第08讲 完全平方公式（九大题型）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第08讲 完全平方公式（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、会用图形证明完全平方公式； 2、学会用完全平方公式计算； 3、完全平方公式的应用 一、知识引入 计算下列各题，并观察乘式与结果的特征： (1)(a+b)²= (2)(2a+3b)²= (3)(x-y)²= (4)(2x-3y)²= 通过计算你发现什么规律? 比较等号两边的代数式，可以看到 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即 (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²-2ab+b². 这两个公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式. 思考：你能根据图9-14和图9-15中的图形来说明完全平方公式吗? 9-14 9-15 二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【方法规律】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 三、补充公式 ；； ；. 题型1：利用完全平方公式计算 1．计算： (1)； (2)； (3) 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型2：利用乘法公式计算 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．综合运用乘法公式计算： (1)； (2)． 题型3：乘法公式的化简求值型 7．先化简，再求值：，其中，． 8．先化简，再求值：，其中． 9．先化简，再求值：，其中． 题型4：根据完全平方公式求参数的值 10．若多项式是完全平方式，则 ． 11．若是完全平方式，则常数（    ） A．12 B．24 C． D． 12．若，则的值为（    ） A．28 B． C．24或 D．28或 13．关于x的多项式是完全平方式，则实数a的值是（    ） A．3 B． C． D．6 14．如果是一个完全平方式，那么k等于 ． 15．如果是一个完全平方式，那么k的值是（    ） A．5 B．-3 C．5或 D．3或5 题型5：根据完全平方公式求代数式的值 16．已知：，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．已知，，求的值． 18．已知实数，满足，． (1)求的值； (2)求的值． 19．若，，则的值为（    ） A．21 B．29 C．17 D．33 20．已知，且，则 ． 21．例：已知，求的值． 解：因为，所以，则，所以． 观察以上解答，解答以下问题： 已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 22．已知，求的值． 23．已知，，，那么的值等于（   ） A．6 B．3 C．2 D．0 题型6：完全平方公式的图形应用 24．如图所示，请完成下列问题： (1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______． (2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来． 25．如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（    ） A．（2） B．（1） （3） C．（1） （4） D．（4） 26．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 27．请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和． 方法1：__________________________． 方法2：__________________________． （2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：___________________ （3）利用（2）中结论解决下面的问题： 如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=9，求阴影部分的面积． 28．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ． 29．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．40 B．44 C．32 D．50 30．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a，b的式子表示） (2)已知，，求图2中空白部分的正方形的面积． (3)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：，，ab之间的数量关系． (4)拓展提升：当时，求． 题型7：完全平方公式的代数应用 31．已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ． 32．不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于 ． 33．实数，，满足，则 0．（填“”、“”、“”、“”、“”） 34．已知，，则的值为 ． 35．阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 题型8：“杨辉三角” 36．观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； 请你猜想的展开式中含项的系数是 37．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 题型9：完全平方公式的图形应用难点 38．阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 39．综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 一、单选题 1．下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ ） A． B． C． D． 2．将变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，下列等式：①  ②  ③  ④  ⑤，其中错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．若是完全平方式，则实数m的值是（    ） A． B． C．6或 D．6或 5．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 6．已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是(  ) A．4 B．9 C．13 D．15 7．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的值是　　 A．3 B．7 C．9 D．11 9．a，b，c是实数．若，，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 二、填空题 11．用完全平方公式计算 12．（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 13．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式 . 14．已知a、b满足等式，，则m、n的大小关系为 ． 15．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 16．代数式的最小值为 ． 17．若x满足，则的值是 ． 18．已知，求 ． 三、解答题 19．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 20．利用乘法公式计算： (1)． (2)． 21．下面是王玲同学化简整式的过程，仔细阅读后完成所提出的问题： 第一步 第二步 (1)任务一：王玲的计算过程，第 　 　步出现错误，错误的原因是 　 　． (2)任务二：请你帮助王玲把错误圈画出来，再完成此题的正确解答过程． (3)任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出几点建议．（最少一点） 22．先化简再求值：，其中，满足． 23．（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求的值． 24．探究规律并解决问题． (1)比较与的大小用“”“”或“”填空： ①当，时，______； ②当，时，______； ③当，时，______． (2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并说明理由． 25．已知，，求： (1)的值． (2)求的值． 26．某学校教学楼前有一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当，时，需要铺地砖的面积是多少？ 27．如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． (1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） (2)由（1）你可以得到乘法公式____________． (3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算：①； ②． 28．（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． ①请你检验这个等式的正确性． ②若，，，求出的值． （2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值． 29．如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）． (1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． (3)如果，求的值． 30．通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）；图3表示：_____________； (2)【解决问题】①若，，则_______； ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 完全平方公式（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、会用图形证明完全平方公式； 2、学会用完全平方公式计算； 3、完全平方公式的应用 一、知识引入 计算下列各题，并观察乘式与结果的特征： (1)(a+b)²= (2)(2a+3b)²= (3)(x-y)²= (4)(2x-3y)²= 通过计算你发现什么规律? 比较等号两边的代数式，可以看到 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即 (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²-2ab+b². 这两个公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式. 思考：你能根据图9-14和图9-15中的图形来说明完全平方公式吗? 9-14 9-15 二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【方法规律】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 三、补充公式 ；； ；. 题型1：利用完全平方公式计算 1．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式展开计算即可； （2）利用完全平方公式展开计算即可； （3）利用完全平方公式展开计算即可． 【解析】（1） . （2） （3） 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）先提出负号，再完全平方公式计算即可； 【解析】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)39204 (2)185 (3)16 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 题型2：利用乘法公式计算 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先用平方差公式分解因式，合并后用多项式乘多项式计算； （2）先用积的乘方的逆运算，再用平方差公式计算，最后用完全平方公式计算； （3）两次用平方差公式计算，最后用完全平方公式计算； （4）用平方差公式、完全平方公式计算，最后合并同类项； （5）先用平方差公式分解因式，合并后用单项式乘以单项式计算； （6）先用积的乘方的逆运算，再用平方差公式计算，最后用完全平方公式计算； 【解析】（1） . （2） （3） （4） . （5） . （6） 【点睛】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，掌握这两种公式的熟练应用，在因式分解和计算中的相互变换应用是解题关键 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先利用完全平方公式计算，去括号，再合并同类项； （2）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项； （3）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项； （4）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项． 【解析】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的加减和乘法运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 6．综合运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行化简即可； （2）根据平方差公式将当做整体进行计算，再利用完全平方公式化简． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 题型3：乘法公式的化简求值型 7．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【解析】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式是解题的关键． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【解析】解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，平方差公式与完全平方公式的应用，熟练的利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算是解本题的关键． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用整式的乘法，去括号，合并同类项得出最简结果，算出、的值，代入即可． 【解析】解：原式 ， ， ，， ，， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键：掌握整式中的多项式乘以多项式、平方差公式以及完全平方公式． 题型4：根据完全平方公式求参数的值 10．若多项式是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 11．若是完全平方式，则常数（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】D 【解析】根据完全平方公式表示出各项即可．两平方项是和144，∴这两个数是和12，，解得． 12．若，则的值为（    ） A．28 B． C．24或 D．28或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解析】因为， 所以， 所以，，所以．当时，；当时，． 所以或． 故选D． 【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式展开后对应系数相等是解题的关键． 13．关于x的多项式是完全平方式，则实数a的值是（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行分析计算． 【解析】解：∵多项式是完全平方式， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键． 14．如果是一个完全平方式，那么k等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键， 先根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数，然后把另一个数平方，列式求出k的值，即可得解． 【解析】是一个完全平方式， ， ． 故答案为：． 15．如果是一个完全平方式，那么k的值是（    ） A．5 B．-3 C．5或 D．3或5 【答案】C 【分析】先将原式变形为，根据题意可得，解出 ，即可求解． 【解析】解：， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得 或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同号是解题的关键． 题型5：根据完全平方公式求代数式的值 16．已知：，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2)13 【分析】（1）利用，进行计算即可； （2）利用，进行计算即可． 【解析】（1）解：， ∵， ∴原式； （2）解：由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 17．已知，，求的值． 【答案】 【分析】可求．从而可求，可得，即可求解． 【解析】解：， ， 即． 又， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变式计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 18．已知实数，满足，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)42 【分析】（1）根据整式乘法运算法则，去括号之后整体代入求值即可得到答案； （2）根据完全平方公式的变式，即可解答． 【解析】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【点睛】本题考查了整式乘法的计算法则和完全平方公式及其变形的运用，熟练掌握法则及公式是解答的关键． 19．若，，则的值为（    ） A．21 B．29 C．17 D．33 【答案】C 【分析】根据变形，然后将已知代入即可求． 【解析】解：∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握公式并进行恰当变形是解题的关键． 20．已知，且，则 ． 【答案】-42 【解析】，①，②由①-②得． 21．例：已知，求的值． 解：因为，所以，则，所以． 观察以上解答，解答以下问题： 已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）仿照题意根据完全平方公式先求出，再根据进行求解即可； （2）先得到，再将所求式子变形为，然后根据条件式进行转化求解即可． 【解析】（1）解：， ，则， ， ． （2）解：， ，即：， ． 【点睛】本题主要考查代数式的求值和完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入思想方法，是解题的关键． 22．已知，求的值． 【答案】 【分析】先依据等式的基本性质将已知等式转化为含有的形式，再利用完全平方公式的变形把待求值式子转化为含有的形式，然后整体代入求值即可得答案． 【解析】解：∵， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查等式的性质及完全平方公式，熟练利用完全平方公式正确变形是解题关键． 23．已知，，，那么的值等于（   ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据，，，分别求出、、的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成． 【解析】解：∵，，， ∴， ， ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求出、、的值，然后利用完全平方公式将变形成是解题关键． 题型6：完全平方公式的图形应用 24．如图所示，请完成下列问题： (1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______． (2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来． 【答案】(1)（a+b）2、a2+2ab+b2 (2)（a+b）2=a2+2ab+b2 【分析】（1）分别用大正方形的面积公式和四部分求可确定正方形的面积即可； （2）根据（1）的两个代数式表示同一块正方形的面积相等解答即可． 【解析】（1）解：由正方形的面积公式可得：大正方形的面积为：（a+b）2； 由大正方形的面积由四部分组成，则大正方形的面积为：a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． 故答案为：（a+b）2、a2+2ab+b2． （2）解：由（1）的两个代数式表示同一块正方形的面积相等可得：（a+b）2=a2+2ab+b2 则这个重要的整式乘法公式为（a+b）2=a2+2ab+b2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的推导，用两种方法表示出大正方形的两个面积表达式成为解答本题的关键． 25．如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（    ） A．（2） B．（1） （3） C．（1） （4） D．（4） 【答案】C 【分析】由平移法可得，种花土地总面积等于边长为（a-2b）的正方形的面积；由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；据此得出结论． 【解析】解：由平移法可得，种花土地总面积=（a-2b）（a-2b）； 由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决此类问题的关键是运用几何直观理解，解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 26．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完全平方公式可求解． 【解析】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0） ∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式， ∴x为4， 故选C 【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键． 27．请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和． 方法1：__________________________． 方法2：__________________________． （2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：___________________ （3）利用（2）中结论解决下面的问题： 如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=9，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）27． 【分析】（1）方法1：直接计算两个阴影图形的面积的和；方法2：用大正方形面积减去两个空白矩形的面积； （2）根据（1）中结论直接得出结论； （3）阴影部分的面积=总面积-两个三角形面积，再利用（2）中结论解题即可． 【解析】解：（1）方法1： 方法2： 故答案为：；； （2）由（1）得， （3）阴影部分的面积： a+b=ab=9， ． 【点睛】本题考查面积与几何图形，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 28．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ． 【答案】或 【分析】根据三种卡片的张数可知有和两种情况，进而可得答案． 【解析】解：∵有A类卡片3张，B类卡片4张，C类卡片5张， ∴由可知用1张A，2张B，1张C可拼成边长是的正方形； 由可知用1张A，4张B，4张C可拼成边长是的正方形； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握． 29．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．40 B．44 C．32 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用．由图可得，根据列式，再利用完全平方公式变形，整体代入计算即可． 【解析】解：由图可知， ， =， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选：B． 30．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a，b的式子表示） (2)已知，，求图2中空白部分的正方形的面积． (3)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：，，ab之间的数量关系． (4)拓展提升：当时，求． 【答案】(1) (2)25 (3) (4)68 【分析】（1）通过观察图形发现空白部分的正方形的边长是a−b； （2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积−4个小长方形的面积，从而求得空白部分的正方形面积； （3）通过观察图2发现，大正方形的面积＝空白部分的正方形面积＋阴影的面积，从而得到三个式子之间的数量关系； （4）把（x−10）看作a，把（20−x）看作b，然后运用（3）中的数量关系（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab，求得（a−b）2即（2x−30）2的值． 【解析】（1）解：图2中的空白部分的正方形的边长＝a−b． （2）解：图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积−4个小长方形的面积 ＝（a＋b）2−4ab ＝102−4×3 ＝100−12 ＝88． （3）解：图2中大正方形的面积＝（a＋b）2， 空白部分的正方形面积＝（a−b）2， 阴影的面积＝4ab， ∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积＋阴影的面积， ∴（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab． （4）解：∵（x−10）＋（20−x）＝x−10＋20−x＝10， ∴[（x−10）＋（20−x）]2＝100， 由（3）的结论可知， [（x−10）＋（20−x）]2＝[（x−10）−（20−x）]2＋4（x−10）（20−x）， 把[（x−10）＋（20−x）]2＝100，（x−10）（20−x）＝8代入， 得100＝[（x−10）−（20−x）]2＋4×8， 100＝（x−10−20＋x）2＋32， 68＝（2x−30）2， 即（2x−30）2＝68． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形面积探究发现（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab，进而运用结论进行计算，是对学生探索发现结论并运用结论的能力的考查． 题型7：完全平方公式的代数应用 31．已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为，再将配方为，利用平方式的非负性求解即可． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴ ， 当时取等号， ∴p的最小值为， 故答案为：． 32．不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；先利用完全平方公式得到，然后根据非负数的性质进行判断． 【解析】解： ∵ ∴ ∴不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于2． 故答案为：2． 33．实数，，满足，则 0．（填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 34．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解的应用，先将原式变形为，再将，代入原式计算即可，熟练掌握因式分解的方法及掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解： ， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 35．阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为14，此时的值为2． (2)，理由见解析 (3)这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为 【分析】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【解析】（1）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． （2）解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌握． 题型8：“杨辉三角” 36．观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； 请你猜想的展开式中含项的系数是 【答案】28 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字的规律变化，多项式．关键要能够写出8次方时候每一项的系数，将a、b分别换成x、．按照题目所给规律依次写出6，7，8次方的等式，就可以发现系数之间的规律，结合所要求的式子a换成x，把b换成．即可得到答案． 【解析】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 故含项的系数为：． 故答案为：28． 37．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索，读懂题意并根据所给的式子寻求规律是解题的关键． 首先确定含的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可． 【解析】解：∵， 可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是， 故答案为：． 题型9：完全平方公式的图形应用难点 38．阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)0 (3) 【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【解析】（1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 39．综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解； （）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解； （）把，代入（）中的关系式，求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【解析】解：（）∵， ∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张，三种纸片共张， 故答案为：； （）∵图大正方形的面积等于部分面积之和， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，，， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形的面积为． 一、单选题 1．下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构逐项分析判断即可求解． 【解析】解：A. ，故该选项不符合题意；     B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了乘法公式，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式是解题的关键． 2．将变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，根据即可求解． 【解析】解： 故选：C． 3．若，下列等式：①  ②  ③  ④  ⑤，其中错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用完全平方公式 以及平方差公式， 进行逐一判断即可． 【解析】解：故①说法正确； 故②说法错误； 故③说法正确，④说法错误； ，故⑤说法正确； 错误的有2个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 4．若是完全平方式，则实数m的值是（    ） A． B． C．6或 D．6或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【解析】解：是完全平方式， ， 或， 解得或， 故选：D． 5．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式． 【解析】解： ． 故选：D． 6．已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是(  ) A．4 B．9 C．13 D．15 【答案】C 【分析】先根据完全平方公式变形：a2+b2=（a-b）2+2ab，再整体代入求出即可． 【解析】解：∵a-b=3，ab=2， ∴a2+b2=（a-b）2+2ab=32+2×2=13， 故选C． 【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2． 7．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论． 【解析】解：由图形可得：大正方形的边长为：a+b，则其面积为：（a+b）2， 小正方形的边长为：（a-b），则其面积为：（a-b）2，长方形面积为：ab， 大正方形的面积又可以表示为（a-b） 2+4ab， 故（a+b）2=（a-b）2+4ab． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键． 8．已知，则的值是　　 A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将两边平方，即可得出的值． 【解析】解：， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式的特征是解题的关键． 9．a，b，c是实数．若，，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式．根据得，计算得，则，即可得，综上，即可得． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【解析】解：如图，设正方形的边长为，    则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 二、填空题 11．用完全平方公式计算 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．利用完全平方公式直接求解即可． 【解析】解：， 故答案为： 12．（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【答案】 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据，求解即可； （3）根据，求解即可； （4）根据，求解即可； （5）根据，求解即可． 【解析】解：（1）∵， ； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴； （5）∵， ∴． 故答案为：，；；；；． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式． 13．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式 . 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的特征即可得出答案. 【解析】①若把看成，把1看成，则缺少了中间项，中间项为±8x； ②若把看成2ab，把1看成，则缺少了项，项为； 故答案为或. 【点睛】本题考查的是完全平方公式，需要熟练掌握完全平方公式的特征. 14．已知a、b满足等式，，则m、n的大小关系为 ． 【答案】 【分析】利用作差法求出，然后根据完全平方公式将其配方，最后利用平方的非负性即可判断． 【解析】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用作差法比较大小，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键． 15．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据阴影部分的面积为，求解作答即可． 【解析】解：由题意知，阴影部分的面积为， 故答案为：． 16．代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 利用的理论依据进行配方，再根据非负数的性质即可得出结果． 【解析】解： ， ， 当时，原式的最小值为， 故答案为：． 17．若x满足，则的值是 ． 【答案】150 【分析】本题考查完全平方式的变形应用，灵活运用所学知识是关键． 设，，得到，，然后利用完全平方式的变形求解即可． 【解析】设， ∴， ∵ ∴ 解得 ∴的值是150． 故答案为：150． 18．已知，求 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，利用完全平方公式得到，进而求出，据此代值计算即可. 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 19．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式直接求解即可． （2）利用完全平方公式直接求解即可． （3）利用完全平方公式直接求解即可． 【解析】（1） ， （2） ， （3） ， 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． 20．利用乘法公式计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式计算，即可求解； （2）利用完全平方公式计算，即可求解． 【解析】（1）解： （2）解： 【点睛】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，利用整体思想解答是解题的关键． 21．下面是王玲同学化简整式的过程，仔细阅读后完成所提出的问题： 第一步 第二步 (1)任务一：王玲的计算过程，第 　 　步出现错误，错误的原因是 　 　． (2)任务二：请你帮助王玲把错误圈画出来，再完成此题的正确解答过程． (3)任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出几点建议．（最少一点） 【答案】(1)一，完全平方公式运用错，平方差公式运用错 (2)详见解析， (3)①计算完全平方公式中间项是，二倍不要丢；②两个公式中单项式的平方，利用积的乘方计算时，要保证每一项都计算乘方 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式进行检查和判断； （2）根据完全平方公式和平方差公式即可解答此题； （3）提出合理建议即可． 【解析】（1）任务一：王玲的计算过程，第一步出现错误，错误的原因是：完全平方公式的后两项计算错误，没有乘2，中的3没有平方；平方差公式的最后一项计算错误，中的2没有平方； 故答案为：一，完全平方公式运用错，平方差公式运用错； （2） 解：原式 ； （3）建议：①计算完全平方公式中间项是，二倍不要丢； ②两个公式中单项式的平方，利用积的乘方计算时，要保证每一项都计算乘方． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，解答本题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式． 22．先化简再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】先利用整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将整体代入计算即可． 【解析】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算——化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 23．（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）121；（2）54；（3）40 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将所求式子变形，然后将，代入计算即可； （2）根据，，可以得到的值，再将所求式子变形，然后和的值代入计算即可； （3）根据，，可以得到的值，再将所求式子变形，然后和的值代入计算即可． 【解析】解：（1），， ； （2），， ， ， ； （3），， ， ， ． 24．探究规律并解决问题． (1)比较与的大小用“”“”或“”填空： ①当，时，______； ②当，时，______； ③当，时，______． (2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)，理由见解析 【分析】（1）代入计算得出答案； （2）根据（1）的结果，得出结论． 【解析】（1）解：①把，代入，，，所以； ②把，代入，，，所以； ③把，代入，，，所以； 故答案为：①；②；③： （2）解：由（1）可得，，理由如下： ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式，以及是解题的关键． 25．已知，，求： (1)的值． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解析】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． 26．某学校教学楼前有一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当，时，需要铺地砖的面积是多少？ 【答案】（1）铺设地砖的面积是22a2+16ab+2b2平方米；（2）202平方米． 【分析】（1）根据长方形的面积减去空白的面积表示出铺设地砖的面积即可； （2）把a与b的值代入计算即可求出值． 【解析】解：（1）根据题意得：铺设地砖的面积为： （6a+2b）（4a+2b）-2（a+b）2 =24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2 =22a2+16ab+2b2（平方米）； （2）当a=2，b=3时，原式=88+96+18=202（平方米）． 【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 27．如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． (1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） (2)由（1）你可以得到乘法公式____________． (3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算：①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）由图2可知该长方形的长为，宽为，从而由长方形面积公式即可得出答案； （2）由图1和图2的阴影部分面积相等，即得出； （3）由平方差公式和完全平方公式计算即可． 【解析】（1）图2中的阴影部分面积为． 故答案为：； （2）由（1）可以得到乘法公式：． 故答案为：； （3）解：① ； ② ． ． 【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 28．（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． ①请你检验这个等式的正确性． ②若，，，求出的值． （2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值． 【答案】（1）①见解析；②3；（2） 【分析】（1）①利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论； ②将数值代入计算即可； （2）根据，，利用求出结果即可． 【解析】解：（1）①等式右边 ， ∴左边右边， ∴式子正确； ②当，，时， ； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查整式的乘法公式—完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，等式的变形计算，正确掌握等式各项之间的关系是解题的关键． 29．如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）． (1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及完全平方公式的应用，用不同的方法表示图形的面积，得出相等关系是关键，适当的变形是正确计算的前提． （1）表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论； （2）根据（1）中结论代入求出，进而可得答案； （3）利用完全平方公式变形求出，然后可得答案． 【解析】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则大正方形的面积可以表示为：或， 因此有， 故答案为：； （2）由得：， ∴； （3）∵， ∴ ， ∴． 30．通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）；图3表示：_____________； (2)【解决问题】①若，，则_______； ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和． 【答案】(1) (2)①12；②2016； (3)52 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键； （1）根据图3是一个边长为的大正方形，是由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出与之间的关系； （2）①先由完全平方公式得，再将，整体代入计算即可得出的值；②先设，，则，，，然后根据（1）的结论得，据此可得的值； （3）设，，则，，，再由完全平方公式得，据此可得的值． 【解析】（1）解：如图3所示：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，小正方形的面积为， 另一方面：大正方形是由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， ， 故答案为：． （2）解：①， ， ，， ， ， 故答案为：12； ②设，， ，， ， ， 由（1）可知：， ， ； （3）解：设，， ， ， 图中阴影部分面积为24， ， 四边形和均为正方形， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 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