辽宁省盘锦市兴隆台区光正实验学校2023-2024学年八年级下学期第三次摸底数学试卷

2023-2024学年辽宁省盘锦市兴隆台区光正实验学校八年级（下）第三次摸底数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列选项中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．×＝4 B．÷＝2 C． +＝ D．＝﹣15 4．（3分）已知，则xy的值为（　　） A．3 B．8 C．24 D．11 5．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣x+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣x﹣2 B．y＝﹣x﹣6 C．y＝﹣x+10 D．y＝﹣x﹣1 7．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2++|c﹣10|＝0，则三角形的形状是（　　） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 8．（3分）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）若一次函数y＝（3﹣k）x﹣k的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞3 B．0＜k≤3 C．0≤k＜3 D．0＜k＜3 10．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　） A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为 　 　． 12．（3分）已知，，则x2+2xy+y2＝　 　． 13．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为　 　． 14．（3分）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为100和64，则正方形C的面积为 　 　． 15．（3分）已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，∠AEO＝　 　． 三、解答题 16．（8分）计算： （1）； （2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2． 17．（7分）某中学有一块四边形空地需要绿化，李老师将空地绿化费用预算的任务交给蓝天小组，小组的同学们把“空地绿化的合理预算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算绿化这块空地所需的费用． 课题 空地绿化的合理预算 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①在四边形ABCD中，AB⊥BC，相关长度如图所示． ②每平方米的绿化费用为100元． 计算结果 …… 18．（8分）如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm，当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE） （1）求BF的长； （2）求EC的长． 19．（8分）如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F． （1）求证：四边形OECF是正方形； （2）若AD＝4，求正方形OECF的面积． 20．（8分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系． （1）小亮行走的总路程是 　 　m，他途中休息了 　 　min； （2）①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式； ②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？ 21．（10分）如图直线：y1＝kx+b经过点A（﹣6，0），B（﹣1，5）． （1）求直线AB的表达式； （2）若直线y2＝﹣2x﹣3与直线AB相交于点M，求点M的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣3≥0的解集； （4）在直线AB上存在异于点M的另一点P，使得△ADP的面积是△ADM的面积2倍，请直接写出点P的坐标． 22．（12分）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示： 价格/品种 A品种 B品种 进价（元/盒） 45 60 标价（元/盒） 70 90 （1）求这两个品种的草莓各购进多少盒； （2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？ 23．（14分）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形﹣﹣﹣平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形ABCD的边长为2，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°．将∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形OECF的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了△OEC≌△OFD，则S△OEC＝S△OFD，那么S四边形OECF＝S△OEC+S△OCF＝S△OFD+S△OCF＝S△OCD，这样，就实现了四边形OECF的面积向△OCD面积的转化； 小航：如图b，也是考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作OG⊥BC于点G，OH⊥CD于点H，证明△OGE≌△OHF，从而将四边形OECF的面积转化成了小正方形OGCH的面积． 通过他们的思路点拨，你认为：S四边形OECF＝　 　（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段CE与CF的和也是一个定值，为 　 　． （2）【类比探究】 ①如图2，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点O是AD边的中点，∠BOF＝90°．点E在AB上，点F在BC上，则四边形EBFO的面积为 　 　；EB+BF＝　 　； ②如图3，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°，边长为8的菱形ABCD，其他条件不变，当∠EOF＝60°”时，四边形OECF的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点O在对角线AC上运动，顶点O与B点的距离为7，且∠EOF旋转至CF＝1时，CE的长度为 　 　． 2023-2024学年辽宁省盘锦市兴隆台区光正实验学校八年级（下）第三次摸底数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．【分析】被开方数中不含分母或被开方数中不含开得尽方的整数（或整式），这样的二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可． 【解答】解：＝，则A不符合题意； ＝2，则B不符合题意； ＝3，则C不符合题意； 是最简二次根式，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确； C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误； D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键． 3．【分析】利用二次根式的性质对A、C、D进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断． 【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误； B、原式＝＝2，所以B选项正确； C、原式＝2+，所以C选项错误； D、原式＝15，所以D选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．【分析】根据算术平方根的非负性得出x＝3，从而得出y＝8，代入xy进行计算即可得出答案． 【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x＝3， ∴y＝8， ∴xy＝3×8＝24， 故选：C． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 5．【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∵b＝k＞0， ∴一次函数y＝﹣x+k的图象经过一、二、四象限， 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝﹣kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限． 6．【分析】根据一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），用待定系数法可求出函数关系式． 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b． 由题意可得出方程组， 解得：， 那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10． 故选：C． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，由一次函数的一般表达式，根据已知条件，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． 7．【分析】根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，求出a、b、c的值，求出a2+b2＝c2，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【解答】解：∵（a﹣6）2++|c﹣10|＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0， ∴a＝6，b＝8，c＝10， ∴a2+b2＝c2， ∴三角形的形状是直角三角形， 故选：C． 【点评】本题考查了偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 8．【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE＝90°，再进一步根据勾股定理进行求解． 【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形， ∴∠DCE＝∠CDE＝60°，BC＝CD＝4． ∴∠BDC＝∠CBD＝30°． ∴∠BDE＝90°． ∴BD＝＝4． 故选：D． 【点评】此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理． 9．【分析】已知中，一次函数y＝（3﹣k）x﹣k的图象不经过第二象限，可判断该函数的斜率为正，即3﹣k＞0，且﹣k≤0，解之可得k的取值范围． 【解答】解：由题意知，一次函数y＝（3﹣k）x﹣k的图象不经过第二象限， 故， 解之得：0≤k＜3． 故选：C． 【点评】本题是对一次函数性质的考查和应用，也是对解不等式组解的考查． 10．【分析】先根据函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集． 【解答】解：∵函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3）， ∴3＝2m， m＝， ∴点A的坐标是（，3）， ∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜； 故选：A． 【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：若式子有意义，则应满足， 解得：x≥2且x≠3， 故答案为：x≥2且x≠3． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，此题比较简单． 12．【分析】求出x+y＝4，再两边平方可得x2+2xy+y2＝48． 【解答】解：∵，， ∴x+y＝4， ∴（x+y）2＝（4）2， ∴x2+2xy+y2＝48； 故答案为：48． 【点评】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 13．【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm， ∴斜边为＝10（cm）， 设斜边上的高为h， 则直角三角形的面积为×6×8＝×10h， 解得：h＝4.8cm， 这个直角三角形斜边上的高为4.8cm． 故答案为：4.8cm． 【点评】本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形的面积的求法，正确利用三角形面积得出其高的长是解题关键． 14．【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可； 【解答】解：∵正方形A和B的面积分别为100和64， ∴它们分别是直角三角形的一条斜边和一条直角边的平方， 则根据勾股定理可得，S正方形C＝S正方形A﹣S正方形B＝100﹣64＝36， 故答案为：36． 【点评】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 15．【分析】根据矩形的性质可得：OB＝OC，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，又由AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，即可求得：∠OBE与∠AEB的度数，以及△OAB是等边三角形，△ABE是等腰三角形，即可得：△OBE是等腰三角形，求得∠OEB的度数，则问题得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠BOC＝∠AOD＝120°， ∴∠OBC＝30°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝45°， ∴∠AEB＝∠EAD＝∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴AB＝OA＝OB， ∴OB＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO， ∴∠OEB＝75°， ∴∠AEO＝∠OEB﹣∠AEB＝75°﹣45°＝30°． 故答案为：30°． 【点评】此题考查了矩形的性质．注意由平行线与角平分线则可构造等腰三角形，还要注意数形结合思想的应用． 三、解答题 16．【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘法，零指数幂和绝对值进行计算，再算加减即可； （2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再算加减即可． 【解答】解：（1） ＝4+3﹣﹣1﹣（2﹣） ＝4+3﹣﹣1﹣2+ ＝4； （2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2 ＝（）2﹣12﹣（1﹣4+12） ＝3﹣1﹣1+4﹣12 ＝4﹣11． 【点评】本题考查了零指数幂，平方差公式，完全平方公式，绝对值，二次根式的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 17．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，利用两个直角三角形面积的和求出四边形ABCD的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴， ∵AC2+CD2＝102+242＝676＝262＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝， ∴144×100＝14400（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为14400元． 【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 18．【分析】（1）由折叠可得AF＝AD＝10，在直角三角形ABF中，由勾股定理可求BF， （2）再由折叠得到DE＝EF，将问题转化到直角三角形EFC中，设未知数，建立方程，求出结果． 【解答】解：（1）由折叠得：AF＝AD＝BC＝10， 在Rt△ABF中，AB＝8，AF＝10， ∴BF＝＝6， 答：BF的长为6cm； （2）FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4， 设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x， 在Rt△EFC中，由勾股定理得： x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3， 答：EC的长为3cm． 【点评】考查矩形的性质、折叠轴对称的性质、直角三角形的勾股定理等知识，切实理解折叠得性质和转化到某一个直角三角形中解决问题是常用的方法． 19．【分析】（1）首先证得△ODF≌△OBE（AAS），得到OF＝OE，结合四边形OECF是矩形，推导出四边形OECF是正方形； （2）由正方形ABCD得到∠ODF＝45°，AD＝CD＝4，DF＝OF，又OF＝FC，，进而求得正方形OECF的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB． ∵AO⊥BD， ∴DO＝BO， ∵OF⊥DC，OE⊥BC， ∴∠OFD＝∠OEB＝90° ∵∠ODF＝∠OBE＝45°， ∴△ODF≌△OBE（AAS）， ∴OF＝OE． ∵∠OFC＝∠OEC＝∠C＝90°， ∴四边形OECF是矩形． ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形． （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ODF＝45°，AD＝CD＝4． ∵∠OFD＝90°， ∴DF＝OF． ∵四边形OECF是正方形， ∴OF＝FC， ∴， ∴S正方形OECF＝FC2＝4． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 20．【分析】（1）纵坐标为小亮行走的路程，其休息的时间为纵坐标不随x的值的增加而增加； （2）根据当50≤x≤80时函数图象经过的两点的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可． 【解答】解：（1）3600，20； （2）①当50≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 根据题意，当x＝50时，y＝1950；当x＝80时，y＝3600 ∴ 解得： ∴函数关系式为：y＝55x﹣800． ②缆车到山顶的线路长为3600÷2＝1800米， 缆车到达终点所需时间为1800÷180＝10分钟 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50＝60分钟， 把x＝60代入y＝55x﹣800，得y＝55×60﹣800＝2500． ∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500＝1100米． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题． 21．【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）△ADP与△ADM底边都是AD，根据△ADP的面积是△ADC面积的2倍，可得点P的坐标． 【解答】解：（1）由题意得， 解得， ∴直线AB的表达式为y1＝x+6； （2）解，得， ∴点M的坐标为（﹣3，3）； （3）把y＝0代入y＝﹣2x﹣3得，﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1.5， 观察图象，关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣3≥0的解集为﹣3＜x≤﹣1.5； （4）∵△ADP与△ADM底边都是AD，△ADP的面积是△ADM面积的2倍， ∴△ADP高就是点M到直线AD的距离的2倍，即P纵坐标的绝对值＝6， ∴点P纵坐标是±6， 当y＝6时，则x+6＝6，解得x＝0； 当y＝﹣6时，则x+6＝﹣6，解得x＝﹣12； ∴P的坐标为（0，6）或（﹣12，﹣6）． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． 22．【分析】（1）根据某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓，按标价出售可获毛利润1500元和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出毛利润和购买A种草莓数量的函数关系式，然后根据水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒，可以得到相应的不等式，求出A种草莓数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少． 【解答】解：（1）设A品种的草莓购进x盒，B品种的草莓购进y盒， 由题意可得，， 解得， 答：A品种的草莓购进30盒，B品种的草莓购进25盒； （2）设A品种的草莓购进a盒，则B品种的草莓购进（100﹣a）盒，毛利润为w元， 由题意可得，w＝（70﹣45）a+（90﹣60）×（100﹣a）＝﹣5a+3000， ∵k＝﹣5＜0， ∴w随a的增大而减小， ∵水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒， ∴， 解得20≤a≤33， ∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝﹣5×20+3000＝2900，100﹣a＝80， 答：当A品种的草莓购进20盒，B品种的草莓购进80盒时，才能使毛利润最大，最大毛利润是2900元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答． 23．【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过O作OG⊥BC于点G，证四边形ABGO是正方形，则S正方形ABGO＝4，再证△AOE≌△GOF（ASA），得S△AOE＝S△GOF，AE＝GF，即可解决问题； ②过O作OG∥BC交CD于点G，证△ABC是等边三角形和△OCG是等边三角形，得AC＝AB＝8，CG＝OC＝4，再证△OCE≌△OGF（ASA），得S△OCE＝S△OGF，则S四边形OECF＝S△OCG，然后证DG＝CG＝4，即可解决问题； ③连接BD交AC于点M，分两种情况，a、点O在MA上时，b、点O在MC上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； 【解答】解：（1）浩浩：∵四边形ABCD是正方形，边长为2， ∴S正方形ABCD＝22＝4，CD＝2，OC＝OD，∠BCD＝∠ADC＝90°，∠OCE＝∠ODF＝45°，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF， ∴△OEC≌△OFD（ASA）， ∴S△OEC＝S△OFD，CE＝DF， ∴S四边形OECF＝S△OEC+S△OCF＝S△OFD+S△OCF＝S△OCD＝S正方形ABCD＝1，CE+CF＝DF+CF＝CD＝2； 小航：∵OG⊥BC，OH⊥CD， ∴∠OGC＝∠OHC＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴四边形OGCH是矩形， ∴∠GOH＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠GOE＝∠HOF， ∵四边形ABCD是正方形，边长为2， ∴AB＝AD＝2，OA＝OB＝OC＝OD， ∵OG⊥BC， ∴BG＝CG＝1， ∴OG是△ABC的中位线， ∴OG＝AB＝1， 同理：OH＝AD＝1， ∴OG＝OH＝1， ∴△OGE≌△OHF（ASA），四边形OGCH是正方形， ∴EG＝FH，S△OGE＝S△OHF， ∴S四边形OECF＝S△OEC+S△OCF＝S△OEC+S△OHC+S△OHF＝S△OEC+S△OHC+S△OGE＝S正方形OGCH＝OG2＝1， CE+CF＝CG﹣EG+CH+FH＝CG+CH＝2； 故答案为：1，2； （2）①如图2，过点O作OG⊥BC于点G， 则∠OGB＝∠OGF＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABGO是矩形， ∴OG＝AB＝2，BG＝OA，∠AOG＝90°， ∵AD＝4，点O是AD边的中点， ∴BG＝OA＝2， ∴OA＝OG＝2， ∴四边形ABGO是正方形， ∴S正方形ABGO＝22＝4， ∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠GOF， ∵OA＝OG，∠A＝∠AGF＝90°， ∴△AOE≌△GOF（ASA）， ∴S△AOE＝S△GOF，AE＝GF， ∴S四边形EBFO＝S正方形ABGO＝4，EB+BF＝AB﹣AE+BG+GF＝AB+BG＝2+2＝4， 故答案为：4，4； ②当∠EOF＝60°时，四边形OECF的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点O作OG∥BC交CD于点G， ∵四边形ABCD是菱形，边长为8，∠BCD＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝8，∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝8，OA＝OC＝4， ∴OD＝＝＝4， ∴S△OCD＝OC•OD＝×4×4＝8， ∵OG∥BC， ∴∠GOC＝∠ACB＝60°，∠OGC＝180°﹣∠BCD＝60°， ∴∠GOC＝∠ACD＝∠OGC＝60°， ∴△OCG是等边三角形， ∴CG＝OC＝4， ∵∠EOF＝60°， ∴∠EOC＝∠GOF， ∵∠OGF＝∠OCE＝60°， ∴△OCE≌△OGF（ASA）， ∴S△OCE＝S△OGF， ∴S四边形OECF＝S△OCG， ∵CG＝4，CD＝8， ∴DG＝CG＝4， ∴S四边形OECF＝S△OCG＝S△OCD＝4， 即当∠EOF＝60°时，四边形OECF的面积还是一个定值4； ③连接BD交AC于点M，分两种情况 a、点O在MA上时，如图4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴MA＝MC＝4，AC⊥BD， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：MB＝＝＝4， 在Rt△OBM中，由勾股定理得：OM＝＝＝1， ∴OC＝OM+CM＝1+4＝5， 过点O作OG∥AD交CD于点G， 同②得：△OCG都是等边三角形， ∴CG＝OG＝OC＝5，∠OGF＝∠GOC＝60°， ∴∠OGF＝∠OCE＝60°， ∵∠EOF＝60°， ∴∠COE＝∠GOF， ∴△OCE≌△OGF（ASA）， ∴CE＝GF＝CG﹣CF＝5﹣1＝4； b、点O在MC上时，如图4﹣1，过点O作OG∥AD交CD于点G， 同理得：OM＝1，△OCG都是等边三角形，△OCE≌△OGF（ASA）， ∴CG＝OG＝OC＝CM﹣OM＝4﹣1＝3，CE＝GF＝CG﹣CF＝3﹣1＝2； 综上所述，CE的长为4或2， 故答案为：4或2； 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$