安徽省安庆市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024年学年度第二学期期末综合素质调研 八年级数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题分，满分40分） 1．下列各式运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．，， D．9，40，41 3．函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞﹣3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0 4．过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（　　） A．六 B．七 C．八 D．九 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣b＝0的一个解是x＝﹣1，则方程的另一个解为（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 6．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，MN经过AC中点O分别交AB、CD于点M、N，连接AN、CM，则下列结论错误的是（　　） A．四边形AMCN为平行四边形 B．当AM＝4.8时，四边形AMCN为矩形 C．当AM＝5时，四边形AMCN为菱形 D．四边形AMCN不可能为正方形 7．若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．8或10 8．如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为2，3，4，四个正方形的面积从左到右依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．13 B．20 C．25 D．29 9．已知三个实数a，b，c满足a﹣6b+9c＝0，a+6b+9c＜0，则（　　） A．b＜0，b2﹣ac≥0 B．b＜0，b2﹣ac≤0 C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＞0，b2﹣ac≤0 10．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（　　） A．4 B． C． D．3 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11．一个多边形的内角与外角的和是1440°，那么这个多边形是 　 　边形． 12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝125°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　 　°． 13．已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，则这组数据的平均数为 　 　． 15．如图，正方形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF∥AC，PE+PF＝m，则（1）m的最小值为　 ；（2）若m的值为10，则BE＝　 。 三．解答题（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：+（﹣1）2024﹣（π﹣）0﹣+． 16．解方程：2x2﹣7x﹣4＝0（配方法解）． 四．解答题（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，C均为格点（网格线的交点）． （1）若以AC为对角线，请在网格中画出一个菱形ABCD（点B，D都在正方形网格的格点上）； （2）你所画出的菱形ABCD的面积是 　 　． 18．观察下列各式： ＝1+…① ＝1+…② ＝1+…③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律＝　 ； （2）计算+++…+． 五．解答题（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠OBC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形OBEC的面积． 20．安庆市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2022年的单价是100元，现在的单价为81元． （1）求2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率． （2）购买期间发现该品牌足球在A，B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场9折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠． 六．解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分） 21．共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随取随用的共享单车，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如图表： 根据以上表格信息，解答下列问题： （1）这组数据的中位数是 　 　；众数是 　 　 （2）这部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？ （3）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有多少人？ 22．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“如意数”． （1）已知一个“如意数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　 　； （2）利用（1）中“如意数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 七．（本题满分14分） 23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝15cm，BC＝12cm，点P从点B出发，沿线段BA，向点A以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿线段DC向点C以3cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）． （1）连接P、Q两点，则线段PQ长的取值范围是　 　． （2）当PQ＝15时，求t的值． （3）在线段CD上有一点E，QE＝3，连接AC和PE，请问是否存在某一时刻使得AC平分PE，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/27 2:一．选择题（本大题共10小题，每小题分，满分40分） 1．下列各式运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．＝故此选项不符合题意； B．（-）2＝2，故此选项不合题意； C．﹣＝﹣2，故此选项合题意； D．＝2，故此选项不合题意． 故选：C． 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．，， D．9，40，41 【解答】解：A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； B、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、92+402＝412，是勾股数，符合题意． 故选：D． 3．函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞﹣3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0 【解答】解：由题意得： x+3≥0且x≠0， 解得：x≥﹣3且x≠0， 故选：D． 4．过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（　　） A．六 B．七 C．八 D．九 【解答】解：设多边形的边数是n， 由题意得：n﹣3＝4， ∴n＝7． ∴这个多边形的边数是七． 故选：B． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣b＝0的一个解是x＝﹣1，则方程的另一个解为（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 【解答】解：设方程的另一个解为t， 根据题意得﹣1+t＝2， 解得t＝3． 故选：A． 6．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，MN经过AC中点O分别交AB、CD于点M、N，连接AN、CM，则下列结论错误的是（　　） A．四边形AMCN为平行四边形 B．当AM＝4.8时，四边形AMCN为矩形 C．当AM＝5时，四边形AMCN为菱形 D．四边形AMCN不可能为正方形 【解答】解：∵AC⊥BC，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CAM＝∠ACN， 在△AOM与△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴AM＝CN， 又AM∥CN， ∴四边形AMCN为平行四边形， 故选项A结论正确，不符合题意； 假设当AM＝4.8时，四边形AMCN为矩形，那么∠AMC＝90°， ∴S△ABC＝AB•CM＝AC， ∴CM＝＝＝4.8， ∴AC＝＝≠6， ∴假设不成立，即当AM＝4.8时，四边形AMCN不是矩形， 故选项B结论错误，符合题意； ∵AM＝5，AB＝10， ∴M为斜边AB的中点， ∴CM＝AM＝AB， ∴▱AMCN为菱形， 故选项C结论正确，不符合题意； 当MN⊥BC时，▱AMCN为菱形，此时M为斜边AB的中点， ∵O为AC中点， ∴OM＝BC＝4≠3＝OA， ∴菱形AMCN的对角线不相等， ∴四边形AMCN不可能为正方形， 故选项D结论正确，不符合题意； 故选：B． 7．若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．8或10 【解答】解：方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2， 因为2+2＝4， 所以三角形三边为4、4、2， 所以△ABC的周长为10． 故选：B． 8．如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为2，3，4，四个正方形的面积从左到右依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．13 B．20 C．25 D．29 【解答】解：观察发现， ∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°， ∴∠BAC＝∠EBD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴BC＝ED， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2， 即S1+S2＝4， 同理S3+S4＝16． 则S1+S2+S3+S4＝4+16＝20． 故选：B． 9．已知三个实数a，b，c满足a﹣6b+9c＝0，a+6b+9c＜0，则（　　） A．b＜0，b2﹣ac≥0 B．b＜0，b2﹣ac≤0 C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＞0，b2﹣ac≤0 【解答】解：∵a﹣6b+9c＝0， ∴a+9c＝6b，b＝， ∵a+6b+9c＜0， ∴12b＜0． ∴b＜0． ∵b＝， ∴b2﹣ac＝（）2﹣ac＝﹣ac＝＝≥0． 故选：A． 10．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（　　） A．4 B． C． D．3 【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD为菱形，△AEF为正三角形， ∴∠1+∠EAC＝∠BAD＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝∠D＝60°， 又∵AB＝CB＝AD＝CD， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠4＝60°，AC＝AB， ∴在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴S△ABE＝S△ACF， ∴S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC是定值， 作AH⊥BC于H点，则BH＝AB＝3，AH＝AB＝3， ∴S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×6×＝9， 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短， ∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大， ∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝9﹣＝． 故选：C． 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11．一个多边形的内角与外角的和是1440°，那么这个多边形是 　八　边形． 【解答】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：（n﹣2）•180°+360°＝1440°， 解得：n＝8， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝125°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　235 　°． 【解答】解：如图， ∵AD∥BC，∠C＝125°， ∴∠D＝180°﹣125°＝55°， ∴∠3+∠4＝125°， ∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°， ∴∠1+∠2＝2×180°﹣125°＝235°． 故答案为：235． 13．已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，则这组数据的平均数为 　 4 　． 【解答】解：∵这一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1， ∴1+3+x+5+6＝5（x﹣1）， 解得x＝5， ∴这组数据的平均数为x﹣1＝4， 故答案为：4． 15．如图，正方形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF∥AC，PE+PF＝m，则（1）m的最小值为　 8 ；（2）若m的值为10，则BE＝　 2或7 。 （1）【解答】解：作点E关于AC的对称点E′，连接EE′，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴点E′在AD上， ∵点P在对角线AC上， ∴PE＝PE′， ∴当点E，P，E′在一条直线上时，PE+PF＝m取得最小值． ∵EF∥AC， ∴∠BEF＝∠BAC＝45°， ∴△BEF为等腰直角三角形， ∴BE＝BF． ∴点E，P，E′在一条直线上，PE+PF＝m取得最小值，这时，四边形ABFE′为矩形， ∴PE+PF＝m＝E′F＝AB＝8， ∴若BE＝2，则m的最小值为8， （2）若m的最小值为10，设BE＝x，则AE＝AE′＝8﹣x， ∴， ∴x＝2或7， ∴BE＝2或7． 三．解答题（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：+（﹣1）2024﹣（π﹣）0﹣+． 【解答】解：原式＝4+1﹣1﹣2+5 ＝7； 16．解方程：2x2﹣7x﹣4＝0（配方法解）． 【解答】解：由原方程，得 x2﹣x＝2， x2﹣x+＝， （x﹣）2＝， 解得x1＝4，x1＝． 四．解答题（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，C均为格点（网格线的交点）． （1）若以AC为对角线，请在网格中画出一个菱形ABCD（点B，D都在正方形网格的格点上）； （2）你所画出的菱形ABCD的面积是 　 　． 【解答】解：如图： （1）菱形ABCD即为所求； （2）×2×2＝10， 故答案为：10． 18．观察下列各式： ＝1+…① ＝1+…② ＝1+…③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律＝　 1+ ； （2）计算+++…+． 【解答】解：（1）根据规律可知， ＝1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得， 原式＝1++1++1++…+1+ ＝2023+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣） ＝2023+（1﹣） ＝2023， 五．解答题（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠OBC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形OBEC的面积． 【解答】（1）证明：∵∠BOC+2∠DBC＝180°，∠BOC+∠DBC+∠ACB＝180°， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，∠AOB＝60°，AB＝2， ∴△OAB是边长为2的等边三角形， ∴∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝4，， ∵BE∥AC， ∴S四边形OBEC＝S△ABC＝AB•BC＝×2×＝2； ∴四边形OBEC的面积为； 20．安庆市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2022年的单价是100元，现在的单价为81元． （1）求2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率． （2）购买期间发现该品牌足球在A，B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场9折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠． 【解答】解：（1）设2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x， 依题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：2022年到现在年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%． （2）100×＝≈90.91（个），90+1＝91（个）， 在A店购买所需费用为81×91＝7371（元）， 在B店购买所需费用为81×100×0.9＝7290（元）． ∵7371＞7290， ∴去B店购买足球更优惠． 六．解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分） 21．共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随取随用的共享单车，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如图表： 根据以上表格信息，解答下列问题： （1）这组数据的中位数是 　3　；众数是 　2　 （2）这部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？ （3）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有多少人？ 【解答】解：（1）调查的总人数为5+7+12+14+9+3＝50人， 将调查的50人共享单车的使用次数从小到大排列，第25个和第26个数都是3，所以中位数为＝3， 使用次数最多的是2次，共出现14人，因此众数是3， 故答案为：3，3； （2）（次）， 答：这部分出行学生平均每人使用共享单车约2.6次； （3）2000×＝520（人）， 答：估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有520人． 22．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“如意数”． （1）已知一个“如意数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　b2﹣4ac＝0　　； （2）利用（1）中“如意数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是如意数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0； 故答案为：b2﹣4ac＝0； （2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根， ∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0， 将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0， ∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根， ∴m＝，即mn＝1； 故答案为：mn＝1． （3）∵m+n＝﹣2，mn＝1， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∵b2＝4ac， ∴（a+c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 故答案为：121，242，363，484． 七．（本题满分14分） 23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝15cm，BC＝12cm，点P从点B出发，沿线段BA，向点A以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿线段DC向点C以3cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）． （1）连接P、Q两点，则线段PQ长的取值范围是　 　． （2）当PQ＝15时，求t的值． （3）在线段CD上有一点E，QE＝3，连接AC和PE，请问是否存在某一时刻使得AC平分PE，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是直角梯形， P、Q两点在运动过程中，当点P在点B处，点Q在点D处时，PQ的长即BD的长最大， 当PQ⊥CD时，即四边形CBPQ是矩形时，PQ的长最小，此时，PQ＝BC＝12cm， 过点A作AE⊥CD于E，如图1所示： 则四边形ABCE是矩形， ∴CE＝AB＝15cm，AE＝BC＝12cm， ∴ED＝＝9（cm）， ∴CD＝CE+ED＝15cm+9cm＝24cm， ∴BD＝＝12（cm）， ∴线段PQ长的取值范围是：12≤PQ≤12， 故答案为：12≤PQ≤12； （2）∵两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动， ∴t≤5， 过点P作PF⊥CD于F，如图2所示： 则四边形CBPF是矩形， ∴PF＝BC＝12cm， FQ＝＝9（cm）， ∴24﹣3t﹣2t＝9或3t+2t＝24+9， 解得：t＝3或t＝； （3）存在某一时刻使得AC平分PE； 当AC平分PE时，四边形CPAE是平行四边形，即AP＝CE，如图3所示： ∵QE＝3， ∴15﹣2t＝24﹣3t﹣3或15﹣2t＝24﹣3t+3， 解得：t＝6或t＝9（不合题意舍去）， ∴当t＝6s时，AC平分PE． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$