精品解析：广东省揭阳市普宁市普师高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期高二数学科期中试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A B. C. D. 3. 若二项式的展开式中项的系数是,则实数的值为（　　） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 4. 已知的分布列为 则下列说法错误的是（ ） A. B. C D. 5. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ） A. 180 B. 150 C. 120 D. 210 6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54 B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 8. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C D. 11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. = ___________ ， 今天星期四，天后星期几？________ 13. 将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有______种． 14. 若随机变量的分布列如下表，且，则的值为________. 0 2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 16. 在展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 17. 已知公差不为0等差数列首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有次投篮机会，若投中次或次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮次. 已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立. （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为，求的分布列与均值. 19. 设函数，其中． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期高二数学科期中试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数和的导数求导法则及常见函数的导数求导公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义计算即可得出结果. 【详解】，则. 故选：C． 3. 若二项式的展开式中项的系数是,则实数的值为（　　） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出和展开式中项的系数，即可求出的值. 【详解】， 的展开式的通项公式为，， 所以展开式中项的系数是， 展开式中项的系数是， 所以，解得， 故选：C. 4. 已知的分布列为 则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质可求出的值，可判断AD选项；利用期望公式可判断B选项；利用方差公式可判断C选项. 【详解】对于A选项，由分布列的性质可得，可得，则，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 5. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ） A. 180 B. 150 C. 120 D. 210 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为4、1、1的三组，有种分组方法， 若分为3，2，1的三组，有种分组方法， 若分为2，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有种分发方式． 故选：A． 6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，然后根据导函数单调函数，利用零点存在定理列式计算. 【详解】由已知得，明显为单调递增函数， 若函数在上有极值点， 则且，解得.即. 故选：C. 7. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54 B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】D 【解析】 【分析】 对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误， ③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位， 故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 , 从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加， 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是， 即选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法: 1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置; 3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; 5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列; 6.间接法:正难则反、等价转化的方法. 8. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数性质可判定，构造函数，利用导数研究其单调性可判定. 【详解】因为，利用换底公式可知， 构造函数， 显然时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减， 所以由，即， 所以，综上. 故选：A 【点睛】难点点睛：观察式子发现利用对数函数的性质可判定，即底数大于1时，底数越大图象在第一象限内越平缓，步骤上可以由换底公式计算；对于后两项对比可以构造，通过其单调性进行对比即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到答案. 【详解】由于，故选项A不正确； 由于，故选项B正确； 由于，故选项C正确； 由于，故选项D不正确. 故选：BC. 10. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可 【详解】解：由，得 ，则 其展开式的通项公式为， 对于A，令，则，所以A错误， 对于B，令，则，所以B正确； 对于C，在中令，则，所以C错误； 对于D，，所以D正确， 故选：BD 11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可． 【详解】对于A：因为，故A错误； 对于B：因为，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：由上可得， 又因为，故D错误， 故选：BC． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. = ___________ ， 今天星期四，天后星期几？________ 【答案】 ①. 6 ②. 星期一 【解析】 【分析】根据组合数的计算公式，求得的值，再由，结合二项展开式，得到余数，即可求解. 【详解】由组合数的计算公式，可得； 由 ， 今天星期四，所以天后是星期一. 故答案：；星期一. 13. 将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】先将两名教师看成一组，再将平均分为两组，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】将六位教师分配到3所学校，每所学校分配2人，且分配到同一所学校， 先将两名教师看成一组，再将平均分为两组，有种分法， 所以不同的分配方法共有种. 故答案为：. 14. 若随机变量的分布列如下表，且，则的值为________. 0 2 【答案】 【解析】 【分析】利用分布列求出，利用期望求解，然后求解方差即可． 【详解】解：由题意可得：，解得， 因为，所以：，解得． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、方差的求法，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程； （2）利用列表法求出单调区间和极值. 【小问1详解】 函数的定义域为R. 导函数. 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，解得：或.列表得： x 1 3 + 2 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为； 的极大值为，极小值为. 16. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】（1） （2） （3）第项和第项 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）当为整数时为有理项，即可求解； （3）设第项系数的绝对值最大，列方程组即可求解. 【小问1详解】 ，， 二项式系数最大的项为中间项，即第项， 所以； 【小问2详解】 ，， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 17. 已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）由（1）可知，，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意，得 解得或（舍） ∴ ； 【小问2详解】 ，， 此时； ， ， ， ， 所以. 18. 体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有次投篮机会，若投中次或次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮次. 已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立. （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为，求的分布列与均值. 【答案】（1） （2），分布列见解析 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式以及互斥事件的概率加法公式可求出甲同学通过测试的概率； （2）分别计算出甲、乙通过测试的概率，分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 解：记事件甲同学通过测试，则甲同学次投篮中，投中次或次， 则. 【小问2详解】 解：若甲通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中， 所以，甲通过测试的概率为， 同理可知，乙通过测试的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. 19. 设函数，其中． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）有极小值，极大值；（2）或. 【解析】 【分析】（1）求出，讨论导数的符号后可判断并求出函数的极值. （2）在区间上有两个零点等价于直线与曲线，有且只有两个公共点，后者可利用导数讨论其单调性，从而可求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，. 此时，则. 当时，，当或时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增. 所以有极小值，有极大值. （2）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于 “直线与曲线，有且只有两个公共点”. 又. 由，解得， 当时，；当或时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增. 又因为，，，， 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. ∴当或时，函数在区间上有两个零点. 【点睛】（1）函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点． （2）含参数的闭区间上函数的零点的个数，可用参变分离把含参数的函数零点问题转为不含参数的函数的图像问题，后者可用导数来刻画． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$