专题08　含绝对值的二次函数-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破（新高考专用）

专题08　含绝对值的二次函数 　题型1单调性 例1　若函数f(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__ __． 变式　若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是(　 　) A． B．[－6，－4] C．[－3，－2] D．[－4，－3] 　题型2 最值问题 例2　(1)(2024·南通期初)记函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为(　A　) A．3－2 B．－1 C． D．1 (2)已知f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，记|f(x)|的最大值为g(a)，则g(a)的最大值为(提示：可借用绝对值三角不等式放缩)(　 　) A． B． C．3 D．1 变式　已知a＞0，函数f(x)＝|x2＋|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a＝__ _． 　题型3 零点的问题 例3　已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__ __． 变式　已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是__ __． (1)解决含绝对值的二次函数综合问题，要从以下几方面入手： ①去绝对值，将函数改写为分段函数是最常见的处理方式．去绝对值的方法有：分段讨论去绝对值、平方去绝对值等． ②利用绝对值三角不等式进行放缩，可以解决部分特殊含绝对值函数求最值问题． (2)分类讨论是解决含参问题的主要手段，参变分离或数形结合亦是有效的解决手段． (3)解决二次函数问题常见的着手点有：开口方向、对称轴位置、判别式取值、端点函数值． 综合训练 1．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　 　) A． B． C．(1，2) D．(2，＋∞) 2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为(　 　) A．6 B．7 C．8 D．9 3．(多选)若函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的最大值为2，则实数a的取值可以为(　 　) A．1 B．3 C．2 D．4－4 4．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，则下列结论正确的是(　 　) A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增 B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数 C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点 5．已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m＞0，且函数f(x)的值域为[0，4]，则实数m的取值范围是__ __． 6．已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x－3，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是__ __． 7．已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝．若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为__ _． 8．已知f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx，若f(x)在(0，4)上有两个不同的零点x1，x2，则实数k的取值范围是__ __． 9．(2024·苏州期中)已知函数f(x)＝|3－x2|－3，若|m|＜n，且f(m)＝f(n)，则实数m的取值范围为___，mn的取值范围为 ． 10．已知函数f(x)＝|ax－2|x＋3(a∈R)．若当x＞0时，f(x)＞x恒成立，则实数a的取值范围 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08　含绝对值的二次函数 　题型1单调性 例1　若函数f(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__ __． 【解析】 当0≤x＜1时，f(x)＝x2－mx＋m，由f(x)单调递增，可得≤0，即m≤0；当x≥1时，f(x)＝x2＋mx－m，由f(x)单调递增，可得－≤1，则m≥－2．综上，实数m的取值范围是[－2，0]． 变式　若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是(　 　) A． B．[－6，－4] C．[－3，－2] D．[－4，－3] 【解析】 f(x)＝x2＋a|x|＋2＝因为f(x)在[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，所以即a∈[－6，－4]． 　题型2 最值问题 例2　(1)(2024·南通期初)记函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为(　A　) A．3－2 B．－1 C． D．1 【解析】 因为0≤x≤1，所以若a≤0，如图(1)，函数f(x)＝|x2－ax|＝x2－ax在区间[0，1]上单调递增，则g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)单调递减，g(a)min＝g(0)＝1．若0＜a≤1，如图(2)，f(x)＝|x2－ax|＝所以g(a)＝max＝max，易知当0＜a≤2－2时，1－a≥，所以g(a)＝1－a；当2－2＜a≤1，1－a＜，所以g(a)＝，此时g(a)min＝g(2－2)＝＝1－(2－2)＝3－2．若a＞1，f(x)＝|x2－ax|＝ax－x2，易知当1＜a≤2时，如图(3)，g(a)＝＞；当a＞2时，如图(4)，g(a)＝a－1，此时g(a)＞1．而1＞＞3－2，故g(a)的最小值为3－2． 　　　　　　 图(1) 　 　 　图(2) 　 　 　图(3) 　 　 　图(4) (2)已知f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，记|f(x)|的最大值为g(a)，则g(a)的最大值为(提示：可借用绝对值三角不等式放缩)(　 　) A． B． C．3 D．1 【解析】 由题意得|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a|·|x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x|．因为－1≤x≤1，所以|x2－1|＋|x|＝1－x2＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1＝－2＋，当|x|＝，即x＝±时，(|x2－1|＋|x|)max＝，即|f(x)|≤，即|f(x)|的最大值为． 变式　已知a＞0，函数f(x)＝|x2＋|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a＝__ _． 【解析】 由题意，f(0)＝|a－3|≤2，又a＞0，所以1≤a≤5．因为x∈[－1，1]，所以f(x)＝|x2＋a－x－3|＝|x2－x＋a－3|，函数y＝x2－x＋a－3(－1≤x≤1)的对称轴为直线x＝，观察函数f(x)＝|x2－x＋a－3|的图象可知函数的最大值是f(－1)或f．令f(－1)＝|1＋1＋a－3|＝2，得a＝3或a＝－1(舍)，经检验a＝3满足题意．令f＝＝2，得a＝或a＝，经检验a＝不满足题意，a＝满足题意．综上，a＝3或a＝． 　题型3 零点的问题 例3　已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__ __． 【解析】 显然x≠1，所以a＝．令t＝x－1，t≠0，则a＝．因为t＋∈(－∞，－4]∪[4，＋∞)，所以t＋＋5∈(－∞，1]∪[9，＋∞)．作出y＝与y＝a的图象如图所示，由题知两函数图象有4个交点，结合图象可得0＜a＜1或a＞9． (例3) 变式　已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是__ __． 【解析】 作出函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象，由题知f(0)＝，f(1)＝，f(3)＝．方程f(x)－a＝0在[－3，4]上有10个零点，即函数y＝f(x)与直线y＝a在[－3，4]上有10个公共点．又f(x)的周期为3，作出y＝f(x)在[－3，4]上的图象如图所示，结合图象有a∈． (1)解决含绝对值的二次函数综合问题，要从以下几方面入手： ①去绝对值，将函数改写为分段函数是最常见的处理方式．去绝对值的方法有：分段讨论去绝对值、平方去绝对值等． ②利用绝对值三角不等式进行放缩，可以解决部分特殊含绝对值函数求最值问题． (2)分类讨论是解决含参问题的主要手段，参变分离或数形结合亦是有效的解决手段． (3)解决二次函数问题常见的着手点有：开口方向、对称轴位置、判别式取值、端点函数值． 综合训练 1．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　 　) A． B． C．(1，2) D．(2，＋∞) 【解析】 方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点．如图，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2，1)的连线的斜率，且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故＜k＜1． 2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为(　 　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 由题意作出y＝f(x)在区间[－2，4]上的图象如图所示，与直线y＝1的交点共有7个，故函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为7． 3．(多选)若函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的最大值为2，则实数a的取值可以为(　 　) A．1 B．3 C．2 D．4－4 【解析】 当a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，f(x)max＝f(2)＝2|2－a|＝2，解得a＝1(舍去)或a＝3(舍去)．当a＞0时，f(x)＝当＞2，即a＞4时，f(x)max＝f(2)＝－2(2－a)＝2，解得a＝3(舍去)．当0＜a≤4时，若x＞a，令f(x)＝f，解得x＝(负值舍去)．若≤2≤，即4(－1)≤a≤4，则f(x)max＝f＝＝2，解得a＝2．若2＞，即0＜a＜4(－1)，则f(x)max＝f(2)＝2(2－a)＝2，解得a＝1．综上，a＝2或a＝1． 4．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，则下列结论正确的是(　 　) A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增 B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数 C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点 【解析】 对于A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上单调递增，故A正确．对于B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|，显然是偶函数，故B正确．对于C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|即为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故C错误．对于D，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，如图，f(x)的图象与直线y＝2有4个交点，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误． 5．已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m＞0，且函数f(x)的值域为[0，4]，则实数m的取值范围是__ __． 【解析】 如图，由函数f(x)＝x|x－4|的图象可知，当x＞4时，令x|x－4|＝4，即x2－4x－4＝0，解得x＝2＋2．因为x∈[0，m]，函数f(x)的值域为[0，4]，所以实数m的取值范围是[2，2＋2]． 6．已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x－3，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是__ __． 【解析】 f(x)＝f(x)在R上为增函数的充要条件是解得－2≤a≤2． 7．已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝．若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为__ _． 【解析】 由题意知g(x2)max≥|f(x1)|恒成立，因为g(x)＝在[2，3]上单调递减，所以g(x2)max＝2．由题意得|f(x)|≤2，即|x2－2x＋3a|≤2在[0，3]上恒成立，即－2≤x2－2x＋3a≤2在[0，3]上恒成立，所以 即在[0，3]上恒成立，所以3a＝－1，a＝－． 8．已知f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx，若f(x)在(0，4)上有两个不同的零点x1，x2，则实数k的取值范围是__ __． 【解析】方法一：因为f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx在(0，4)上有两个不同的零点，所以方程|x2－4|＋x2＋kx＝0在(0，4)上有两个不同的解，即|x2－4|＝－(x2＋kx)在(0，4)上有两个不同的解，所以函数y＝|x2－4|与y＝－(x2＋kx)的图象在(0，4)上有两个不同的交点．由两函数图象可得解得－7＜k＜－2． 方法二：因为f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx在(0，4)上有两个不同的零点，所以方程－k＝在(0，4)上有两个不同的解，所以直线y＝－k与函数y＝的图象在(0，4)上有两个不同的交点．作出函数y＝的图象如图所示，由图可知2＜－k＜7，即－7＜k＜－2． 9．(2024·苏州期中)已知函数f(x)＝|3－x2|－3，若|m|＜n，且f(m)＝f(n)，则实数m的取值范围为___，mn的取值范围为 ． 【解析】 f(x)＝画出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，若|m|＜n，且f(m)＝f(n)，则|m|＜，即m∈(－，)，n∈(，)，－m2＝n2－6，即m2＋n2＝6≥2|mn|，－3≤mn≤3，因为|m|≠|n|，所以等号不成立，故mn∈(－3，3)． 10．已知函数f(x)＝|ax－2|x＋3(a∈R)．若当x＞0时，f(x)＞x恒成立，则实数a的取值范围 ． 【解析】 ①当a＝0时，f(x)＝2x＋3，当x＞0时，f(x)＞x显然成立．②当a＜0时，由于x＞0，则ax－2＜0，故f(x)＝－ax2＋2x＋3，f(x)＞x可化为ax2－x－3＜0，当x＞0时，该不等式恒成立．③当a＞0时，若0＜x≤，则f(x)＝－ax2＋2x＋3，此时f(x)在上单调递增，在上单调递减，若x＞，则f(x)＝ax2－2x＋3，故f(x)在上单调递增， 且f′(x)＝2ax－2＞2a·－2＝2＞1，因此，当x＞0时，f(x)≥f＝f(0)＝3．令g(x)＝x，若要f(x)＞x恒成立，只需g＝＜3，所以a＞．综上，实数a的取值范围是(－∞，0]∪． 学科网（北京）股份有限公司 $$