精品解析：山东省烟台第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

山东省烟台第一中学2023-2024学年度第二学期高一6月月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量，有下面几个样本，统计该路口在学校放学时段的车流量，你认为合适的是（ ） A. 抽取两天作为一个样本 B. 春､夏､秋､冬每个季节各选两周作为样本 C. 选取每周星期日作为样本 D. 以全年每一天作为样本 3. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问斩高几何?”.已知方锥（即正四棱锥）下底边长为20尺，高为30尺，现欲从方锥上面截去一段，使之成为方亭（即正四棱台），且使方亭上底边长为8尺（如图所示），则截去小方锥的高为（ ）. A. 24尺 B. 18尺 C. 6尺 D. 12尺 4. 已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（ ） A. 一个圆柱 B. 一个圆锥 C. 一个圆台 D. 两个圆锥 7. 打靶时，甲命中目标的概率为0.8，乙命不中目标的概率为0.3．若两人同时射击，则他们同时命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为 “刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱， ， ， 和都是边长为的等边三角形，则这个几何体的体积是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 对任意复数，都有 B. 对任意复数，，都有 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则 10. 已知，，，下述四个结论中正确的是（ ）. A. B. 四边形为平行四边形. C. 与夹角的余弦值为 D. 11. 如图，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，分别是的中点，则下列结论成立的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与平面平行 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 若，向量与垂直，则实数的值为_________． 13. 若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________． 14. 已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥的体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的值； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 16. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 17. 的内角的对边分别为， （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使. （Ⅰ）求与的数量积； （Ⅱ）求与的数量积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台第一中学2023-2024学年度第二学期高一6月月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∴， ∴， ∴复数点为，位于第二象限．选B． 2. 为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量，有下面几个样本，统计该路口在学校放学时段的车流量，你认为合适的是（ ） A. 抽取两天作为一个样本 B. 春､夏､秋､冬每个季节各选两周作为样本 C. 选取每周星期日作为样本 D. 以全年每一天作为样本 【答案】B 【解析】 【分析】选择调查的对象要有代表性即可判断． 【详解】解：依题意春､夏､秋､冬每个季节某路口在学校放学时段的车流量可能会有差异， 为了统计该路口在学校放学时段的车流量，春､夏､秋､冬每个季节各选两周作为样本更具有代表性，故B正确； 对于A：随机抽取两天作为一个样本，不具有代表性，故A错误； 对于C：显然星期一到星期五学校放学时段的车流量与周末时学校放学时段的车流量会有差异，故选取每周星期日作为样本也不具有代表性，故C错误； 对于D：全年每天的数据，属于全面调查，不属于抽样调查，故D错误； 故选：B． 3. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问斩高几何?”.已知方锥（即正四棱锥）下底边长为20尺，高为30尺，现欲从方锥上面截去一段，使之成为方亭（即正四棱台），且使方亭上底边长为8尺（如图所示），则截去小方锥的高为（ ）. A. 24尺 B. 18尺 C. 6尺 D. 12尺 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱锥与棱台的结构特征即求. 【详解】设截去小方锥的高为，则 ， 解得（尺）. 故选：D. 4. 已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设至少应抽出个产品，由题设条件建立不等式，由此能求出结果. 【详解】解：要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，设至少抽出个产品， 则基本事件总数为，要使这3个次品全部被抽出的基本事件个数为， 由题设知：， 所以，即， 分别把A，B，C，D代入，得C，D均满足不等式， 因为求的最小值， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化. 5. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模的定义求出，把平方结合求得，即可求得． 【详解】，， 由题意可得，， ，，， 故选：A． 6. 以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（ ） A. 一个圆柱 B. 一个圆锥 C. 一个圆台 D. 两个圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】旋转轴的左右两边都是直角三角形，并且旋转轴是直角三角形的较长直角边. 【详解】以一个等边三角形的底边所对应的中线为旋转轴旋转一周所得的几何体相当于是一个圆锥， 故选B. 【点睛】本题考查对旋转体的理解，能根据旋转过程判断所得到的旋转体，难度较易.以直角三角形的任意一条直角边为旋转轴旋转得到的几何体是圆锥. 7. 打靶时，甲命中目标的概率为0.8，乙命不中目标的概率为0.3．若两人同时射击，则他们同时命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设表示“甲击中目标”， 表示“乙击中目标”，他们同时命中目标的概率是，由此能求出结果． 【详解】设表示“甲击中目标”， 表示“乙击中目标”， 两人同时射击一目标， ，， 他们同时命中目标的概率是． 故选：A 8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为 “刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱， ， ， 和都是边长为的等边三角形，则这个几何体的体积是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如详解 【详解】过作⊥平面，垂足为，过作⊥平面，垂足为，过作∥，交于，交于，过信∥，交于，交于，如图所示： ∵四边形是矩形，棱，，，和都是边长为的等边三角形 ∴四边形是边长为的正方形， ∴这个几何体的体积为 故选C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 对任意复数，都有 B. 对任意复数，，都有 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用特值可判断AB，根据复数的共轭复数的概念可判断C，根据复数的除法及复数的概念可判断D. 【详解】令，则，故A错误； 令，则，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，设，， 所以，即，所以，故D正确. 故选：CD. 10. 已知，，，下述四个结论中正确的是（ ）. A. B. 四边形为平行四边形. C. 与夹角的余弦值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由，，，， 所以，，，, 对于A，，故A错误； 对于B，由，，则， 即与平行且相等，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由题可得，所以，故D正确； 故选：BD. 11. 如图，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，分别是的中点，则下列结论成立的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与平面平行 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 直线与在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和直线与平面所成角的大小即可得解. 【详解】 直线与 在同一平面内，不是异面直线，所以A选项错误； 取交点，连接， ， 所以四边形是平行四边形，， 平面，平面 ，所以直线与平面平行，B选项正确； 直线与直线 所成角就是与直线所成角， 正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ， 连接在中， 由余弦定理可得 所以直线与直线所成角的余弦值为，所以C选项正确； 由题可得：平面平面，交线为 AC，， 平面，根据面面垂直的性质可得平面 ，， 所以平面， 线与平面所成角就是，在直角三角形 中， 直线与平面所成角的余弦值为 ，所以D选项正确. 故选：BCD 【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 若，向量与垂直，则实数的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解. 【详解】， 则，， 向量与垂直， 则，解得. 故答案为：. 13. 若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________． 【答案】6 【解析】 【分析】求出新数据的均值后再利用方差的公式可求新数据的方差. 【详解】因为，，，…，的方差为4，平均数为， 所以， 新数据的平均数为， 所以新数据的方差 ． 所以，，，…，的标准差为6. 故答案为：6 14. 已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥的体积为__________． 【答案】6或54 【解析】 【分析】分球心位于棱锥内部和外部进行讨论，根据球的半径求得棱锥的高，即可得到棱锥的体积. 【详解】由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：， 棱锥的底面积为：，据此分类讨论： 当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：； 当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：； 综上可得：四棱锥的体积为6或54. 故答案为：6或54 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的值； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线列方程，解方程即可； （2）根据坐标运算得到，，然后根据垂直列方程得到，最后利用数量积的公式求夹角. 【小问1详解】 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由题意得，， 因为与垂直，所以， 解得， 因为，所以，， 因为，所以. 16. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率 试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85． 当日需求量n<17时，利润y＝10n－85． 所以y关于n的函数解析式为（n∈N）． （2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元， 16天的日利润为75元，54天的日利润为85元， 所以这100天的日利润的平均数为×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4． ②利润不低于75元时日需求量不少于16枝， 故当天的利润不少于75元的概率为p＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7． 考点：概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数 17. 的内角的对边分别为， （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知求出，再利用余弦定理得解； （2）求出，，即得解. 【小问1详解】 解：由已知可得，因为，所以. 在中，由余弦定理得， 即， 解得（舍去），. 【小问2详解】 解：由题设可得，所以. 故.又， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在直三棱柱中 底面，底面,． 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面 （2） 取的中点，连接，． ，，分别是，，的中点， ，且，． ，且，，且， 四边形为平行四边形， ,平面,平面，所以平面， 取中点，连接，，则， 平面,平面，所以平面， 平面， 故平面平面． 在棱上存在中点，使得平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）由直三棱柱侧棱与底面垂直可得，结合已知，得到平面，从而得到平面平面； （2）取的中点，连接，．由三角形中位线定理可得，且，得到四边形为平行四边形，进一步得到．取中点，连接，，则，由此能求出在棱上存在中点，使得平面平面． （3）由已知求解直角三角形得到，求得底面积，代入三棱锥体积公式求得三棱锥的体积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，，． 三棱锥为： ． 19. 如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使. （Ⅰ）求与的数量积； （Ⅱ）求与的数量积. 【答案】(Ⅰ)-18；(Ⅱ). 【解析】 【详解】试题分析： (Ⅰ)在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到．设设，则得到，，根据数量积的定义及运算率可得所求． 试题解析： （Ⅰ）在中， 由余弦定理得， 所以， 所以是等腰三角形，且， 所以, 所以 （Ⅱ）由, 得， 所以点在的角平分线上， 又因为点是边上的一点， 所以由角平分线性质定理得， 所以. 因为， 所以. 设， 则，． 由，得， 所以， 又， 所以 点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系： （1）在中，若或，则点是的外心； （2）在中，若，则点是的重心； （3）在中，若，则直线一定过的重心； （4）在中，若，则点是的垂心； （5）在中，若，则直线通过的内心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $