精品解析：安徽省马鞍山中加双语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

马鞍山中加双语学校2023-2024学年高一期中考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：王有宽 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，命题，则（ ） A. p的否定是q B. p的否定是 C. q的否定是p D. q的否定是 2. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知函数则函数定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ） A. － B. C. － D. 5. 已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（ ） A. B. C. D. 6. 函数(，且)恒过定点（ ） A. B. C. D. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “或”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 11. 设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 1 12. 设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的单调减区间为______. 14. 已知幂函数的图像过点，则____________． 15. 若时，的最大值是____________. 16. 设为定义在上的偶函数，当时，．若方程有四个解，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 化简求值： （1） （2）； 18. 已知函数的图象关于原点对称，且当时， （1）试求在上的解析式； （2）写出的单调递减区间（无需证明）. 19. 已知函数 （1）求； （2）若，求a的取值范围. 20. 已知函数． （1）求证函数在上是单调减函数． （2）求函数在上的值域． 21. 已知关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）当，且满足＝1时，有恒成立，求的取值范围． 22. 已知函数是上的偶函数． （1）解不等式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2023-2024学年高一期中考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：王有宽 注意事项： 1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2.请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，命题，则（ ） A. p的否定是q B. p的否定是 C. q的否定是p D. q的否定是 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的否定的概念求解. 【详解】p的否定是．q的否定是． 故选:D. 2. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合，，在根据集合的交集的运算，即可得到，得到答案． 【详解】由题意，集合， ， 所以． 故选D． 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，以及集合的表示与运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3. 已知函数则函数定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数非负和分母不等于零 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D． 4. 已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ） A. － B. C. － D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b 【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数 ∴有：b＝0，且a－1＝－2a ∴a＝ ∴a＋b＝ 故选：B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值 5. 已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 6. 函数(，且)恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令即可求出定点的横坐标，从而可求出定点的纵坐标. 【详解】解：令，解得，则，则定点为. 故选:B. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值选出正确答案. 【详解】对于， ∵， ∴为偶函数，图像关于y轴对称，排除D； 由，排除B； 由，排除C. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 8. 若实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 不等式可化为，根据是增函数可求. 【详解】不等式化为， 是增函数，，即. 故选：A. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，由一次函数的性质可知，在上单调递增， 即在上单调递增，故B正确； 对于C：的定义域为，且， 所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于D：的定义域为，且， 所以为奇函数，故D错误； 故选：BC 10. 下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “或”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的知识，结合不等式或方程的知识对选项逐一判断即可选出答案. 【详解】对于A，“”成立，“”不一定成立，A错误； 对于B，“”可以推出“”， 取，得，但， 所以“”不能推出“”，B正确； 对于C，的两个根为或，C正确； 对于D，“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，D错误． 故选:BC． 11. 设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】由题知，且，进而解不等式即可得,再结合选项即可得答案. 【详解】解：当时，为增函数，则， 当时，为增函数， 故为增函数，则，且，解得， 所以，实数的值可能是内的任意实数. 故选：CD. 12. 设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD. 【详解】，故可作出的图象如图所示， 由图可知，要使且成立，则有且， 故必有且， 又，即为，所以． 由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能， 故选：BC． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的单调减区间为______. 【答案】、 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，再画出函数图像，结合图像即可求出函数的单调递减区间. 【详解】解：由知， 即的定义域为， 作出的图像如图所示： 由图可知： 的单调递减区间为和. 故答案为：、. 14. 已知幂函数的图像过点，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设幂函数，代入点，得，所以，所以答案应填：． 考点：幂函数． 15. 若时，的最大值是____________. 【答案】-7 【解析】 【分析】变换，直接利用均值不等式得到答案. 【详解】. 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 16. 设为定义在上的偶函数，当时，．若方程有四个解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点， 作出函数的图像，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数且当时，， 所以函数图像关于轴对称， 作出函数的图像： 若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点， 由图像可知：时，即有4个交点. 故的取值范围是， 故答案为： 四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 化简求值： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. 已知函数的图象关于原点对称，且当时， （1）试求在上的解析式； （2）写出的单调递减区间（无需证明）. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合条件即可求解的解析式， （2）由的图象即可求解单调区间． 【小问1详解】 的图象关于原点对称， 是奇函数， ． 又的定义域为， ，解得． 设，则， 当时，， ， ， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得的图象如下所示： 由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 19. 已知函数 （1）求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 函数，则， 所以. 【小问2详解】 函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 20. 已知函数． （1）求证函数在上是单调减函数． （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）证明如下： 任取，且 则 由，且，则， 所以 所以 所以函数在上是单调减函数． （2） 【解析】 【分析】(1)直接用定义法证明函数的单调性. (2)利用（1）的单调性结论可求函数在上的值域 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得函数在上单调减函数 所以，即 所以函数在上的值域为：. 【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性和结合函数单调性求函数的值域.属于基础题. 21. 已知关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）当，且满足＝1时，有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得； （2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或， 所以1和2是方程的两个实数根且， 所以，解得， 经检验满足条件， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，于是有， 故， （当时等号成立） 依题意有，即， 解得， 所以的取值范围为. 22. 已知函数是上的偶函数． （1）解不等式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1）先利用偶函数的定义求出，设，则不等式即为，再解关于x的不等式即可; (2）问题转化为在恒成立，设，(t <0) ，则在时恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）为偶函数 恒成立， 恒成立， 即恒成立， ，， ， ， 设，则不等式即为， ， 所以原不等式解集为． （2）在上恒成立， 即：在上恒成立， 令，则， 在时恒成立，所以， 又，当且仅当时等号成立， 则． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $