m+20的平方 根是 9.已知一个正数的两个平方根分别是2a一2和 a-4,则a的值是 ·38· 第三部分八年级上册新课预习 =4, 11.1.1平方根（第2课时） v4红+5y-6=√4x2+5x4-6 基础 =√16=4， 1.算术平方根的定义：一个正数有两个平 ∴.√4x+5y-6的算术平方根是2. 方根，我们把正数a的正的平方根叫做a的算术 规律与方法：va中的a≥0. 平方根，记作√a,0的算术平方根是0. 知识点3：非负数的性质 2.算术平方根的性质：算术平方根具有双 例3已知a,6e满足号引a-bl+22D+c 重非负性，即在va中a≥0和va≥0. 3.a,wa,a都是非负数，即a≥0wa≥0， +(e-》广-0求u6+c)的值 a2m≥0. 4.非负数的性质：若几个非负数的和为0， 解：由已知可得：a-b=0,2b十c=0且c-司 则这几个非负数同时为0，即a+√石+2m=0, =0, 则a=0,b=0且c=0. ∴.a=- b=-4c=2 5.求一个非负数的平方根的运算，叫做开 平方 a6+)=-}+号)=8 典例探鬼 规律与方法：几个非负数的和为0，则这几 个非负数同时为0. 知识点1：算术平方根的定义 例1说出下列各式的意义，并化简： 有主测练 (1)25:(2)-√1.44：(3)±√8I. 1.√16的算术平方根是 () 解：(1)√25表示25的算术平方根， A.4 B.士4 C.2 D.±2 .√25=5. 2.用计算器求2024的算术平方根时，下列四个 (2)一√1.44表示1.44的算术平方根的相 键中，必须按的键是 () 反数或表示1.44的负的平方根， @ 回 ⊙ .-1.44=-1.2 A B C D (3)士√8I表示81的平方根， 3.若a2=4Nb=9,则a+b的值是 .±√81=±9. A.5 B.83 规律与方法：Wa表示a的算术平方根，一√a C.79 D.83或79 表示a的负的平方根，士a表示a的平方根. 4.下列计算错误的是 ( 知识点2：算术平方根的双重非负性 A.±0.04=±0.2B./25=5 例2已知y=√2x-1+√1-2x+8.x,求 C.-√100=-10 D.V8I=±9 √4.x+5y一6的算术平方根， 5.若一正方形的面积为20平方分米，周长为x 解：，y=√2x-1+√1-2.x+8x, 分米，则x的值介于下列哪两个整数之间？ () 2x-1≥0且1-2z≥0.∴x=7y .16,17B.17.18C.18,19D.19,20 ·39· 假期成才路·七年级数学(HS) 6.计算（√2）的结果等于 13.若x※y=√xy+4,求(2※6)※8的值. x=2 7,已知)是二元一次方程组 mx+ny=8 的 nx-my=1 解，则2m一n的算术平方根为 8.一225的绝对值的倒数的算术平方根是 9.当a= 时，√a+1有最小值，最小值 是· 10.若√五=5，则x= ,若√F=5,则 T= ,若√(x-2)=2-x,则x的取值 范围是 11.计算： (1)0.09+0.64: 14.若2x-41++4=0,求x+y的平 方根 26-15+6厨+32号. 12.已知√a-b+6与(a+b-8)2互为相反数，求 a,b的值. ·40· 第三部分八年级上册新课预习 规律与方法：(1)立方与开立方互为逆运算，所 11.1.2立方根 以可以用立方运算求一个数的立方根：(2)立方根 是开立方的结果，是一个数。 础甲 知识点2：立方根的性质 例2求下列各式的值. 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于 (1)-8: (2)3-8:(3)35: a,这个数叫a的立方根；记作：a.a称为被开方 数，3称为“根指数” (4)(5)3: 2.立方根的性质：一个正数有1个正的立方 根，一个负数有1个负的立方根，0的立方根 解：-2：(2)-2：(3)5：45：5)-号 是0. 规律与方法：(1)一a=-a:(2)a 3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做 (a)3=a. 开立方，开立方与立方互为逆运算 知识点3：利用开立方的定义解方程 4.用计算器求一个数的立方根 (1)当被开方数为正数时，正确的按键顺序 例3解方程：《8x-2少-1- 为SHIFT一被开方数三 解：先变形为(3x-2)=125 64 (2)若被开方数为负数，“一”号输人可以按 (一)也可以按□，在计算器上按键顺序为 由立方根的定义为：3x-2=5 SHFT一(-)被开方数司 r 典例探阅 规律与方法：利用开立方解三次方程，先将 方程整理成x3=a的形式，注意利用整体思想， 知识点1：立方根的定义 把(3x-2)看作一个整体. 例1求下列各数的立方根： 9 有主训练上 (2)-0.001:(3)729. 1.下列语句或计算中，正确的有 解：1：（号P-8 27' ①±3是27的立方根： 一品的立方根为号， ②派-a: ③一4没有立方根； 38_2 即√73 ④（±8）严=±4. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)(-0.1)3=-0.001, 2.下列各组数中，互为相反数的一组是(） .-0.001的立方根为-0.1， A.√6与(-6)2 B.-64与-64 即-0.001=-0.1. C.-a与-a D.a与-a (3),√729=27，且33=27， 3.(1)√64的相反数的立方根是 ∴.√729的立方根为3， (2)若一个数的算术平方根等于它的立方根， 即V√/729=3. 则这个数为 41 假期成才路·七年级数学(HS》 (3)512的立方根是 ,(-11)3的立方根 7.利用计算器比较下列各组数的大小 是 (1)W2与94 (2)-3与-7 (4)如果y2=1,那么= 4.已知a是b的立方根，且a与b两数之差为0， 则a= 5.计算下列各题： (V3g+0.15: 8.已知M=m"m+3是m+3的算术平方根， N=2m-2是n-2的立方根，试求M N的值. 2,6”×[--3+2 9.寻找规律 (1)计算：1.6丽 ；√169= √16900= :√1690000= 由以上结果可以看出，当被开方数的小数点 向右（或向左）移动2位时，算术平方根的小数 点相应地向右（或向左）移动 位 6.已知a-2的平方根是士2,2a+b+7的立方 (2)计算：0.343 :343=； 根是3，求a+的平方根。 /343000= ;9343000000= 由以上结果可以看出，当被开方数的小数点 向右（或向左）移动 位时，立方根的小数 点相应地向右（或向左）移动位。 (3)根据(1)、(2)的规律填空： ①已知√4.41= :则√0.0441= 若x=210,则x= ②已知3=1.442，则3000 30.003= 若5=144.2，则y ·42·假期成才路·七年级数学(HS) 25.解;(1)这个几何体的表面积为:6×6×(1×1)-36 若 BAC-3 BCA,则 BCA-7.5$ (平方厘来); BAC-22.5*,此时 OAC-112.5* (2)如图所示: 综上所述,当△ABC为“智慧三角形”时,OAC的 度数为80或52.5{或97.5或112.5*。 28.解:(1)①:'BAO-60{.MON-90.$$ ..ABN-150*. 从上面肴 从正面看 从左面石 正面 .BC平分ABN,AD平分 BAO 26.解:设非遗文献馆的坐席数有2x个,少年儿童馆坐 ·. CBA- ABN-750, 席数为3x个,则山体阅览区的坐席数4×3x+200 BAD-BAO-30, -(12x十200)个. 由题意可得;2x+3x+(12x+200)-1900 “.D=CBA-BAD-45^*。 解得x-100. ②/D的度数不变,理由是; '2x-200,3x-300,12x+200-1400 设BAD-a, 答:山体阅览区的坐席有1400个、非遗文献馆的坐 “:AD平分BAO...BAO-2 席有200个、少年儿童馆的坐席有300个. .AOB-90. 27.解:(1):AB|OM. . ABN= AOB+BAO-90*+2 ./OAB-90. .BC平分 ABN..ABC-45{+a, ' ABO-90{-MON-30{。 'D= ABC-BAD-45^{+a-a=45^$; .△AOB不是钝角三角形, (2)设BAD-a. '.△AOB不是“智慧三角形” (2)证明:AOC-60{},OAC-20 ' AC0-180*-60*-20-100*90$ “:AOB-90{. 且/AOC-3/OAC. ' ABN= AOB+$BAO-90{}+3$$ ..△AOC为“智慧三角形” (3)①当点C在线段OB上时: 'D= ABC-BAD=30{+-=30$$ .ABO-30. * BAC+ACB-150* (3)设BAD-3. :BAD-1BAO.:.BAO-n3 ACB>60*.BAC<90” 7 又:△ABC为“智慧三角形”, .AOB-a”, ' ACB90*.BAC<90 '. ABN= AOB+BAO=a十n{$$$ 若 ABC-3 BAC,则BAC-10*$ :ABC-1 ABN.. ABC-+③. ACB-140{},符合题意,此时OAC-80*; 若 ACB-3 BAC,则 BAC-37.5*$ ACB-112.5{,符合题意,此时OAC-52.5^*; 若ACB-3 ABC. 第三部分 八年级上册新课预习 则 ACB=90{*,不符合题意; 若 BAC=3ABC. 第11章 数的开方 则 /BAC=90{,不符合题意 ②当点C在线段OB的延长线上时 11.1 平方根与立方根 ABO-30”. '. ABC=150*}.ACB+$BAC=30 11.1.1 平方根(第1课时) .△ABC为“智慧三角形”, 自主训练 .若 ACB-3 BAC,则BAC-7.5 1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 此时OAC-97.5*; 6.正的平方根 负的平方根 2的平方根 ·58· 参考答案 7.10 8. 5 9.2 10.111111111 (3)①2.1 0.21 44100 11.(1)+3 ($2)士8 12.(1)x=士6 (2)y=7 ②14.42 0.1442 3000000 11.2 13.解;小芳不能将这张贺卡不折叠就放入此信封,理由 实数 如下: 第1课时 设长方形信封的长为5xcm,宽为3xcm. 自主训练 ·长方形面积为150cm{. 1.D 2.C 3.C 4.C 5. B .5x.3r-150. 6.(1)①③④...(2)②⑧.. .-10. (3)②④⑧..(4)①③.. 解得x-v10或x三-v10(舍去). 7.(1)/② OA的长度等于边长为1的正方形对角线的 ..长方形的长和宽分别为510cm,3 10cm. 长度 (2)实数与数轴上的点是一一对应的 .正方形贺卡的面积为100cm^}. (3)A '.正方形贺卡的边长为 100一10cm. 8. 士32 9.3和4 10.8 c14 ·(3v10)-90<100 11.士2 12.12-③ .3v1010. 第2课时 .长方形信封的宽小于正方形贺卡的边长 自主训练 1.D 2.C 3.A 4.D '.小芳不能将这张贺卡不折叠就放入此信封 14.士4 $.v2-33- - 6.2-v7.15 8.5 11.1.1 平方根(第2课时) (3)18 10.(1)12.84 (2)4.28 自主训练 11.0 1.C 2.C 3.D 4.D 5. B 八年级入学测试卷 9.-1 0 10.25 士5 x<2 一、选择题 $1.(1)1.1 (2)4 12.a=1,b-7 13.6 $ 14.解:-41+y4-0.而1x-410, 1.D 2. C 3. C 4. B 5. A 6. D 7. A 8. B 9. B 10.B +4二0. 二、填空题 11. 9-4^* 12.36 $13.4 $14.8 $15.135^{*}$16.15 三、解答题 解得:x-8,y=-4. 17.解:原式=-1-1xi(2-9)--1+7-3 .x十y-4. 18.解:(1)2(5x+1)-(2x-1)-6 '.x十y的平方根是士4-士2. 10x+2-2r+1-6 11.1.2 立方根 8x-3 自主训练 1.A 2.D 3.(1)-2 (2)1和0 (3)2 -11 (4)+1 (+2y-1 6.士10 ① (2) 3x-2y-11 7.(1)/24(2)-3-7 r-3. $8.m=6,n-3,M-3,N-1,M-N- 将x-3代人①,得9-2y-11,解得y=-1. 9.(1)1.3 13 130 1300 1 [-3 (2)0.7 7 70 700 3 1 所以方程组的解是 =-1 ·59·