内蒙古自治区 通辽市2023-2024学年 八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每题3分，计30分） 1．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x＞3 D．x≥0且x≠3 A．x＞1 B．x≥1 C．x＝1 D．x≤1 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 4．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（　　） A．2.2 B． C．1+ D． 5．（3分）四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AD∥BC C．AB＝CD D．对角线互相平分 6．（3分）已知一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据4，得到一组新的数据，这组新的数据的统计量会发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 8．（3分）一次函数y＝x﹣4的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，则线段EF的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 10．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+3与正比例函数y＝﹣2x，下列说法正确的是（　　） A．y＝﹣2x+3的图象向下平移3个单位长度可得到y＝﹣2x的图象 B．y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、三象限 C．两个函数中，y的值均随着x值的增大而增大 D．y＝﹣2x+3的图象经过点（﹣2，3） 二．填空题．（本大题满分15分，共5小题，每小题3分） 11．（3分）已知二次根式的值为4，则x＝　 　． 12．（3分）甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为9.5米，方差分别为，则成绩比较稳定的是 　 　（填“甲”或“乙”）． 13．（3分）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则中间小正方形的对角线长为 　 　． 14．（3分）如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 　 　． 15．（3分）若（﹣7，y1）、（﹣3，y2）是直线y＝﹣2024x+b上的两点，则y1　 　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 三．解答题．（本大题满分55分，共7小题） 16．（5分）计算：÷﹣×+． 17．（6分）某农场要建一个如图所示的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长26m），另三边用木栏围成，木栏长40m，并且要留一个1m宽的小门（小门用其它材料）．若这个长方形鸡场垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为y m，则y随x的变化而变化． （1）在这个问题中，自变量是 　 　，因变量是 　 　； （2）写出y与x的关系式； （3）老板想建一个垂直于墙的边长为7m长方形鸡场，通过计算判断是否合理？ 18．（6分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市部分教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了统计表： 组别 步数 频数 频率 1 0≤x＜4000 6 a 2 4000≤x＜84000 14 0.28 3 8000≤x＜12000 15 b 5 12000≤x＜16000 10 0.2 6 16000≤x＜20000 c 0.06 7 20000≤x＜24000 2 0.04 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的教师人数为 　 　人，a＝　 　； （2）这组数据的中位数落在第 　 　组内； （3）本市约有2000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？ 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16． ①求∠BOA的度数； ②求四边形ABCD的面积． 20．（8分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 21．（10分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠EAD＝90°，△ADE绕着顶点A旋转． （1）如图1，若D点恰好落在BC边上，连接CE． ①求证：BD＝CE； ②若G为AC中点，连接GE，当点D在直线BC上运动时，若AC＝10，求线段GE的最小值； （2）若D不在BC边上，DE交AC于点F，且AB＝10，AD＝6．当△CEF是直角三角形时，求BD长．（图2，图3是备用图） 22．（12分）如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AC交x轴于点C，△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处． （1）求点C的坐标； （2）如图2，直线AC上的两点E，F，△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标； （3）如图3，若OD交AC于点G，在线段AB上是否存在一点H，使△ADC与△AGH的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由． 2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本大题共10小题，每题3分，计30分） 1．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x＞3 D．x≥0且x≠3 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：要使代数式有意义， 则x﹣3≠0，x≥0， 解得，x≥0且x≠3， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【解答】解：，不能合并，故A错误，不符合题意； ﹣＝2﹣＝，故B正确，符合题意； ＝3，故C错误，不符合题意； ÷＝，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 3．（3分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示： 则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米， 在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米， 由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米）， ∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米）， ∴CD＝BE＝1.6米， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（　　） A．2.2 B． C．1+ D． 【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝， 故弧与数轴的交点C表示的数为：． 故选：B． 【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键． 5．（3分）四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AD∥BC C．AB＝CD D．对角线互相平分 【分析】由题中结论可得四边形ABCD是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴可得四边形ABCD是平行四边形， ∴B、C、D均正确， 而A选项∠A+∠B＝180°，但并不一定∠A＝∠B，故该选项错误，符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握一行四边形的性质是解答本题的关键． 6．（3分）已知一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据4，得到一组新的数据，这组新的数据的统计量会发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、标准差求解即可． 【解答】解：原数据的3，4，4，5，的平均数为＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（3﹣4）2+（4﹣4）2×2+（5﹣4）2]＝0.5； 新数据3，4，4，4，5的平均数为＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（3﹣4）2+（4﹣4）2×3+（5﹣4）2]＝0.4； 故选：D． 【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 【分析】由矩形的性质分析每个选 项，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，， ∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD不一定成立，AC＝BD，一定成立，AB＝AD一定不成立， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．（3分）一次函数y＝x﹣4的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据k，b的符号判断一次函数y＝x﹣4的图象所经过的象限． 【解答】解：由题意，得：k＞0，b＜0，故直线经过第一、三、四象限．即不经过第二象限． 故选：B． 【点评】此题考查一次函数的性质，能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限． 9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，则线段EF的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝3，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF＝∠DFB，得到DF＝DB＝2，计算即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，DB＝AB＝2， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴DF＝DB＝2， ∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 10．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+3与正比例函数y＝﹣2x，下列说法正确的是（　　） A．y＝﹣2x+3的图象向下平移3个单位长度可得到y＝﹣2x的图象 B．y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、三象限 C．两个函数中，y的值均随着x值的增大而增大 D．y＝﹣2x+3的图象经过点（﹣2，3） 【分析】根据平移规律、一次函数的性质及函数图象上点的坐标特征对各选项依次作出判断即可． 【解答】解：A．y＝﹣2x+3的图象向下平移3个单位长度可得到y＝﹣2x+3﹣3，即y＝﹣2x的图象，故此选项符合题意； B．对于一次函数y＝﹣2x+3 ∵﹣2＜0，3＞0， ∴y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； C．对于一次函数y＝﹣2x+3与正比例函数y＝﹣2x， ∵﹣2＜0， ∴两个函数中，y的值均随着x值的增大而减小，故此选项不符合题意； D．对于一次函数y＝﹣2x+3， 当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+3＝7， ∴y＝﹣2x+3的图象不经过点（﹣2，3），故此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是熟知一次函数的性质． 二．填空题．（本大题满分15分，共5小题，每小题3分） 11．（3分）已知二次根式的值为4，则x＝　5　． 【分析】根据二次根式的值为4得出3x+1＝16，再求出x即可． 【解答】解：∵二次根式的值为4， ∴3x+1＝16， ∴x＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出3x+1＝16是解此题的关键． 12．（3分）甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为9.5米，方差分别为，则成绩比较稳定的是 　乙　（填“甲”或“乙”）． 【分析】根据方差的意义求解即可． 【解答】解：∵， ∴S甲2＞S乙2， ∴成绩比较稳定的是乙， 故答案为：乙． 【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 13．（3分）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则中间小正方形的对角线长为 　　． 【分析】根据题意可知：中间小正方形的边长为4﹣3＝1，然后根据勾股定理即可得到中间小正方形的对角线的长． 【解答】解：由题意可得， 中间小正方形的边长为4﹣3＝1， ∴中间小正方形的对角线长为＝， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14．（3分）如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 　菱形　． 【分析】根据题意可以得到AD∥BC，AB∥DC，从而可以判断四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质，可以得到AD＝AB，从而可以判定四边形ABCD是菱形． 【解答】解：由题意可得， AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 作DE⊥BA交BA的延长线于点E，作BF⊥DA交DA的延长线于点F，如图所示， 则∠AED＝∠BFA＝90°，AF＝DE， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠FBA， 在△AED和△BFA中， ∴△AED≌△BFA（AAS）， ∴AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：菱形． 【点评】本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 15．（3分）若（﹣7，y1）、（﹣3，y2）是直线y＝﹣2024x+b上的两点，则y1　＞　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【分析】利用一次函数的增减性判断即可． 【解答】解：在一次函数y＝﹣2024x+b中， ∵k＝﹣2024＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵﹣7＜3， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 三．解答题．（本大题满分55分，共7小题） 16．计算：÷﹣×+． 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：原式＝﹣+4 ＝2﹣3+4 ＝6﹣3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17．（6分）某农场要建一个如图所示的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长26m），另三边用木栏围成，木栏长40m，并且要留一个1m宽的小门（小门用其它材料）．若这个长方形鸡场垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为y m，则y随x的变化而变化． （1）在这个问题中，自变量是 　垂直于墙的边长x　，因变量是 　平行于墙的边长y　； （2）写出y与x的关系式； （3）老板想建一个垂直于墙的边长为7m长方形鸡场，通过计算判断是否合理？ 【分析】（1）根据自变量与因变量的定义作答即可； （2）根据“长方形三边长度为40m”写出x与y的数量关系式并将y表示为x的函数即可； （3）将x＝7代入（2）中求得的函数关系式，求出对应y的值并与26相比较即可得出结论． 【解答】解：（1）在这个问题中，自变量是垂直于墙的边长x，因变量是平行于墙的边长y． 故答案为：垂直于墙的边长x，平行于墙的边长y． （2）根据题意，得2x+y﹣1＝40，即y＝﹣2x+41， ∴y与x的关系式为y＝﹣2x+41． （3）当x＝7时，得y＝﹣2×7+41＝27， ∵27＞26， ∴不合理． 【点评】本题考查函数关系式、常量与变量，掌握自变量与因变量的定义、根据题意写出函数关系式并根据自变量求函数值是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，面同意，不得复制发布日期：2024/6/26 22:45:23；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：2740524 18．（6分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市部分教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了统计表： 组别 步数 频数 频率 1 0≤x＜4000 6 a 2 4000≤x＜84000 14 0.28 3 8000≤x＜12000 15 b 5 12000≤x＜16000 10 0.2 6 16000≤x＜20000 c 0.06 7 20000≤x＜24000 2 0.04 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的教师人数为 　50　人，a＝　0.12　； （2）这组数据的中位数落在第 　8000≤x＜12000　组内； （3）本市约有2000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？ 【分析】（1）用10除以0.2可得总人数，频率＝频数÷总数可得求得a的值； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案． 【解答】解：（1）本次调查的教师人数为（人），， 故答案为：50，0.12； （2）∵本次调查的教师人数为50人， ∴中位数等于第25及第26个数的平均数， ∴这组数据的中位数落在第8000≤x＜12000组内， 故答案为：8000≤x＜12000； （3）2000×（0.2+0.06+0.04）＝600， ∴估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有600名． 【点评】本题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率＝频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16． ①求∠BOA的度数； ②求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）证△ADO≌△CBO（ASA），得AD＝BC，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）①由勾股定理得逆定理得△AOD是直角三角形，∠ADO＝90°，即可得出结论； ②由平行四边形的性质得BD＝2OD＝10，再由平行四边形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC．， ∴∠DAO＝∠BCO， 在△ADO和△CBO中， ， ∴△ADO≌△CBO（ASA）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）解：①∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，OB＝BD＝8， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形， ∴∠BOA＝90°； ②由①可知，AC垂直平分BD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2OA＝12， ∴S四边形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20．（8分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】（1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于这个字母的函数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量． 【解答】解：（1）设甲、乙两种水果的进价分别是x元和y元． 根据题意，得， 解得， ∴甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元． （2）设购进甲水果m千克，那么购进乙水果（300﹣m）千克， m≥2（300﹣m）， 解得m≥200， 根据题意，售完这两种水果获得的总利润w＝（6﹣4）m+（9﹣6）（300﹣m）＝﹣m+900， ∵﹣1＜0， ∴w随m的减小而增大， ∴当m＝200时，w最大，此时w＝﹣200+900＝700， 300﹣200＝100（千克）， ∴水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元． 【点评】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本题的关键． 21．（10分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠EAD＝90°，△ADE绕着顶点A旋转． （1）如图1，若D点恰好落在BC边上，连接CE． ①求证：BD＝CE； ②若G为AC中点，连接GE，当点D在直线BC上运动时，若AC＝10，求线段GE的最小值； （2）若D不在BC边上，DE交AC于点F，且AB＝10，AD＝6．当△CEF是直角三角形时，求BD长．（图2，图3是备用图） 【分析】（1）①由∠CAB＝∠EAD＝90°，得∠CAE＝∠BAD，又AE＝AD，AC＝AB，故△CAE≌△DAB（SAS），即得BD＝CE； ②由△CAE≌△DAB，得∠ECA＝∠DBA＝45°，知EC⊥CB，即E的轨迹是过C与BC垂直的一条直线，故当EG⊥EC时，GE最小，此时△GCE是等腰直角三角形，从而得EG＝CG＝×5＝； （3）证明△CAE≌△DAB（SAS），可得BD＝CE；分两种情况：①当∠CFE＝90°时，证明△AEF是等腰直角三角形，可得AF＝EF＝＝6，从而CF＝AC﹣AF＝4，故BD＝CE＝＝2； ②当∠CEF＝90°时，过A作AH⊥DE于H，证明B、D、F共线，求出DE＝AD＝12，AH＝DH＝DE＝6，可得BH＝＝8，从而BD＝BH﹣HD＝2． 【解答】（1）①证明：∵∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∵AE＝AD，AC＝AB， ∴△CAE≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE； ②解：如图： 由①知△CAE≌△DAB， ∴∠ECA＝∠DBA＝45°， ∴∠ECB＝∠ECA+∠ACB＝90°， ∴EC⊥CB， ∴E的轨迹是过C与BC垂直的一条直线， ∴当EG⊥EC时，GE最小，此时△GCE是等腰直角三角形， ∴EG＝CG， ∵G为AC中点，AC＝10， ∴CG＝CG， ∴EG＝×5＝， ∴GE最小值为； （3）解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∵AE＝AD，∠CAE＝∠BAD，AC＝AB ∴△CAE≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE； ①当∠CFE＝90°时，如图， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AEF＝45°， ∵AF⊥DE， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF＝EF＝＝6， ∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4， ∴BD＝CE＝＝＝2； ②当∠CEF＝90°时，过A作AH⊥DE于H，如图， ∵∠AED＝45°， ∴∠AEC＝∠AED+∠CEF＝135°， ∵△CAE≌△DAB， ∴∠CEA＝∠BDA＝135°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADE+∠BDA＝180°， ∴B、D、F共线， ∵△ADE是等腰直角三角形，AD＝6，AH⊥DE， ∴DE＝AD＝12，AH＝DH＝DE＝6， ∴BH＝＝＝8， ∴BD＝BH﹣HD＝8﹣6＝2， 综上所述，BD的长为2或2． 【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 22．（12分）如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AC交x轴于点C，△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处． （1）求点C的坐标； （2）如图2，直线AC上的两点E，F，△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标； （3）如图3，若OD交AC于点G，在线段AB上是否存在一点H，使△ADC与△AGH的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）在Rt△BCD中，BC＝8﹣x，CD＝x，BD＝10﹣6＝4，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3，即可求解； （2）证明△EMB≌△BNF（AAS），则EM＝m+8＝BN＝﹣2n﹣6且BM＝2m+6＝FN＝n+8，解得：m＝﹣2，即可求解； （3）过点C作CH∥OD，则△DGH和△DGC面积相等，而△ADC与△AGH的面积相等，故点H为所求点，即可求解． 【解答】解：（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，6）、（﹣8，0），则AB＝10， ∵△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处， 故设CD＝x＝OC， 则Rt△BCD中，BC＝8﹣x，CD＝x，BD＝10﹣6＝4， 由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2， 即（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3， 即点C（﹣3，0）； （2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+6， 过点B作y轴的平行线交过点E和x轴的平行线于点M，交过点F和x轴的平行线于点N，如图2， 设点E、F的坐标分别为：（m，2m+6）、（n，2n+6）， ∵△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则BE＝BF，∠EBF＝90°， ∵∠EBM+∠FBN＝90°，∠FBN+∠BFN＝90°， ∴∠MBE＝∠BFN， ∵∠EMB＝∠BNF＝90°， ∴△EMB≌△BNF（AAS）， ∴EM＝m+8＝BN＝﹣2n﹣6且BM＝2m+6＝FN＝n+8， 解得：m＝﹣2， 即点E（﹣2，2）； （3）如图3， ∵S△BCD＝×CD•BD＝BC•yD， 即3×4＝5yD，则yD＝， 则点D（﹣，）； 由点D的坐标得，直线OD的表达式为：y＝﹣x， 过点C作CH∥OD，交AB于点H， 则△DGH和△DGC面积相等， 而△ADC与△AGH的面积相等， 故点H为所求点， 则CH的表达式为：y＝﹣（x+3）， 联立上式和直线AB的表达式得：x+6＝﹣（x+3）， 解得：x＝﹣6， 即点H（﹣6，）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行线的性质、面积的计算，用平行线的方法确定三角形面积关系是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/26 22:25:55；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$