精品解析：山东省烟台第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

山东省烟台第一中学2023-2024学年度第二学期高二5月月考 数学 2024.05.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求得的值，再由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】记事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”, 则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. 知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先选出2道选答题，再加上2道必答题，最后把这4道题分给4个人，根据分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先从4道选答题中选出2道试题，共有种选法， 再加上2道必答题，共计4道题， 把这4道题分给代表队中的4个人，共有中不同的分法， 由分步计数原理可得，此代表队可选择的答题方案的种类为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中合理应用先选后排的方法是解答的关键，着重考查了等价转化思想的应用，属于中档试题. 3. 设随机变量的概率分布列是，，其中C为常数，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列中各个变量的概率之和等于1，求出C的值，由，代入求值即可． 【详解】随机变量的概率分布列是，＝1，2，3，4，5，6， ，解得， ∴． 故选：B． 4. 若的展开式中各项系数之和为243，则展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】令，得到各项系数之和为，解出，利用通项公式解出的系数. 【详解】令，得到各项系数之和为，解得，则的通项公式为， 令，解得，的系数为. 故选：C. 5. 设，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】赋值为、，联立得到的两个方程进行求解. 【详解】令，得， 令，得， 两式联立可得：. 故选：D 6. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果. 【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有 当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种， 由间接法得到满足条件的情况有 共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种， 故满足条件的事件的概率为： 故答案为C. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 7. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 1.2 D. 1.1 【答案】A 【解析】 【分析】按步骤写出分布列，再利用均值公式即可. 【详解】依题意得，的可能取值为0，1，2， ， ， ． 可得X的分布列如表所示： 0 1 2 0.3 0.5 0.2 . 故选：A． 8. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 A. 60 B. 72 C. 84 D. 96 【答案】C 【解析】 【详解】 根据题意，可分三种情况讨论： ①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有种情况， 将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序种情况， 当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中， 有种安排方法，此时有种不同坐法； ②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时， 将父母及小明看成一个整体， 小明在一端，有种情况，考虑父母之间的顺序，有种情况，则这个整体内部有 种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况， 此时有种不同坐法； ③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况， 此时，共有种不同坐法； 综上所述，共有种不同的坐法，故选C. 点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；②小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；③小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 根据如图所示的三个正态分布密度函数的图象，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中不正确的结论编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小,表示离散程度,利用图象形状即可判断出结论. 【详解】正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长, 因此, . 故选:BCD 10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表如下所示： 班级 人数 总计 优秀 非优秀 A班 14 6 20 B班 7 13 20 总计 21 19 40 则下列说法不正确的是（ ） A. 能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.01 B. 能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.01 C. 能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.05 D. 能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.05 【答案】ABD 【解析】 【分析】由列联表数据可计算求得，对比临界值即可. 【详解】由列联表数据得：， ， 能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.05. 故选：ABD. 11. 根据期望最大原则，利用下列盈利表中的数据进行决策，不应该选择的方案编号是（ ） 　　　 盈利方案 自然状况概率 ① ② ③ ④ 0.25 50 70 98 0.30 65 26 52 82 0.45 26 16 78 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用表格数据，计算期望，比较期望大小，即可得出结论. 【详解】利用方案①，期望为， 利用方案②，期望为， 利用方案③，期望为 利用方案④，期望为，所以方案②的期望最小，不应该选择的方案编号是②， 故选：B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 某数学老师身高，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是、和．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为____ 【答案】 【解析】 【分析】设出解释变量和预报变量；代入线性回归方程公式，求出线性回归方程，将方程中的用182代替，求出他孙子的身高． 【详解】解：设表示父亲的身高，表示儿子的身高,则随的变化情况如下： 173 170 176 182 170 176 182 ？ ，， ，， 线性回归方程 当时，． 故答案为： 13. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __． 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率的性质和全概率公式计算即可. 【详解】设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2， 显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组， 且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）． 由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）． 由贝叶斯公式得，P（A1|A2）． 故答案为：． 14. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有____________． 【答案】 【解析】 【分析】因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以从这个周第二天开始的中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都为0，1，2，3天，共四种情况，利用组合知识可得结论. 【详解】因为第一天和第七天吃的水果数相同， 可知从这个周第二天开始的中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同， 则后面六天水果数“多一个”或“少一个”的天数可能是0，1，2，3天，共四种情况， 所以共有种， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 历史资料显示，某种疾病的患者自然痊愈率为20%．为试验一种治疗这种疾病的新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10位患者服用，试验方案为：若这10位患者中至少有5人治好了，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效． （1）如果新药有效，把治愈率提高到了70%，求通过试验却认定该药无效的概率p； （2）根据p值的大小解释试验方案是否合理． 【答案】（1） （2）试验方案合理 【解析】 【分析】（1）先分析新药无效的情况：10中0人或1人或2人或3人或4 人痊愈，由此求解出无效的概率； （2）结合（1）该药无效的概率分析试验方案的合理性得解. 【小问1详解】 设通过试验痊愈的人数为变量，则， 所以经试验认定该药无效的概率为： . 【小问2详解】 由题意，新药是有效的，由（1）得经试验认定该药无效的概率为，小于，概率很小是小概率事件，故试验方案合理. 16. 某同学在篮球场上进行投篮训练，先投“2分的篮”2次，每次投中的概率为，每投中一次得2分，不中得0分；再投“3分的篮”1次，每次投中的概率为，投中得3分，不中得0分．该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上三次投篮． （1）求该同学恰好有2次投中的概率； （2）求该同学所得分X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 【解析】 【分析】（1）恰有两次投中包括两次投中“2分的篮”和一次投中“2分的篮”一次投中“3分的篮”，然后根据乘法公式求概率即可； （2）分别求出该同学各种得分情况的概率，然后列分布列，求期望即可. 【小问1详解】 该同学恰有两次投中包括两次投中“2分的篮”和一次投中“2分的篮”一次投中“3分的篮”， 所以该同学恰有两次投中得概率. 【小问2详解】 该同学得分共有6种情况：， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下： . 17. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值. （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进 行评判（表示相应事件的概率）；①；②；③. 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级. （2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品. （ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望. 【答案】（1）的性能为丙级别. （2）（ⅰ） （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据3原则，分别求得其对应的概率，进而判断出M的性能级别． （2）通过题意可知，样本中共有6件次品，可知M生产的次品率为0.06．通过二项分布的概率分布即可求得次品的数学期望． 【小问1详解】 由题意知道： ，，，，，，所以由图表知道： 所以该设备的性能为丙级别. 【小问2详解】 由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件 （i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为， 依题意， 故 （ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2 ，，， 故 【点睛】本题考查了正态分布中3原则及其简单应用，概率分布及其分布列、数学期望的简单计算，属于中档题． 18. 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有． （i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：， 另，刻画回归效果的相关指数 【答案】（1）1.29%； （2）（i）， （ii）模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元），这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性得到，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故，由间接法列式得到结果即可；（2）（i）根据公式计算得到回归直线方程；（ii）通过比较的大小可得到拟合效果的差异，将x=16代入回归方程可得到预测值. 【详解】（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则， 由正态分布的对称性可知， ， 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故， 故， 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%． （2）（i）由，有 ， 且， 所以，模型②中关于的回归方程为 （ii）由表格中的数据，有，即模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元）， 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值 19. 武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为. （i）试运用概率统计知识，若，试求P关于k的函数关系式； （ii）若，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值. 参考数据：，，，， 【答案】(1) ;(2) （i）,;（ii）4 【解析】 【分析】 (1)根据排列的方法列式求概率即可. (2) （i）分别求解,再化简求时的解析式即可. （ii）由题,化简可得,再构造函数求导分析函数的单调性,再根据零点存在性定理求区间端点的正负判断即可. 【详解】(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的事件为,则,故恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的概率为 (2) （i）由已知可得,所有可能的取值为. 所以,, 所以. 若,则,所以. 故. 所以P关于k的函数关系式, （ii）由题意可知,即,化简得. 因为,所以,即. 设函数. 又,故当时, ,即在上单调递减. 又,. 故的最大值为4. 【点睛】本题主要考查了排列在概率中的运用,同时也考查了构造函数数学期望的求解以及构造函数分析不等式的方法.属于中档题.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台第一中学2023-2024学年度第二学期高二5月月考 数学 2024.05.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A. B. C. D. 2. 知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量的概率分布列是，，其中C为常数，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中各项系数之和为243，则展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 5. 设，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 6. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为 A. B. C. D. 7. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 1.2 D. 1.1 8. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 A. 60 B. 72 C. 84 D. 96 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 根据如图所示的三个正态分布密度函数的图象，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中不正确的结论编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表如下所示： 班级 人数 总计 优秀 非优秀 A班 14 6 20 B班 7 13 20 总计 21 19 40 则下列说法不正确的是（ ） A. 能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.01 B. 能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.01 C. 能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.05 D. 能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.05 11. 根据期望最大原则，利用下列盈利表中的数据进行决策，不应该选择的方案编号是（ ） 　　　 盈利方案 自然状况概率 ① ② ③ ④ 0.25 50 70 98 0.30 65 26 52 82 0.45 26 16 78 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 某数学老师身高，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是、和．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为____ 13. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __． 14. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 历史资料显示，某种疾病的患者自然痊愈率为20%．为试验一种治疗这种疾病的新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10位患者服用，试验方案为：若这10位患者中至少有5人治好了，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效． （1）如果新药有效，把治愈率提高到了70%，求通过试验却认定该药无效的概率p； （2）根据p值的大小解释试验方案是否合理． 16. 某同学在篮球场上进行投篮训练，先投“2分的篮”2次，每次投中的概率为，每投中一次得2分，不中得0分；再投“3分的篮”1次，每次投中的概率为，投中得3分，不中得0分．该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上三次投篮． （1）求该同学恰好有2次投中的概率； （2）求该同学所得分X的分布列和数学期望． 17. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值. （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进 行评判（表示相应事件的概率）；①；②；③. 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级. （2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品. （ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望. 18. 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有． （i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：， 另，刻画回归效果的相关指数 19. 武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为. （i）试运用概率统计知识，若，试求P关于k的函数关系式； （ii）若，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值. 参考数据：，，，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $