精品解析：浙江省浙东北联盟（ZDB）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

浙东北联盟（ZDB）2023-2024学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题学校：浙江工业大学附属德清高级中学 命题老师：洪裕祥 审卷老师：章幸伟 总分150分 考试时间120分钟 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】与向量方向相反的单位向量为求解即可. 【详解】因为，所以， 与向量方向相反的单位向量为， 故选：B 2. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 3. 已知一个正方体的外接球的体积为，则这个正方体的体积为（ ） A. 3 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体性质，,由外接球体积求出半径得出直径，最后得出边长，即可求出体积． 【详解】根据正方体性质，球心在体对角线中点上，体对角线长为外接球直径，半径设为，边长为， 则.根据题意，解得， 则，则，则，则正方体体积为： 故选：C. 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式可求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 5. 如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取的中点，连接，由题意可知异面直线EF与GH所成的角（或其补角）即为与所成的角（或其补角），求出，由余弦定理求解即可. 【详解】分别取的中点，连接， 由正方体的性质知：， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线EF与GH所成的角（或其补角）即为与所成的角（或其补角）， 即为，设正方体的棱长为， ，， 所以， 所以异面直线EF与GH所成的角为. 故选：C. 6. 若两个非零向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用模长公式结合数量积公式求解即可． 【详解】因为，两边平方，得到 ，即，即(1), 又＝(2)，(3)． 并且， 则，将(1),(2),(3)代入，得到，，则． 故选：B. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理，所以， 过A作，垂足为G，则，， 所以，所以，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：C 8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B，A，D三点共线，设点P是内的任意一点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转到，根据两点之间线段最短结合余弦定理可求的最小值，或者建立平面直角坐标系，根据费马点的性质结合圆的方程可求费马点的坐标，从而可求的最小值，也可以费马点的几何特征结合正弦定理可求的值，从而可求的最小值. 【详解】由题设有，而， 由余弦定理可得， 所以，故是直角三角形， 且，. 法一：几何法 将绕点顺时针旋转到，则， 则， 当且仅当四点共线时等号成立，此时， ， 即为费马点时，取最小值， 因为，， 所以.， 故当且仅当为费马点时，取最小值且最小值为. 法二：解析法 以点为原点建立平面直角坐标系，且，， 由费马点的定义知点满足， 故在以为弦且半径为的劣弧上， 设圆心为，而，故，故， 故圆， 同理也在以为弦且半径为的劣弧上， 其方程为， 由可得， 再代入其中一式解得，（舍） 所以取最小值时，，， 故取最小值且最小值为. 法三：代数法 设，则， 由费马点的性质可得，（）， 由正弦定理可得且， 故，整理得到， 解得，即， 此时， 而，同理 故的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于给定条件的几何问题，我们可以根据几何对象的性质结合正弦定理或余弦定理求解几何量，或者利用旋转构造最值线段. 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，若存在实数，使得，则，无解，所以与不共线， 可以作为平面的基底，故A错误； 对于B，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C正确； 对于D，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D正确. 故选：BCD. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角形解的个数可得，再根据正弦定理结合三角变换可求的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，故， 因为有且仅有一个解，故或， 由可得，由可得，结合为三角形内角可得， 故， 由正弦定理得 ， 而，，故， 故选：ABC. 11. 如图，正方体的棱长为2，是线段的中点，是线段的中点，是线段上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 可能是直角 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出等边的高，即可判断A；在矩形中假设为直角，推出矛盾，即可判断B；证明平面，即可判断C，四边形求出的最小值，即可判断D. 【详解】对于A， 因为为边长为的等边三角形， 所以的最小值即该等边三角形的高， 即，故A正确； 对于B： 在矩形中，， 若，即，此时，所以， 则，则，因为， 所以方程无解，即不可能是直角，故B错误； 对于C：连接，则，又，所以，平面， 平面，所以平面，又是线段上的一个动点 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：因为，如下图， 在四边形中，，，作点关于的对称点， 连接交于点，此时取得最小值，最小值为线段的长度， 又， 所以，所以， 所以， 所以的周长的最小值为，故D正确. 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案. 【详解】根据题意，水平放置的斜二测直观图为，则直观图的面积， 则的面积为. 故答案为：. 13. 已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆柱侧面展开图的周长利用基本不等式可得答案. 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的底面直径为， 所以该圆柱侧面展开图的周长为， 当且仅当即等号成立. 故答案为：. 14. 已知向量，，满足，，，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：，设，，，由可得：，从而可得：，进而可求出结果. 【详解】由题意可得：，设，，， ，，，， 整理得：，所以， 因为，所以，所以， 即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）求满足的实数x，y的值； （2）若，求实数x的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量相等条件可解； （2）运用向量平行坐标表示可解． 【小问1详解】 因为，，则， 又，， 所以，解得，； 【小问2详解】 因为，，则， 又，， 所以，解得. 16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是BC、的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 在直三棱柱中，由，是的中点，得， 由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，而，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用直三棱柱的构造特征，结合线面垂直的性质、判定推理即得. （2）由（1）中信息，结合相似三角形的性质求出，再利用等体积法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在矩形中，由（1）知，，， 于是直角与直角相似，则，即， 因此，，，， ，， 设点到平面的距离为，由，得， ，解得， 所以点到平面的距离为. 17. 某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，. （1）求的值； （2）若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件） 【答案】（1） （2），其中为锐角且，最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可求，由正弦定理可求，故可求， （2）由面积公式可求，，再利用辅助角公式可得及其最大值. 【小问1详解】 在上，由余弦定理米， 在上，由正弦定理， 所以，而，故， 故. 【小问2详解】 因为，所以，， ， ， 所以四边形CEIF区域面积 （平方米）， 其中为锐角且，因为，故， 故当时，有最大值且最大值为平方米. 18. 如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量，求实数x，y的值； （3）若向量与的夹角为，求的最小值. 【答案】（1） （2）， （3）0 【解析】 【分析】（1）点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系，由向量的夹角的坐标运算求解即可； （2）由平面向量基本定理可得，由，，三点共线求出，由此可求出实数x，y的值； （3）法一：点为中点，因为，所以以为直径的圆与圆外切.由圆周角大于圆外角即可得出答案；法二：设，，则，求出，，由向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 易得，且为正三角形， 所以，. 以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系， ， 得，， 所以. 【小问2详解】 ， 又因为，，三点共线，所以，解得. ， ，解得， 【小问3详解】 法一：点为中点，因为， 所以以为直径的圆与圆外切. 因为圆周角大于圆外角， 所以的最大值为，即的最小值为0. 法二：设， 且如（1）所建平面直角坐标系，则， ，. 当时，取到最小值0， 所以的最小值为0. 19. 如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E为AD中点， （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点F为对角线AC上的点，且，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值. 【答案】（1） ，， 则，， 又，，平面， 平面，平面， 平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得； （2）面面垂直的性质定理平面，线面垂直的判定定理得平面，平面，线面平行的判定定理得平面，作垂足为，由等面积法得求出可得答案； （3）作平面，在平面作交于点，设线交线于点，由线面垂直的判定定理得平面，得，，求出可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 侧棱，点E为AD中点.，，， 为正三角形，取中点，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 平面，所以，， 在边上取，连接，可得四边形是长方形， 可得，又，平面， 所以平面，作，垂足为，平面， ，， 又，平面， 平面，且， 又，平面，平面， 平面， 所以点到平面的距离，且点的投影在内， 在中，，，由余弦定理得， 作垂足为，由等面积法得， 所以二面角的大小的正弦值 ，； 【小问3详解】 作平面， 则，为在平面内的射影， 所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，平面， 平面， 设线交线于点， 则，又，，平面， 平面，平面，得， ，， 又因为， 所以与平面所成的最大角的正弦值为， 当点为线与的交点时取到最大角. 【点睛】方法点睛：求二面角的方法：1.概念法，概念法指的是利用概念直接解答问题；2.空间变换法，空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法；3.空间向量法.  第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙东北联盟（ZDB）2023-2024学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题学校：浙江工业大学附属德清高级中学 命题老师：洪裕祥 审卷老师：章幸伟 总分150分 考试时间120分钟 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知一个正方体的外接球的体积为，则这个正方体的体积为（ ） A. 3 B. C. D. 8 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 若两个非零向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B，A，D三点共线，设点P是内的任意一点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（ ） A. 0 B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为2，是线段的中点，是线段的中点，是线段上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 可能是直角 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的周长的最小值为 非选择题部分 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______. 13. 已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______. 14. 已知向量，，满足，，，，则的取值范围为______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）求满足的实数x，y的值； （2）若，求实数x的值. 16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是BC、的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，. （1）求的值； （2）若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件） 18. 如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量，求实数x，y的值； （3）若向量与的夹角为，求的最小值. 19. 如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E为AD中点， （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点F为对角线AC上的点，且，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $