第05讲 一次函数定义、图象及性质 （6个知识点+6种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第05讲 一次函数定义、图象及性质 （6个知识点+6种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 【例1】（2023秋•裕安区校级月考）下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•安徽期中）若是一次函数，则　　． 【变式2】（2023秋•怀宁县期中）已知关于的函数是一次函数，求的值． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 【例2】（2023秋•蚌山区期中）若是关于的正比例函数，则的值为 　　． 【变式1】（2022秋•定远县期中）已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【变式2】（2023秋•霍邱县期中）已知、两地相距，小明以的速度从步行到地，走过的距离为，步行的时间为． （1）求与之间的函数表达式，并指出是的什么函数； （2）写出该函数自变量的取值范围． 知识点3．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 【例3】（2022秋•宣城期末）如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是　　 A． B． C． D． 【变式1】一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是　　． 【变式2】（2022秋•霍邱县期中）作出函数的图象． 知识点4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【例4】（2023秋•庐阳区校级期末）在同一坐标系中，函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 【变式】（2022秋•蜀山区校级月考）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 知识点5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【例5】（2023秋•安庆期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•包河区期末）已知一次函数为常数）．当时，函数有最大值，则　　． 【变式2】（2023秋•合肥期中）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． （1）求的值． （2）当时，求的取值范围． 知识点6．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【例6】（2023秋•肥东县期末）对于正比例函数，当时，的最大值等于 　　． 【变式1】（2021秋•利辛县月考）在正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2021秋•定远县校级月考）已知正比例函数．求： （1）为何值时，函数图象经过第一、第三象限； （2）为何值时，随的增大而减小； （3）为何值时，点在该函数图象上． 题型一．一次函数的定义 1．（2023秋•瑶海区期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023秋•淮北月考）若是关于的一次函数，则的值为 　　． 题型二．正比例函数的定义 3．（2021秋•宿松县期末）已知关于的函数是正比例函数，则的值是 　　． 4．（2023秋•霍邱县月考）若函数是正比例函数，则的值为　　 A．0 B．2 C． D． 5．（2022秋•固镇县校级期中）已知关于的函数是正比例函数，求的值． 题型三．一次函数的图象 6．（霍山县校级期末）已知一次函数的图象如图，当时，的取值范围是　　． 7．（2023秋•潜山市期末）已知，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 8．画出函数的图象，利用图象： 0 6 0 （1）求方程的解；（2）求不等式的解集． 题型四．正比例函数的图象 9．（2023秋•宁国市月考）一次函数与、为常数，且在同一平面直角坐标内的图象可能是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•泗县期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 题型五．一次函数的性质 11．（2023秋•潜山市期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则　　0． 12．（2022秋•亳州月考）已知关于的一次函数为，那么这个函数的图象一定经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2023秋•砀山县期中）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 3 4 （1）表格中：　　； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数图象； （3）根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质： ①　　； ②　　． 题型六．正比例函数的性质 14．（2022秋•凤阳县期末）若是关于的正比例函数，如果点和点在该函数的图象上，那么和的大小关系是　　 A． B． C． D． 15．（2021•包河区校级开学）已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则的值为 　　． 16．（2022秋•定远县校级月考）已知正比例函数的图象经过第二、 四象限， 求函数的图象经过哪些象限？ 练习试卷 一．选择题 1．（2022秋•舒城县校级期中）下列函数是正比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•淮北期中）下列函数①，②，③，④，⑤中，是一次函数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•潜山市期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为　　 A． B．2 C． D．1 4．（2023秋•金安区校级月考）已知函数是关于的一次函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D．为任意实数 5．（2023秋•淮北期中）关于函数，下列结论正确的是　　 A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与直线平行 D．随的增大而增大 6．（2022秋•濉溪县期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•包河区期末）两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 二．填空题 8．（2021秋•庐阳区校级期中）若函数是一次函数，则的值是 　　． 9．（2021秋•定远县校级月考）已知正比例函数的图象在第二、四象限，则的值为　　，函数的解析式为　 　． 10．（2023秋•蜀山区校级月考）请写出一个图象平行于直线，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式 　　． 出关于的函数，学生们在独立思考后，给出了5条关于这个函数的结论： ①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数； ②函数的值随着自变量的增大而减小； ③该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④若函数图象与轴交于，则； ⑤此函数图象与直线，轴成的面积必小于0.5． 对于以上5个结论正确的有　 个． 三．解答题 12．（2021秋•宜秀区校级期末）已知正比例函数，的值随的值减小而减小，求的值． 13．（2020秋•安庆期中）已知． （1）满足什么条件时，是一次函数？ （2）满足什么条件时，是正比例函数？ 14．（2023秋•蜀山区校级月考）已知关于的函数． （1）若函数为正比例函数，求的值，并画出该正比例函数的图象； （2）若函数为一次函数，求的值； （3）若函数不经过第二象限，求的取值范围． 15．（2023秋•裕安区校级月考）在探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索的函数性质． （1）①完成下面列表： 0 1 2 3 4 5 6 ②根据列表在下面平面直角坐标系中先描点，再连线． （2）①函数的最小值为 　　；当随增大而减小时，的取值范围是 　　； ②当时，的取值范围是 　　． 16．（2023秋•霍邱县期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 请把列表补充完整并在所给坐标系中画出该函数的图象． 0 1 2 3 4 　　 　　 1 0 　　 （2）根据函数图象解决问题： ①该函数的最大值为 　　； ②若随的增大而减小，则应满足的条件是 　　． （3）运用合适的方法探究：若在同一坐标系中另有一次函数． ①当时，的取值范围是 　　； ②将沿轴怎样平移？能使与的函数图象无交点？请写出具体的平移方向和距离． 17．（2022秋•霍邱县期中）王红根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．下面是王红的探究过程，请补充完成： （1）函数的自变量的取值范围是 　全体实数　； （2）已知：①当时，；②当时，；③当时，　　； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分． （3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮王红确定下表中、的值，其中　　；　　； 1 2 4 3 1 0 1 （4）在平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象直接写出使的的取值范围； （5）根据函数的图象，写出函数的一条性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一次函数定义、图象及性质 （6个知识点+6种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 【例1】（2023秋•裕安区校级月考）下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【解答】解：．是二次函数，不符合题意； ．是一次函数，符合题意； ．不是一次函数，不符合题意； ．不是一次函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 【变式1】（2022秋•安徽期中）若是一次函数，则　　． 【分析】根据一次函数的定义求解即可． 【解答】解：是一次函数， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 【变式2】（2023秋•怀宁县期中）已知关于的函数是一次函数，求的值． 【分析】利用一次函数的定义，可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出的值． 【解答】解：关于的函数是一次函数， ， 解得：， 的值为． 【点评】本题考查了一次函数的定义，牢记“一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数”是解题的关键． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 【例2】（2023秋•蚌山区期中）若是关于的正比例函数，则的值为 　　． 【分析】利用正比例函数的定义分析得出，再代入计算即可求解． 【解答】解：是关于的正比例函数， 且， 解得：， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键． 【变式1】（2022秋•定远县期中）已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ，且， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数是负数． 【变式2】（2023秋•霍邱县期中）已知、两地相距，小明以的速度从步行到地，走过的距离为，步行的时间为． （1）求与之间的函数表达式，并指出是的什么函数； （2）写出该函数自变量的取值范围． 【分析】（1）利用行驶的距离与速度与时间的关系得出答案； （2）利用两地的距离得出的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得：， 此函数是正比例函数； （2）、两地相距， ， 解得：， 即该函数自变量的取值范围是：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，根据题意得出函数关系式是解题关键． 知识点3．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 【例3】（2022秋•宣城期末）如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是　　 A． B． C． D． 【分析】对于各选项，先确定一条直线的位置得到和的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求． 【解答】解：、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，所以选项错误； 、若经过第一、二、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、三、四象限，所以选项错误； 、若经过第一、三、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，所以选项正确； 、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，所以选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数经过两点、，．注意：使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． 【变式1】一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是　　． 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 【变式2】（2022秋•霍邱县期中）作出函数的图象． 【分析】根据题意画出函数图象即可． 【解答】解：当时，； 当时，， 即函数的图象经过点，，， 其图象如图： 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟练掌握描点法画函数的图象是关键． 知识点4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【例4】（2023秋•庐阳区校级期末）在同一坐标系中，函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数是常数，，我们通常称之为直线．当时，直线依次经过第三、一象限，从左向右上升，随的增大而增大；当时，直线依次经过第二、四象限，从左向右下降，随的增大而减小；一次函数中，看与轴交点，交与正半轴，交与负半轴，进而可得答案． 【解答】解：、函数的，函数中，则，两个的取值不一致，故此选项错误，不符合题意； 、函数的，函数中，则，两个的取值一致，故此选项正确，符合题意； 、函数的，函数中，则，两个的取值不一致，故此选项错误，不符合题意； 、图象中无正比例函数图象，故此选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数图象，关键是掌握正比例函数的性质，掌握一次函数的性质． 【变式】（2022秋•蜀山区校级月考）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断正比例图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：一次函数为， 随的增大而增大， 故不合题意； 、由一次函数的图象可得，而正比例函数图象可得，不符合题意； 、由一次函数的图象可得，正比例函数图象可得，符合题意； 、由一次函数的图象可得，而正比例函数图象可得，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限． 知识点5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【例5】（2023秋•安庆期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【解答】解：， 随的增大而减小． 又，且点，，都在直线上， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 【变式1】（2023秋•包河区期末）已知一次函数为常数）．当时，函数有最大值，则　4　． 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【解答】解：一次函数为常数）中，， 随的增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，，即， 解得． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，先根据题意得出函数的增减性是解题的关键． 【变式2】（2023秋•合肥期中）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． （1）求的值． （2）当时，求的取值范围． 【分析】（1）先根据一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小关于的不等式组，求出的取值范围即可； （2）根据列出关于的不等式，通过解不等式求得的取值范围． 【解答】解：（1）一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小， ， 解得， 为整数， ． （2）由（1）知，，则该一次函数解析式为：． ， ， 即的取值范围是． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时随的增大而减小，且函数与轴负半轴相交是解答此题的关键． 知识点6．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【例6】（2023秋•肥东县期末）对于正比例函数，当时，的最大值等于 　12　． 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【解答】解：正比例函数中，， 随的增大而增大， ， 当时，． 故答案为：12． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 【变式1】（2021秋•利辛县月考）在正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】由于正比例函数函数值随的增大而减小，可得，然后，判断一次函数的图象经过象限即可． 【解答】解：正比例函数函数值随的增大而减小， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限； 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数，当，时，图象过一、二、三象限；当，时，图象过一、三、四象限；，时，图象过一、二、四象限；，时，图象过二、三、四象限． 【变式2】（2021秋•定远县校级月考）已知正比例函数．求： （1）为何值时，函数图象经过第一、第三象限； （2）为何值时，随的增大而减小； （3）为何值时，点在该函数图象上． 【分析】（1）根据函数图象经过一、三象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可； （2）根据随的增大而减小列出关于的不等式，求出的取值范围即可； （3）直接把点代入正比例函数，求出的值即可． 【解答】解：（1）函数图象经过一、三象， ，解得； （2）随的增大而减小， ，解得； （3）点在该函数图象上， ，解得． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数中，当时，函数图象经过一、三象限；当时，函数图象经过二、四象限，且随的增大而减小是解答此题的关键． 经典题型汇编 题型一．一次函数的定义 1．（2023秋•瑶海区期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据一次函数的定义：，逐一进行判断即可． 【解答】解：（1）是正比例函数，也是一次函数； （2）是一次函数； （3）的分母含有自变量，不是一次函数； （4）是二次函数，不是一次函数； （5）是正比例函数，也是一次函数． 是一次函数的有3个， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的识别．熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键． 2．（2023秋•淮北月考）若是关于的一次函数，则的值为 　　． 【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解． 【解答】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 题型二．正比例函数的定义 3．（2021秋•宿松县期末）已知关于的函数是正比例函数，则的值是 　2　． 【分析】依据正比例函数的定义得到且，求得的值即可． 【解答】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，依据正比例函数的定义列出方程组是解题的关键． 4．（2023秋•霍邱县月考）若函数是正比例函数，则的值为　　 A．0 B．2 C． D． 【分析】根据正比例函数的定义得出且，再求出即可． 【解答】解：中，是的正比例函数， 且， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数叫一次函数，当时，函数也叫正比例函数． 5．（2022秋•固镇县校级期中）已知关于的函数是正比例函数，求的值． 【分析】依据正比例函数的定义得到且，求得的值即可． 【解答】解：依题意有且， 解得． 故的值是． 【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，依据正比例函数的定义列出方程组是解题的关键． 题型三．一次函数的图象 6．（霍山县校级期末）已知一次函数的图象如图，当时，的取值范围是　　． 【分析】当时，图象在轴左侧，此时． 【解答】解：根据图象和数据可知，当即图象在轴左侧时，的取值范围是． 【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力． 一次函数的图象有四种情况： ①当，，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 7．（2023秋•潜山市期末）已知，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】判断一次函数的图象经过象限即可． 【解答】解：， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限； 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数，当，时，图象过一、二、三象限；当，时，图象过一、三、四象限；，时，图象过一、二、四象限；，时，图象过二、三、四象限． 8．画出函数的图象，利用图象： 0 6 0 （1）求方程的解；（2）求不等式的解集． 【分析】利用一次函数的关系式画出函数图象，根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可． 【解答】解：依题意画出函数图象（如图） （1）从图象可以看到，直线与轴的交点坐标为， 方程的解为： ． （2）如图当时，直线在轴的上方，此时函数值大于0， 即：． 所求不等式的解集为：． 【点评】本题考查学生对一次函数性质的理解．根据题设所给的一次函数作出函数图象，然后根据一次函数的图象的性质求解． 题型四．正比例函数的图象 9．（2023秋•宁国市月考）一次函数与、为常数，且在同一平面直角坐标内的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项符合题意； 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图象有四种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 10．（2023秋•泗县期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【解答】解：、正比例函数图象经过第二、四象限，则．所以，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项符合题意； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则．所以，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项不符合题意； 、正比例函数图象经过第一、三象限，则．所以，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项不符合题意； 、正比例函数图象经过第一、三象限，则．所以，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 题型五．一次函数的性质 11．（2023秋•潜山市期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则　　0． 【分析】由于一次函数的图象经过第一、二、四象限，由此可以确定，，然后即可确定的符号． 【解答】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象的性质，首先根据图象经过的象限确定、的符号，然后即可解决题目的问题． 12．（2022秋•亳州月考）已知关于的一次函数为，那么这个函数的图象一定经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】当时，可求出，由此即可得出答案． 【解答】解：当时，， 即此一次函数的图象经过定点， 因为点位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限． 故选：． 【点评】本查了一次函数的图象，求出一次函数的图象经过定点是解题的关键． 13．（2023秋•砀山县期中）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 3 4 （1）表格中：　2　； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数图象； （3）根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质： ①　　； ②　　． 【分析】（1）将代入函数求得的值； （2）采用描点、连线的方法画函数图象； （3）根据函数图象写出其具有的函数性质． 【解答】解：（1）将代入，得， （2）函数图象如图所示． （3）①当时，随增大而增大； ②当时，取得最小值． 故答案为：当时，随增大而增大； 当时，取得最小值． 【点评】本题主要考查绝对值函数的性质，掌握绝对值函数的性质是解题关键． 题型六．正比例函数的性质 14．（2022秋•凤阳县期末）若是关于的正比例函数，如果点和点在该函数的图象上，那么和的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】利用正比例函数的定义可求出值，进而可得出正比例函数解析式，由，利用正比例函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【解答】解：是关于的正比例函数， ， ， 正比例函数的解析式为． ， 随的增大而减小， 又点和点在该函数的图象上，且， ． 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 15．（2021•包河区校级开学）已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则的值为 　或　． 【分析】根据函数的增减性，再由的取值范围得出时，或时，，分别代入代入函数解析式得出的值即可． 【解答】解：当时，函数随的增大而增大， 当时，， ，解得； 当时，函数随的增大而减小， 当时，， ，解得． 的值为或， 故答案为或． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 16．（2022秋•定远县校级月考）已知正比例函数的图象经过第二、 四象限， 求函数的图象经过哪些象限？ 【分析】根据正比例函数的性质： 当时， 图象经过一、 三象限，随的增大而增大；当时， 图象经过二、 四象限，随的增大而减小， 可得答案 ． 【解答】解： 由正比例函数的图象经过第二、 四象限， 得 ． 解得． 两边都乘以，得 ． 由，得 函数的图象经过二四象限 ． 【点评】本题考查了正比例函数的性质， 它是经过原点的一条直线 ． 当时， 图象经过一、 三象限，随的增大而增大；当时， 图象经过二、 四象限，随的增大而减小 ． 练习试卷 一．选择题 1．（2022秋•舒城县校级期中）下列函数是正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的表达式即可求解． 【解答】解：、，不是正比例函数，不符合题意； 、，不是正比例函数，不符合题意； 、，是正比例函数，符合题意； 、，不是正比例函数，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查正比例函数的概念，掌握正比例函数的表达式是解题的关键． 2．（2023秋•淮北期中）下列函数①，②，③，④，⑤中，是一次函数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】一次函数的一般形式为，其中、为常数．结构特征为①；②的次数为1；③常数可为任意实数．据此逐一判断即可得到答案． 【解答】解：①，是一次函数，符合题意； ②，是一次函数，符合题意； ③，的次数不为1，不是一次函数，不符合题意； ④，是一次函数，符合题意； ⑤的次数不为1，不是一次函数，不符合题意； 即一次函数有①②④，共3个， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 3．（2023秋•潜山市期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为　　 A． B．2 C． D．1 【分析】根据定义可得，即可求解． 【解答】解：一次函数是正比例函数， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0． 4．（2023秋•金安区校级月考）已知函数是关于的一次函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D．为任意实数 【分析】根据一次函数的定义即可求出的取值范围． 【解答】解：根据题意得： ， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的定义，掌握一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 5．（2023秋•淮北期中）关于函数，下列结论正确的是　　 A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与直线平行 D．随的增大而增大 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、当，，则点不在函数图象上，故本选项错误； 、由于，则函数的图象必过第二、四象限，，图象与轴的交点在的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误； 、由于直线与直线的倾斜角相等且与轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确； 、由于，则随增大而减小，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，随增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随增大而减小；当，图象与轴的交点在的上方；当，图象经过原点；当，图象与轴的交点在的下方． 6．（2022秋•濉溪县期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而增大， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、四象限． 7．（2023秋•包河区期末）两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【解答】解：、对于，当，图象经过第一、三象限，则，也要经过第一、三象限，所以选项不符合题意； 、对于，当，图象经过第一、三象限，则，经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方，所以选项符合题意； 、对于，当，图象经过第一、三象限，则，也要经过第一、三象限，所以选项不符合题意； 、对于，当，图象经过第二、四象限，若，则经过第一、三象限，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 二．填空题 8．（2021秋•庐阳区校级期中）若函数是一次函数，则的值是 　3　． 【分析】根据一次函数的定义可得： 且，求出即可． 【解答】解：由函数是一次函数得： 且， 解得：． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 9．（2021秋•定远县校级月考）已知正比例函数的图象在第二、四象限，则的值为　　，函数的解析式为　 　． 【分析】根据正比例函数的定义条件：为常数且，自变量次数为1，即可列出有关的方程，解出即可得出答案． 【解答】解：根据正比例函数的定义可得：， 解得：， 又该正比例函数的图象在第二、四象限， ，， ，． 故答案为：，， 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 10．（2023秋•蜀山区校级月考）请写出一个图象平行于直线，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式 　（答案不唯一）　． 【分析】设一次函数解析式为，根据图象图象平行于直线，得，根据经过第一、二、四象限的一次函数，得，，代入符合条件的数即可． 【解答】解：设一次函数为， 图象平行于直线， ， 图象经过第一、二、四象限的一次函数， ， ； 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由题意可以得到的值，的正负情况． 11．（2020秋•包河区校级月考）复习课中，教师给出关于的函数，学生们在独立思考后，给出了5条关于这个函数的结论： ①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数； ②函数的值随着自变量的增大而减小； ③该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④若函数图象与轴交于，则； ⑤此函数图象与直线，轴成的面积必小于0.5． 对于以上5个结论正确的有　0　个． 【分析】根据正比例函数的定义对①进行判断；根据一次函数的性质对②③进行判断；先利用函数值为0可计算出，则只有时，，于是可对④进行判断；求出直线和直线的交点坐标，以及它们与轴的交点坐标，则根据三角形面积公式得到直线与直线、轴围成的面积为，利用特殊值可对⑤进行判断． 【解答】解：此函数是一次函数，当时，它是正比例函数，所以①错误； 当时，函数的值 随着自变量的增大而增大，所以②错误； 当时，该函数图象与轴的交点在轴的负半轴上，所以③错误； 若函数图象与轴交于，则，解得，当时，，当时，，所以④错误； 此函数图象与直线的交点坐标为，，此直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，所以此函数图象与直线、轴围成的面积，当时，面积为1，所以⑤错误． 故答案为：0． 【点评】本题考查了一次函数的性质：，随的增大而增大，，随的增大而减小，由于与轴交于点，当时，在轴的正半轴上，当时，在轴的负半轴，解题的关键是求出直线和直线的交点坐标． 三．解答题 12．（2021秋•宜秀区校级期末）已知正比例函数，的值随的值减小而减小，求的值． 【分析】根据正比例函数的意义，可得答案． 【解答】解：的值随的值减小而减小， ， 正比例函数， ， ． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，形如，是不等于0的常数）是正比例函数． 13．（2020秋•安庆期中）已知． （1）满足什么条件时，是一次函数？ （2）满足什么条件时，是正比例函数？ 【分析】（1）利用一次函数定义可得，再解不等式即可； （2）利用正比例函数定义可得：，且，再解方程可得的值． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：； （2）由题意得：，且， 解得：． 【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如是常数，的函数叫做正比例函数． 14．（2023秋•蜀山区校级月考）已知关于的函数． （1）若函数为正比例函数，求的值，并画出该正比例函数的图象； （2）若函数为一次函数，求的值； （3）若函数不经过第二象限，求的取值范围． 【分析】（1）根据正比例函数的定义得，由此解出，再检验，由此得的值，进而得该正比例函数的表达式，然后画出它的图象即可； （2）根据是一次函数的定义得且，由此可得的值； （3）根据关于的函数不经过第二象限得且，由此可得的取值范围． 【解答】解：（1）关于的函数是正比例函数， ，解得：， 当时，， 当函数是正比例函数时，， 此时正比例函数的表达式为：， 当时，， 过点，作直线即为该正比例函数的图象，如下图所示： （2）关于的函数是一次函数， 且， 解得：且， 关于的函数是一次函数时，且； （3）关于的函数不经过第二象限， 且， 解得：． 当关于的函数不经过第二象限时，的取值范围是． 【点评】此题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，一次函数的图象与系数之间的关系，画正比例函数的图象，理解正比例函数与一次函数的定义，一次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握画正比例函数的图象的方法与技巧是解决问题的关键． 15．（2023秋•裕安区校级月考）在探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索的函数性质． （1）①完成下面列表： 0 1 2 3 4 5 6 ②根据列表在下面平面直角坐标系中先描点，再连线． （2）①函数的最小值为 　　；当随增大而减小时，的取值范围是 　　； ②当时，的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据解析式，列表画图即可； （2）①根据图像可得函数的最小值；根据图像当随增大而减小时可得的取值范围；②根据图像当时，可得的取值范围． 【解答】解：（1）①完成下面列表：． 0 1 2 3 4 5 6 1 0 0 1 （2）①根据图像函数的最小值为，当随增大而减小时，的取值范围是； ②根据图像当时，的取值范围是或． 故答案为：①；；②或． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握画图方法是解答本题的关键． 16．（2023秋•霍邱县期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 请把列表补充完整并在所给坐标系中画出该函数的图象． 0 1 2 3 4 　　 　　 1 0 　　 （2）根据函数图象解决问题： ①该函数的最大值为 　　； ②若随的增大而减小，则应满足的条件是 　　． （3）运用合适的方法探究：若在同一坐标系中另有一次函数． ①当时，的取值范围是 　　； ②将沿轴怎样平移？能使与的函数图象无交点？请写出具体的平移方向和距离． 【分析】（1）把值代入计算出值，然后描点画出图象即可； （2）①根据图象找到最大值；②借助图象写出随的增大而减小的的取值范围； （3）在同一坐标系中画出一次函数的图象，借助图象解题即可． 【解答】解：（1）如表和图： 0 1 2 3 4 0 1 0 故答案为：，0，； （2）由图象可知：①该函数的最大值为1； ②若随的增大而减小，则应满足的条件是； 故答案为：①1；②； （3）在同一坐标系中画出一次函数的图象， ①如图，当时，的取值范围为； ②当时，分别计算出，，， 平移使与的函数图象无交点．需将沿轴向上平移，平移的距离大于个单位长度． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 17．（2022秋•霍邱县期中）王红根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．下面是王红的探究过程，请补充完成： （1）函数的自变量的取值范围是 　全体实数　； （2）已知：①当时，；②当时，；③当时，　　； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分． （3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮王红确定下表中、的值，其中　　；　　； 1 2 4 3 1 0 1 （4）在平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象直接写出使的的取值范围； （5）根据函数的图象，写出函数的一条性质． 【分析】（1）根据一次函数的定义即可得出结论； （2）根据绝对值的性质解答即可； （3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （4）根据函数图象即可得出结论； （5）根据函数图象即可得出结论． 【解答】解：（1）无论为何值，函数均有意义， 为全体实数． 故答案为：全体实数； （2）当时，， 故答案为：； （3）当时，，即； 当时，， 故答案为：0；3； （4）如图所示； 由函数图象可知，当时，； （5）由函数图象可知，函数关于直线对称（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$