第09讲 提取公因式法（七大题型）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第09讲 提取公因式法（七大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（七大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、能判断是否属于因式分解； 2、知道公因式的概念，会求公因式； 3、掌握提取公因式法因式分解 一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【方法规律】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【方法规律】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【方法规律】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . 　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. 　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. 　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 题型1：判断是否属于因式分解 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列变形属于因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 题型2：公因式 4．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 5．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 题型3：已知公因式求另一个因式 7．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 8．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 9．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 题型4：已知因式分解的结果求参数 10．若，则m的值是（　　） A．2 B． C．5 D． 11．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 12．已知多项式分解因式后的结果为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型5：用提公因式法分解因式 13．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 14．因式分解： (1)； (2)； (3)． 15．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 题型6：根据提公因式法分解因式求值 16．先因式分解，再求值；已知，，求的值． 17．已知，求的值． 18．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型7：提公因式法分解因式拓展 19．观察下列因式分解的过程： ① ② ③ …… 根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解： （1）； （2）． 20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列多项式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 一、单选题 1．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如果多项式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（　　） A．m B．﹣my C．﹣y D．my 3．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 4．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．把多项式分解因式，结果为（  ） A． B． C． D． 6．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 7．计算：＋等于（   ） A． B． C． D． 8．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．四个长宽分别为，的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 12．分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 13．多项式各项的公因式是 ． 14．已知多项式有一个因式是，则k的值为 ． 15．分解因式： ＝ 16．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ． 17．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为 ． 18．若a, b, c 满足，则 三、解答题 19．分解因式： (1)； (2)； (3)． 20．运用提公因式法分解因式： （1）； （2）． 21．把下列各式分解因式： (1)4x3-6x2； (2)2a2b+5ab+b； (3)6p(p+q)-4q(p+q)； (4)(x-1)2-x+1； (5)－3a2b＋6ab2－3ab. 22．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因. （1）； （2）； （3） 24．分解因式：． 25．因式分解：． 26．如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形． 已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积． 这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r＝40m，l＝30πm时操场的面积(结果保留π)；若不能，请说明理由． 27．阅读下列材料． 形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 28．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 =（1+x）[1+x+x（x+1）] =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是______，共应用了_____次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法______次，结果是______． （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是_______． 29．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，， 解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 提取公因式法（七大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（七大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、能判断是否属于因式分解； 2、知道公因式的概念，会求公因式； 3、掌握提取公因式法因式分解 一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【方法规律】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【方法规律】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【方法规律】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . 　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. 　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. 　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 题型1：判断是否属于因式分解 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义“将几个多项式的和的性质变成几个因式积的形式”，由此即可求解． 【解析】解：、，是因式分解，符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查因式分解概念的理解，掌握其概念是解题的关键． 2．下列变形属于因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，逐一进行判断即可． 【解析】解：①等式左边不是多项式，不是因式分解；②等式右边不是整式，不是因式分解；③是整式的乘法，不是因式分解；④等式右边不是整式的乘法的形式，不是因式分解；⑤是因式分解； 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解． 3．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解． 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答. 【解析】(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解． (2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解． 【点睛】本题主要考查因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 题型2：公因式 4．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，，写成，，即可． 【解析】解：∵，， ∴，，的公因式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了公因式的知识，将，，写成，，的形式是正确解题的关键． 5．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】将每一组因式分解，找公因式即可 【解析】A.，，有公因式，故不符合题意； B.，，没有公因式，符合题意； C.，，有公因式，故不符合题意； D. 与有公因式，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键 6．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【解析】解：； 多项式的公因式为 故选B 【点睛】本题主要考查公因式的确定，解决本题的关键是掌握找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 题型3：已知公因式求另一个因式 7．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 【答案】A 【分析】适当变形后提公因式，可得答案． 【解析】解：原式， 另一个因式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键． 8．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将多项式因式分解，即可得到结果． 【解析】解：∵ = ∴另一个因式是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键． 9．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【解析】解：把多项式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键． 题型4：已知因式分解的结果求参数 10．若，则m的值是（　　） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】把等式的右边展开得：，然后根据对应项系数相等列式求解即可． 【解析】解：， ， ，， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解与多项式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键． 11．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【答案】B 【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值． 【解析】解：， ， ，， ， ， 、的值分别为：4，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键． 12．已知多项式分解因式后的结果为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用乘法公式将展开，再与对应即可． 【解析】∵多项式分解因式后的结果为， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解与整式乘法运算之间的关系，正确的理解他们之间的关系是解题的关键． 题型5：用提公因式法分解因式 13．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首项系数为负数，需把“-”号提出来； （2）利用提公因式法解答，注意符号的变化． 【解析】（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，找准多项式的公因式是解题的关键． 14．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）原式 ． （3）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 15．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）提出公因式a即可分解因式； （2）提出公因式即可分解因式； （3）提出公因式即可分解因式； （4）提出公因式即可分解因式； （5）提出公因式即可分解因式； （6）提出公因式即可分解因式． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，利用相反数确定的公因式是解题关键． 题型6：根据提公因式法分解因式求值 16．先因式分解，再求值；已知，，求的值． 【答案】10 【分析】先将代数式用提公因式法因式分解，然后代入已知条件即可求值． 【解析】解：， 将，代入， 原式． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17．已知，求的值． 【答案】 【解析】解：，， ， ． 18．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)11 (2) (3)22 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把，代入，计算即可作答． （2）先整理，再把，代入，计算即可作答． （3）先整理，再结合（1）和（2），即可作答． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 题型7：提公因式法分解因式拓展 19．观察下列因式分解的过程： ① ② ③ …… 根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题中的方法，适当加减适合的数，再提取公因式，将各式分解即可； （2）根据题中的方法分解因式即可． 【解析】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式进行因式分解． 20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列多项式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 【答案】(1)提取公因式法；2 (2) (3)2023； 【分析】（1）根据题意可知题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次； （2）仿照题意进行提取公因式进行分解因式即可得到答案； （3）根据题意可得规律，提n次公因式，据此求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次， 故答案为：提公因式法；2； （2）解：原式 ； （3）解：，提1次公因式 ，提2次公因式 ，提3次公因式 …… ∴依次类推，，提n次公因式， ∴，提2023次公因式， 故答案为：2023；． 【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 一、单选题 1．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式． 【解析】解：A. ，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项错误；     D. ，故该选项正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键． 2．如果多项式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（　　） A．m B．﹣my C．﹣y D．my 【答案】B 【分析】直接去括号，进而得出A代表的式子即可． 【解析】解：多项式mx+A可分解为m（x﹣y）， mx+A＝m（x﹣y）＝mx﹣my． A＝﹣my． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，提公因式法因式分解．正确去括号是解题关键． 3．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【解析】解：， ∴的公因式是． 故选D． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，解决本题的关键是掌握找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 4．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法，提取公因式法进行因式分解，对照选项逐一验证即可． 【解析】根据题意知，①，因式分解错误； ②，因式分解正确； ③，因式分解错误， 正确的结果有②， 故选：B． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 5．把多项式分解因式，结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据提公因式法：提取﹣3xn，可得答案． 【解析】原式=﹣3xn（xn+2），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式．掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键． 6．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 【答案】D 【分析】数字因式的公因式为2，字母因式的公因式取各项均有的字母，且该字母的指数要取各项最低. 【解析】解：该多项式中，三个单项式的数字公因式为2，字母公因式为ac，则应提取的公因式是2ac， 故选择D. 【点睛】本题考查了提公因式时公因式的确定. 7．计算：＋等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先提公因式，再计算即可． 【解析】解：原式 故选：C 【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式． 8．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【解析】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 9．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知等式进行变形，然后对所求式进行因式分解，最后整体代入计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，掌握整体代入思想是解决此题关键． 10．四个长宽分别为，的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阴影部分的面积为大长方形去掉四个小长方形，再根据图形找到m=a+2b进行代换即可判断． 【解析】阴影部分的面积是：大长方形去掉四个小长方形为：，故A正确； 由图可知：m=a+2b，所以，故B错误； 由图可知：m=a+2b，所以，故C正确； 由图可知：m=a+2b，所以，故D正确． 故选：B 【点睛】本题考查的是列代数式表示阴影部分的面积，从图形中找到m=a+2b并进行等量代换是关键． 二、填空题 11．把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 【答案】几个整式的积的形式 【分析】根据因式分解的定义直接填空即可． 【解析】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 故答案为：几个整式的积的形式． 【点睛】本题主要考查了因式分解定义，注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式． 12．分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 【分析】（1）提取公因式即可得到答案； （2）提取公因式即可得到答案； （3）提取公因式即可得到答案； （4）提取公因式即可得到答案； （5）提取公因式即可得到答案； （6）提取公因式即可得到答案． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法． 13．多项式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解． 【解析】解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y， ∴该多项式的公因式为2y， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键． 14．已知多项式有一个因式是，则k的值为 ． 【答案】-9 【分析】令=（x+3）A的形式，当x=-3时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值． 【解析】令=（x+3）A， 当x=-3时，-27+27+9+k=0， 解得k=-9， 故答案为：-9． 【点睛】本题考查了因式分解—提公因式法，令x+3=0，则x=-3，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键． 15．分解因式： ＝ 【答案】 【分析】直接运用提公因式法分解即可． 【解析】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键． 16．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝ ． 【答案】24 【分析】先对后面的式子进行因式分解，然后根据已知条件代值即可． 【解析】 x＋y＝6，xy＝4， x2y＋xy2 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查提取公因式进行因式分解，属于基础题，比较容易，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意直接利用同底数幂的乘法运算法则以及提取公因式法分解因式，进而得出答案． 【解析】解：∵2x+4﹣2•2x＝112， ∴2x+1×（23﹣1）＝112， 故2x+1＝16＝24， 解得：x＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 18．若a, b, c 满足，则 【答案】 【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可. 【解析】因为 所以 ，即 因为 所以 因为 所以 因为 所以 即 因为 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键. 三、解答题 19．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题考查了提公因式法因式分解． （1）先确定公因式，再进行因式分解即可求解； （2）先将原式变形为，即可提公因式法分解因式； （3）先确定公因式，即可提公因式法分解因式． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 20．运用提公因式法分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用提公因式法分解即可； （2）把看作一个整体利用提公因式法分解． 【解析】解：（1）． （2）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，正确提取公因式是解题的关键． 21．把下列各式分解因式： (1)4x3-6x2； (2)2a2b+5ab+b； (3)6p(p+q)-4q(p+q)； (4)(x-1)2-x+1； (5)－3a2b＋6ab2－3ab. 【答案】(1)2x2(2x-3)；(2)b(2a2+5a+1)；(3)2(p+q)(3p-2q)；(4)(x-1)(x-2)；(5)－3ab(a－2b＋1). 【分析】（1）直接利用提取公因式法，提取公因式2x2，进而分解因式得出答案； （2）直接利用提取公因式法，提取公因式b，进而分解因式得出答案； （3）直接利用提取公因式法，提取公因式2（p+q），进而分解因式得出答案； （4）直接利用提取公因式法，提取公因式（x﹣1），进而分解因式得出答案． （5）直接利用提取公因式法，提取公因式﹣3ab，进而分解因式得出答案． 【解析】（1）原式==； （2）原式= b•2a2+ b•5a+ b•1=b(2a2+5a+1)； （3）原式=2(p+q)•3p-2(p+q)•2q=2(p+q)(3p-2q)； （4）原式=(x-1)2-（x-1）=(x-1)(x-1-1)= (x-1)(x-2)； （5）原式=-3ab•a+（-3ab）•（-2b）+（-3ab）•1=－3ab(a－2b＋1)． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键． 22．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本题的关键； （1）提取公因式分解因式即可： （2）提取公因式分解因式即可： （3）提取公因式分解因式即可： （4）提取公因式分解因式即可： 【解析】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 23．辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因. （1）； （2）； （3） 【答案】(1)错误，原因是另一个因式漏项了；(2)错误，原因是公因式没有提完；(3)错误，原因是与整式乘法相混淆 【分析】（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断； （2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的确定公因式为2x3，即可判断； （3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解. 【解析】（1）∵ ∴原式错误，原因是另一个因式漏项了； （2）∵ ∴原式错误，原因是公因式没有提完； （3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式 ∴是整式乘法运算，不是因式， ∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆 【点睛】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键. 24．分解因式：． 【答案】 【分析】根据提公因式法分解因式求解即可 【解析】解： 【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． 25．因式分解：． 【答案】 【分析】先根据整式的混合运算法则进行化简，然后利用提公因式法即可求解． 【解析】解：原式 【点睛】此题主要考查提公因式法分解因式，解题的关键是先进行化简． 26．如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形． 已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积． 这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r＝40m，l＝30πm时操场的面积(结果保留π)；若不能，请说明理由． 【答案】πr2＋2rl；能分解因式；πr2＋2rl＝r(πr＋2l)；当r＝40m，l＝30πm时，操场的面积＝4000π(m2)． 【分析】根据操场面积=圆的面积+长方形面积列式即可，然后提公因式分解，最后代入求值． 【解析】操场面积=圆的面积+长方形面积=πr2＋2rl= r(πr＋2l)． 当r=40m，l=30πm时，操场的面积=40×（40π+2×30π）=4000π(m2)． 【点睛】本题考查了因式分解的应用．正确列代数式是解题的关键． 27．阅读下列材料． 形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料进行因式分解即可； （2）令仿照材料进行因式分解得，再将代回可得，同理对进行因式分解即可． 【解析】（1）解： （2）令，则可得 ， 再将代回，得： 同理：， 即： 【点睛】此题考查了因式分解，弄清阅读材料中的规律是解本题的关键． 28．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 =（1+x）[1+x+x（x+1）] =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是______，共应用了_____次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法______次，结果是______． （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是_______． 【答案】（1）提公因式法；2；（2）2019；（x+1）2020；（3）（x+1）n+1. 【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可； （2）根据已知分解因式的方法可以得出答案； （3）由（1）中计算发现规律进而得出答案． 【解析】（1）因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次； 故答案为：提公因式法，2； （2）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019 =(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)2018] =(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)2017] …. =(1+x)2020 则需应用上述方法2019次，结果是(1+x)2020； 故答案为2019，(1+x)2020； (3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n =(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)n-1] =(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)n-2] …. =(1+x)n+1. 故答案为：(1+x)n+1. 【点睛】本题考查因式分解——提公因式法，解题的关键是正确找出公因式. 29．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，， 解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5． 【分析】（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式． 【解析】解：（1）∵＝x2+（a﹣1）x﹣a＝， ∴a﹣1＝﹣5， 解得：a＝﹣4； 故答案是：﹣4 （2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6， ∴b＝﹣1． 故答案是：﹣1． （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n）， 则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n， ∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n， 解得n＝5，k＝5， ∴另一个因式为x+5，k的值为5． 【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$