第07讲 平方差公式（八大题型）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第07讲 平方差公式（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、会用图形证明平方差公式； 2、学会用平方差公式计算； 3、平方差公式的应用。 一、知识引入 计算下列各题，并观察下列乘式与结果的特征： (1)(y+2)(y-2)= (2)(3-a)(3+a)= （3）(2a+b)(2a-b)= 通过计算你发现了什么规律?比较等号两边的代数式可以看到两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b².这个公式叫做平方差公式. 证一证：你能根据图中图形的面积关系来说明平方差公式吗 二、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【方法规律】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 题型1：利用平方差公式计算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．简便计算：． 3．用简便方法计算： (1) (2) 题型2：判断能否用平方差公式计算 4．下列各式不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 6．下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 题型3：平方差公式的图形应用 7．一个长方形的宽为，长为，则这个长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 8．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差．求这两个正方形的边长． 9．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 题型4：利用平方差公式求代数式的值 10．若，，则 ． 11．若，则的值是（    ） A．24 B．16 C．8 D．4 12．已知，则的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．25 13．若，则（　　） A．3 B．6 C． D． 题型5：多重平方差公式问题（含构造平方差公式） 14． 15．计算结果等于（   ） A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232 16．计算：． 17．式子 化简的结果为（   ） A． B． C． D． 题型6：平方差公式的代数应用 18．已知：，，则、的大小关系是 . 19．对于任何整数m，多项式都能被（    ）整除． A．8 B．m C． D． 20．设，，则的近似值为（    ） A．13 B．25 C．50 D．101 题型7：材料、规律题 21．则 . 22．若n为正整数，观察下列各式： ①；②；③． 根据观察计算并填空： (1)______； (2)______； (3)计算：． 题型8：图形应用的难点分析 23．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的等式是（    ）（请选择正确的一个）． A．；B．；C． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． ③计算：． 24．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，井写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 25．如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形纸片，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．    (1)通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式______（填选项前面的字母）； A． B． C． D． (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图，大正方形ABCD的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积；    ②计算：． 一、单选题 1．下列多项式的乘法中用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是　　 A．2 B． C． D．1 4．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）. A． B． C． D． 5．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，则a2﹣b2＝（　　） A．12 B．﹣12 C．24 D．±12 6．若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．计算的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），将余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于的等式为（    ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b） 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(　　) A．56 B．66 C．76 D．86 10．观察：， ， ， ， 据此规律，求的个位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 11．在括号中填上适当的整式： （1）( )；             （2）( )； （3）( )；            （4）( )． 12．填空 （1） ；（2） ． 13．(1) = . (2) ；. 14．计算= ． 15．若，则 ． 16．已知，则 ． 17．若，则 ， . 18．如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 19．根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是 ． 20．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 三、解答题 21．运用平方差公式计算： （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． 22．计算： （1）；                  （2）； （3）；                    （4）； （5）；                 （6）． 23．先化简，再求值：，其中． 24．（1）当，时，式子的值是________； （2）已知，则是________． 25．计算： 26．如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积． 27．张老师在黑板上布置了一道题，内容如下： 先化简，再求值：，其中是最小的正整数 小红和小彬展开了讨论：    根据上述条件，请判断谁的说法对？如果小红的说法对，请补充的值，并求出代数式的值；如果小彬的说法对，请求出代数式的值． 28．如图①，边长为a的大正方形四个角各有一个边长为b的小正方形． (1)请你计算图①中阴影部分的面积； (2)小明将阴影部分拼成了一个长方形，如图②，这个长方形的长与宽分别是多少？面积又是多少？ (3)由图②到图①可以得到什么公式？运用你所得到的公式，计算． 29．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 30．阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算 ． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ， 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)_________； (2)_________； (3)化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平方差公式（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、会用图形证明平方差公式； 2、学会用平方差公式计算； 3、平方差公式的应用。 一、知识引入 计算下列各题，并观察下列乘式与结果的特征： (1)(y+2)(y-2)= (2)(3-a)(3+a)= （3）(2a+b)(2a-b)= 通过计算你发现了什么规律?比较等号两边的代数式可以看到两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b².这个公式叫做平方差公式. 证一证：你能根据图中图形的面积关系来说明平方差公式吗 二、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【方法规律】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 题型1：利用平方差公式计算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （4）原式利用平方差公式计算即可得到结果；． 【解析】（1） ； （2） （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．简便计算：． 【答案】 【分析】变形通过平方差公式计算即可； 【解析】， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键． 3．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)4037 (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟记平方差公式． 题型2：判断能否用平方差公式计算 4．下列各式不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的特征对每一项判断即可得到正确选项． 【解析】解：A、，能利用平方差公式，因此本选项不符合题意； B、原式，能利用平方差公式，因此本选项不符合题意； C、原式，因此能利用平方差公式，因此本选项不符合题意； D、原式，不能利用平方差公式，因此本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的特征，熟记平方差公式是解题的关键． 5．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的定义：平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差． 【解析】A、，故该选项不符合题意； B、原式，故该选项不符合题意； C、原式，故该选项不符合题意； D、不能用平方差公式计算，故该选项符合题意； 故选：D 6．下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果． 【解析】解：A．∵ ， ∴选项A能运用平方差公式，不合题意； B．，不能运用平方差公式，符合题意； C．∵ ， ∴选项C能运用平方差公式，不合题意； D．∵ ， ∴选项D能运用平方差公式，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 题型3：平方差公式的图形应用 7．一个长方形的宽为，长为，则这个长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积公式进行计算即可． 【解析】解：由长方形的面积公式可得，． 故选：． 8．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差．求这两个正方形的边长． 【答案】正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为 【分析】设正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为，列出求出即可达到结果； 【解析】设正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为． 由已知得 解得 答：正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确计算是解题的关键． 9．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【解析】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积， 故． 故选：D． 题型4：利用平方差公式求代数式的值 10．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式，即可求解．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 11．若，则的值是（    ） A．24 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】把利用平方差公式先运算底数，再代入数据计算即可． 【解析】， 又， ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便． 12．已知，则的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】D 【分析】借助已知条件 a−b=5 ，原式利用平方差化简边代入边求解即可． 【解析】解：∵ a−b=5 ， ∴原式 ． 故选：D． 【点睛】此题考查平方差公式，熟悉平方差公式及代数式求值技巧是关键，此题主要是边代入边求解． 13．若，则（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式即可求解． 【解析】解：∵， ∴，则， 解得：或（舍）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：． 题型5：多重平方差公式问题（含构造平方差公式） 14． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的形式是关键． 15．计算结果等于（   ） A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232 【答案】B 【分析】根据含乘方的有理数的计算法则和平方差公式进行求解即可. 【解析】解： 故选B. 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数乘法计算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式. 16．计算：． 【答案】2． 【分析】把原式前面一部分乘以，再利用乘法的运算律结合平方差公式进行计算，从而可得答案. 【解析】解： 【点睛】本题考查的是平方差公式的运用，掌握构建符合平方差公式特点的代数式进行运算是解题的关键. 17．式子 化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可． 【解析】解：设S= ， ∴（2—1）S=（2—1） ∴S= = = = ， 故答案为：C． 【点睛】此题主要考查平方差公式的运算，解题的关键是根据式子的特点进行添项． 题型6：平方差公式的代数应用 18．已知：，，则、的大小关系是 . 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 利用平方差公式对M，N进行变形，然后计算出，可得答案． 【解析】解：∵ ； ； ∴ ， ∴， 故答案为：． 19．对于任何整数m，多项式都能被（    ）整除． A．8 B．m C． D． 【答案】A 【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断． 【解析】因为 所以原式能被8整除． 故选A． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键． 20．设，，则的近似值为（    ） A．13 B．25 C．50 D．101 【答案】B 【分析】本题主要考查求代数式的值，平方差公式，根据题意，进行错位相减，然后求解即可． 【解析】解：∵，， ∴ ， 故选：B． 题型7：材料、规律题 21．则 . 【答案】 【分析】先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算.此题重点考查学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键. 【解析】解：∵ ∴ ∵ ∴ 则 故答案为： 22．若n为正整数，观察下列各式： ①；②；③． 根据观察计算并填空： (1)______； (2)______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，平方差公式： （1）根据题目所给式子，把原式变形为，据此求解即可； （2）先找到规律，进而把所求式子裂项，然后相消化简即可； （3）利用平方差公式把每一项展开，进而把原式变形为，然后相消化简即可． 【解析】（1）解：由题意得， ， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可得，， ∴ ， 故答案为：； （3）解： ． 题型8：图形应用的难点分析 23．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的等式是（    ）（请选择正确的一个）． A．；B．；C． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． ③计算：． 【答案】(1)A (2)①4；②1275；③ 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）①利用平方差公式化简计算即可； ②利用平方差公式将原式转化为即可． ③利用平方差公式将解答即可． 【解析】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：A； （2）解：①，，， ； ②原式 ； ③原式 ． 24．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，井写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 【答案】(1)； (2) (3)①3；②，5 【分析】此题考查了平方差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （2）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （3）①根据平方差公式，进行计算即可求解；②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【解析】（1） 拼接后的长方形长为、宽为． ∴ 故答案为：；； （2）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （3）解：①∵，， ∴ ∴， 故答案为：3． ②原式 又∵（为正整数）的个位数字依次是、、、、、、、以、、、为一个循环，， ∴的个位数字是，则的个位数字是5． 故答案为：，5． 25．如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形纸片，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．    (1)通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式______（填选项前面的字母）； A． B． C． D． (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图，大正方形ABCD的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积；    ②计算：． 【答案】(1)C (2)①；② 【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论； （2）①设正方形的边长为a，正方形的面积为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可． 【解析】（1）解：第一幅图阴影部分面积为，第二幅图的阴影部分面积为， ∵两幅图表示的阴影部分面积相等， ∴， 故选：C； （2）解：①设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ，， 又，即， ， ； ②原式 ， =， =． 【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键． 一、单选题 1．下列多项式的乘法中用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据平方差公式的使用条件：两个二项式相乘，其中两项相同，两项互为相反数． 符合这个条件的只有． 故选：． 2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式为，抓住两个因式中，一项是两数和，另一项是两数差，字母可以表示数也可以表示式，对选项进行一一分析看是否符合公式特征即可． 【解析】解：∵平方差公式为， 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项两数差， A. ，不能用平方差公式计算，故选项A符合题意； B. 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差，，能用平方差公式计算，故选项B不符合题意； C. 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差，，能用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D. 两个因式中都是两项式，把第二个括号中利用加法交换律换位，一项是两数和，另一项是两数差，可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意． 故选择A． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征是解题关键． 3．计算的结果是　　 A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据平方差公式计算可得选项. 【解析】解： ． 故选：D． 4．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项． 【解析】解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]． 故选：D． 故答案选择：D. 【点睛】本题考查的是平方差公式，需要熟练掌握平方差公式的特征. 5．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，则a2﹣b2＝（　　） A．12 B．﹣12 C．24 D．±12 【答案】B 【分析】根据平方差公式，即可求解． 【解析】解：∵a+b+3＝0，a﹣b﹣4＝0 ∴a+b＝-3，a﹣b＝4， ∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=-3×4=-12． 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键． 6．若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式，积的乘方，零指数幂等知识将各数进行计算求出结果进行比较即可． 【解析】解：， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，平方差公式，积的乘方，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键． 7．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【解析】解： =（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1） =（24-1）（24+1）…（22n+1）， =（28-1）（28+1）…（22n+1）， =（22n-1）（22n+1）， =24n-1， 故选C． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及巧添1=（2-1）是解本题的关键． 8．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），将余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于的等式为（    ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b） 【答案】C 【分析】根据两个图形阴影部分的面积相等、正方形和梯形的面积公式即可得． 【解析】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 则由图1和图2中阴影部分的面积相等得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出等量关系是解题关键． 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(　　) A．56 B．66 C．76 D．86 【答案】C 【分析】利用“神秘数”定义判断即可． 【解析】解：∵76=38×2=（20+18）（20-18）=202﹣182， ∴76是“神秘数”，而其余各数均不能表示为两个连续偶数的平方差， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式，正确理解“神秘数”的定义是解本题的关键． 10．观察：， ， ， ， 据此规律，求的个位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据题目规律解答即可． 【解析】根据题意可得规律：， ∴， ∵的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 而 ∴的个位数字是； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键． 二、填空题 11．在括号中填上适当的整式： （1）( )；             （2）( )； （3）( )；            （4）( )． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特点是解本题的关键． 12．填空 （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】直接根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键． 13．(1) = . (2) ；. 【答案】 【分析】（1）根据平方差公式直接计算即可； （2）两次运用平方差公式计算即可. 【解析】解：（1）； （2）， 故答案为，，. 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键. 14．计算= ． 【答案】2020 【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值. 【解析】解：原式= = = =2020. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是利用平方差公式简化运算. 15．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．平方差公式：． 运用平方差公式展开，移顶合并即可． 【解析】∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 16．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，平方差公式，利用非负性求出的值，利用平方差公式和整体思想，代入求值即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17．若，则 ， . 【答案】 a+c ； b 【分析】利用单平方差公式把原式变形，注意a+c看成是一个整体． 【解析】解：． ∴A=a+c；B=b. 故填：a+c；b 【点睛】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单． 18．如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 【答案】 【解析】大正方形的面积−小正方形的面积=a2−b2， 矩形的面积=(a+b)(a−b)， 故a2−b2=(a+b)(a−b). 故答案为. 【点睛】本题主要考查平方差公式的几何意义，用这两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键. 19．根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正确得出图形面积是解题关键． 直接利用已知图形面积进而分析得出公式． 【解析】解：由图①可得，图形面积为：， 由图②可得，图形面积为：． 故这个公式是：． 故答案为：． 20．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据，可以将所求式子化简，本题得以解决． 【解析】解： =（x+1）（x-1）-x（x-2） =x2-1-x2+2x =2x-1， 故答案为：2x-1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 三、解答题 21．运用平方差公式计算： （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3999999；（6）999996． 【分析】（1）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （2）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （3）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （4）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （5）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （6）先变形，再根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1） ＝ ＝； （2） （3） （4） （5）2001×1999 ＝（2000＋1）×（2000−1） ＝ ＝4000000−1 ＝3999999 （6）998×1002 ＝（1000−2）×（1000＋2） ＝ ＝1000000−4 ＝999996． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：（a＋b）（a−b）＝． 22．计算： （1）；                  （2）； （3）；                    （4）； （5）；                 （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）根据平方差公式计算即可； （2）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可； （3）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可； （4）先利用平方差公式计算分子，再利用除法化简系数即可； （5）利用平方差公式计算即可； （6）连续使用平方差公式计算即可． 【解析】解:（1）；                   （2）； （3）；                     （4）； （5）； （6） = = = =． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征，使用时注意系数与次数的变化是解题关键． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行平方差公式，单项式乘多项式的计算，再合并同类项化简，然后代值计算即可． 【解析】解：原式； 当时，原式． 24．（1）当，时，式子的值是________； （2）已知，则是________． 【答案】（1）9；（2）64 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，求解代数式的值，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）先化简，再把，代入计算即可； （2）先把变形，再把代入计算即可； 【解析】解：（1）∵，， ； （2）∵， ∴ ； 25．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据平方差公式进行巧算． 【解析】 26．如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积是5 【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【解析】由题知： 阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD）＝（AB﹣BE）（BC+BD） ＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×10＝5． 答：阴影部分的面积是5． 【点睛】本题主要考查平方差公式与三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键． 27．张老师在黑板上布置了一道题，内容如下： 先化简，再求值：，其中是最小的正整数 小红和小彬展开了讨论：    根据上述条件，请判断谁的说法对？如果小红的说法对，请补充的值，并求出代数式的值；如果小彬的说法对，请求出代数式的值． 【答案】小彬的说法对，理由见解析，代数式的值为4 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式去括号，然后合并同类项可知化简结果与无关，再由是最小的正整数，得到，据此代值计算即可． 【解析】解：小彬的说法对，理由如下： ， ∴化简的结果与y值无关， ∴小彬的说法对， ∵是最小的正整数， ∴， ∴原式． 28．如图①，边长为a的大正方形四个角各有一个边长为b的小正方形． (1)请你计算图①中阴影部分的面积； (2)小明将阴影部分拼成了一个长方形，如图②，这个长方形的长与宽分别是多少？面积又是多少？ (3)由图②到图①可以得到什么公式？运用你所得到的公式，计算． 【答案】(1) (2)长是，宽是，面积是 (3)； 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，注意几次分割后边的变化情况是关键，属于基础题． （1）用大正方形面积减去4个小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）根据图形得出长方形的长和宽分别为，，由此可计算出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式，然后进行求解即可． 【解析】（1）解：图①中阴影部分的面积为：． （2）解：图②中长方形的长是，宽是， 面积是． （3）由图②到图①可以得到公式：； ． 29．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)C (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式与图形面积，平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）根据图1中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面即得出，图2的面积为：，即可得出等式； （2）①根据平方差公式计算即可； ②根据平方差公式可将原式变形为，即可求解． 【解析】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是． 故选C． （2）解：①∵ ∴． ∵， ∴； ② ． 30．阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算 ． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ， 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)_________； (2)_________； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，平方差公式，同底数幂的乘法： （1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果； （3）分与两种情况，化简得到结果即可． 【解析】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ； （3）解：当时， 原式 ； 当时， 原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$