精品解析：江苏省宜兴市丁蜀学区2023-2024年八年级下学期第二次课堂练习数学试题

2023-2024学年第二学期初二数学第二次课堂练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，然后解不等式即可． 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 3. 已知，是反比例函数图像上的两个点，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查比较反比例函数值的大小．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 4. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 抛出的篮球会落下 B. 买一张彩票，中1000万大奖 C. 14人中至少有2人是同月出生 D. 从装有红球、白球的袋中摸出黑球 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐—判断即可解答． 【详解】解：A、抛出的篮球会落下，是必然事件，故A不符合题意； B、买一张彩票，中1000万大奖，是随机事件，故B符合题意； C、14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，故C不符合题意； D、从装有红球、白球的袋中摸出黑球，是不可能事件，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 每条对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质和矩形的性质即可解答． 【详解】解：∵菱形和矩形都有对角相等的性质， 故项不符合题意； ∵菱形有每条对角线平分一组对角，矩形不具有每条对角线平分一组对角， 故项符合题意， ∵菱形和矩形都有对角线互相平分， 故项不符合题意； ∵菱形和矩形都有对边平行且相等， 故项不符合题意； 故选 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键． 6. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 7. 小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店． A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，必须能够确定平行四边形的大小和形状，根据平行四边形的判定即可判断． 【详解】A、①②只能确定平行四边形的形状，还能确定一组对边的大小，但另一组对边的大小无法确定，故不符合题意； B、②④两块两个角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边延长线的交点就是平行四边形的顶点，所以能确定平行四边形的四个顶点，因而能确定其大小和形状，故符合题意； C、②③只能确定平行四边形的形状，还能确定一组对边的大小，但另一组对边的大小无法确定，故不符合题意； D、①③只能确定平行四边形的形状，无法确定两组对边的大小，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是理解确定一个平行四边形，既要考虑形状，又要考虑大小，两者同时确定了才可确定一个平行四边形． 8. 如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先证四边形是平行四边形，得出，推出，由勾股定理求出，设，则，再由折叠的性质得，，，，，，得出，，，求出，然后由勾股定理求出，最后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ， 由折叠性质得：，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 在中，， 设，则， 由折叠的性质得：，，，，，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， 故选：B． 9. 如图，平面直角坐标系中的顶点在原点，点坐标是，直线将分成面积相等的两部分，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，与相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得，由为的中点得到相似三角形的相似比为，可得为的中点，由的坐标得到与的长，又为三角形的中位线，根据中位线定理得到为的一半，求出的长，由为的一半，求出的长，确定出的坐标，把的坐标代入直线方程中，得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：连接、，与相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，， 四边形为平行四边形， ，即， 轴，轴， ， ， ，， ， ， 即为的中点， 为的中位线， ，， ， 直线将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线经过点， 将代入得：． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形中位线定理，其中根据题意得出直线过平行四边形的中心是解本题的关键． 10. 如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的变化而变化．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得，，则，由旋转得，，可证明，得，所以，可判断①正确；由，，求得，则，可判断②正确；由，求得，，可判断③错误；连接，作于点，则，由，点为的中点，得，则，求得，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直角三角形， 故①正确； ，， ， ， 故②正确； ，且，，， ， 解得，， 有两个实数，使得， 故③错误； 连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， 的面积不随着的变化而变化， 故④错误， 故选：B． 【点睛】此题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 12. 一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成4组，第组的频数分别为12、10、6、则第4组的频率为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出第4组的频数，再根据频率频数总数进行求解即可． 【详解】解：由题意知，第4组的频数为， ∴第4组的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求频率，正确求出第4组的频数是解题的关键． 13. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据解为正数，求出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 故答案为：且． 14. 已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝___________cm． 【答案】6 【解析】 【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得BC的值即可． 【详解】解：如图： ∵△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∵DE=3cm， ∴BC=2DE=6cm． 故答案为：6． 【点睛】本题重点考查了中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为和，则关于的不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案． 【详解】解：根据图像可得：关于x的不等式的解集是：x＜0或1＜x＜5， 故答案为：x＜0或1＜x＜5． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确数形结合是解题关键． 16. 如图，在中，，将将绕点A逆时针旋转得到，连接、，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，是解决本题的关键． 根据旋转的性质可得：，，进而可得，再根据，可得，由此结合可得，由此即可求的度数． 【详解】∵将将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，将沿EF对折，使点A落在点C处，点D的对应点为点H．若，，，则AE的长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证（ASA），从而可知，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值． 【详解】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G， 在▱ABCD中， ∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB， 由于▱ABCD沿EF对折， ∴ ∴， ∴， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴DF=EB，AE=CF， 设AE=x， 则EB=20-x，CF=x， ∵BC=10， ∠CBG=60°， ∴BG=BC=5， 由勾股定理可知：CG=， ∴EG=EB+BG=20-x+5=25-x， 在△CEG中， 由勾股定理可知：， 解得：x=AE=14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查平行四边形的综合问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，解题的关键是证明，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 18. 已知在矩形中，，，O为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为___________；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点M，连接，则的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作于点I，由，，得，，则，所以边上的高为；延长到点G，使，连接，由，得到，再求得，由三角形中位线定理得，因为，所以，由此求出的最大值. 【详解】解：作于点I， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴边上的高为； 延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵F、M分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：；. 【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键. 三、解答题（本题共8小题，共66分．） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法、化简，再合并同类二次根式即可； （2）将括号内化为同分母分式的减法计算，除法变乘法，利用平方差公式变形为，约分得出答案即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． （1）方程两边同时乘以即可求解； （2）方程两边同时乘以即可求解； 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程的解为： 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程无解 21. 如图，点、分别是菱形的边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质， （1）通过证明四边形是平行四边形，可得； （2）由菱形的性质可得，可求，由平行四边形的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， 又四边形是平行四边形， ． 22. 为了了解八年级学生体育训练的情况，某市从全市八年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把成绩结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将结果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次抽样测试的学生人数； （2）求扇形图中的度数，并把条形统计图补充完整； （3）该市八年级共有学生约2000名，如果全部参加这次体育测试，则测试等级为D级的约有多少人？ 【答案】（1）人 （2） 的度数是；补全条形图如图： （3）测试等级为的约有人 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图与扇形图的综合运用，以及用样本估计总体． （1）由扇形统计图知级占，由条形统计图知级人数为人，用除法即可求出； （2）级人，总人数为人，用除法可以求出级所占的百分比，圆周角为度，就可以求出的度数，求出C等级人数，补全条形图即可； （3）根据样本中级学生所占比例，估计九年级级的学生． 【小问1详解】 解：， 答：本次抽样测试的学生人数是人； 【小问2详解】 ， 答：扇形图中的度数是； C等级人数为：（人）， 【小问3详解】 （人）， 测试等级为的约有人． 23. 如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点成中心对称的； （2）在图2中． ①作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的； ②请直接写出：点到的距离为_________． 【答案】（1） 如图1中，即为所求． （2） ①如图2中，即为所求． ② 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）①利用数形结合的思想解决问题即可； ②判断出△ABC是直角三角形，利用等积法，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②过点B作于点D， ，，， ∵， ∴，且， ∴， 即， ∴点B到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查-旋转变换，勾股定理和逆定理，点到直线的距离等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 24. 为响应国家“双减”政策．提高同学们的创新思维，某中学开设了创新思维课程．为满足学生的需求，准备再购买一些型号和型号的电脑．如果分别用元购买、型号电脑，购买型号台数比型号少台、已知型号电脑的单价为型号的． （1）求两种型号电脑单价分别为多少元； （2）学校计划新建两个电脑室需购买台电脑，学校计划总费用不多于元，并且要求型电脑数量不能低于台，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【答案】（1）设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元； （2）购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】（1）设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，由分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台列出方程即可求解； （2）设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意可求与关系，并列出不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，根据题意，得： 解得， 经检验，是原方程的解并满足题意， 型号电脑进价为： 答：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元； 【小问2详解】 设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意得： 解得， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时费用最少，最少费用为， 台， 答：购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 25. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离； （3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标． 【答案】（1） （2）4 （3）， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）连接、，设平移后直线的解析式为，得出点， 根据直线平行直线，得出，根据点A、点B关于原点对称，得出点，根据，列出关于b的方程，解方程即可； （3）设，，，得出，，，分两种情况，当为边时，当为对角线时，分别求出m的值即可． 【小问1详解】 解：令一次函数中，则 解得：，即点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：连接、，如图所示： 设平移后直线的解析式为， ∴点， ∵直线平行直线， ∴， ∵的面积为16， ∵点A、点B关于原点对称， ∴点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线向上平移的距离为4． 【小问3详解】 解：设，，， 则， ， ， ①如图，当为边时，此时满足， 即：， 解得， ∴； ②如图，当为对角线时，此时满足， 即， 解得（舍去）， ∴； 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平移，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 26. 在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． （1）如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是 ； ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； （2）如图2，动点D，G分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式． 【答案】（1）①；②点的坐标为，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案； ②连接．证明，得出，设，则，由勾股定理可求出点坐标，证出，由可得出答案； （2）连接，设，则，设，则，解得．由梯形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 解：①∵正方形边长为 2 ，点的坐标为， ， ∵将沿直线折叠， ， 又 ∵， ， ， ∴点的坐标是， 故答案为：； ②如图，连接， ∵点是线段的中点， ， 由折叠的性质可得， 又 ∵， ， 在和中， ， ∴， ， 设点的坐标为，则， ， ， 在中，， ， 解得， ∴点的坐标为， ， ， 又， ， ， ， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设，则． 设，则， 在中，， ， 解得， ， 设，则， 在中，． 在中，， 由折叠可知垂直平分， ， ，即， 解得：， ， ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期初二数学第二次课堂练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 3. 已知，是反比例函数图像上的两个点，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 4. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 抛出的篮球会落下 B. 买一张彩票，中1000万大奖 C. 14人中至少有2人是同月出生 D. 从装有红球、白球的袋中摸出黑球 5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 每条对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对边平行且相等 6. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店． A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ 8. 如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中的顶点在原点，点坐标是，直线将分成面积相等的两部分，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的变化而变化．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 若分式的值为零，则x的值是______． 12. 一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成4组，第组的频数分别为12、10、6、则第4组的频率为 ___________． 13. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______． 14. 已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝___________cm． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为和，则关于的不等式的解集是________． 16. 如图，在中，，将将绕点A逆时针旋转得到，连接、，若，则的度数为_____． 17. 如图，将沿EF对折，使点A落在点C处，点D的对应点为点H．若，，，则AE的长为______． 18. 已知在矩形中，，，O为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为___________；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点M，连接，则的最大值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共66分．） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解分式方程 （1）； （2）． 21. 如图，点、分别是菱形的边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 为了了解八年级学生体育训练的情况，某市从全市八年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把成绩结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将结果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次抽样测试的学生人数； （2）求扇形图中的度数，并把条形统计图补充完整； （3）该市八年级共有学生约2000名，如果全部参加这次体育测试，则测试等级为D级的约有多少人？ 23. 如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点成中心对称的； （2）在图2中． ①作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的； ②请直接写出：点到的距离为_________． 24. 为响应国家“双减”政策．提高同学们的创新思维，某中学开设了创新思维课程．为满足学生的需求，准备再购买一些型号和型号的电脑．如果分别用元购买、型号电脑，购买型号台数比型号少台、已知型号电脑的单价为型号的． （1）求两种型号电脑单价分别为多少元； （2）学校计划新建两个电脑室需购买台电脑，学校计划总费用不多于元，并且要求型电脑数量不能低于台，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 25. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离； （3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标． 26. 在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． （1）如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是 ； ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； （2）如图2，动点D，G分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $