山东省青岛第五十八中学2024届高三下学期二模检测数学试题

第 1页（共 3页） 2024 年青岛五十八中高考二模检测 数学试题 2024 年 5 月 注意事项： 1.本试卷分第 I卷和第 II卷两部分.第 I卷为选择题，共 58分；第 II卷为非选择题，共 92分，满分 150分， 考试时间为 120分钟. 2.第 I卷共 2页，请将选出的答案标号（A､B､C､D）涂在答题卡上.第 II卷共 2页，将答案用黑色签字笔 （0.5mm）写在答题纸上. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 2{ | log 1}A x x  ， { | 2 } xB y y  ，则 ( ) A． A B   B． A B A C． A B R D． A B A 2．函数 f（x）＝ax﹣a（a＞0，a≠1）的零点为（ ） A．0 B．1 C．（1，0） D．a 3．已知向量 ＝（﹣1，2）， ＝（﹣3，1），则 在 上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线 y＝x2的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 5．2024年 1月 1日，第五次全国经济普查正式启动．甲、乙、丙、丁、戊 5名普查员分别去城东、城南、城西、城 北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（ ） A．36种 B．60种 C．96种 D．180种 6．秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果 阳性率为1.97%，但统计分析结果显示患病率为1%．医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的 居民其化验结果呈阳性的概率为 0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为 ( ) A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99 7．已知正数 a，b， c满足 1a cae blnb e lnc   ，则 a，b， c的大小关系为 ( ) A． c a b  B． c b a  C． a b c  D． a c b  8.．一只蜜蜂从蜂房 A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房 A只能爬到 1号 或 2 号蜂房，从 1 号蜂房只能爬到 2 号或 3 号蜂房以此类推，用 na 表示蜜蜂爬到 n号蜂房的方法数，则 2 2022 2024 2023 (a a a  ) A．1 B． 1 C．2 D． 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10次坐公交车和 骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为 7，11，8，12，8， 13，6，13，7，15（单位： )min ，10次骑自行车所花时间的均值为15min， 方差为 1．已知坐公交车所花时间 X 与骑自行车所花时间Y都服从正态分 布，用样本均值和样本方差估计 X ，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出 X 和Y的分布密度曲线如图所 示．若小明每天需在早上 8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是 ( ) A．坐公交车所花时间的均值为 10，方差为 3 B．若小明早上 7 :50之后出发，并选择坐公交车，则有 50%以上的可能性会迟到 C．若小明早上 7 : 42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上 7 : 47出发，则应选择坐公交车 11．已知函数 ( )f x 的定义域为 R，则下面判断正确的是 ( ) A．若 x R  ， ( 1) ( )f x f x  ，则函数 ( )f x 在 R上是增函数 B．若 1x ， 2x R ， 1 2 1 2| ( ) ( ) | | sin sin |f x f x x x  ，则函数 ( )f x 是奇函数 C．若 1x ， 2x R ， 1 2 1 2| ( ) ( ) | | sin sin |f x f x x x  ，则函数 ( )f x 是周期函数 D．若 1x ， 2 ( 1,1)x   且 1 2x x ， 1 2x x ， 1 2 1 2| ( ) ( ) | | sin sin |f x f x x x   ，则函数 ( ) sinf x x 在区间 ( 1,1) 上 单调递增，函数 ( ) sinf x x 在区间 ( 1,1) 上单调递减 11．平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线 C是到两定点 ， 的距离之积为常数 2的点的轨迹，设 P（m，n）是曲线 C上的点，给出下列结论，其中正确的 是（ ） A．曲线 C关于原点 O成中心对称 B．﹣1≤n≤1 C． D．△PF1F2周长的最小值为 第 2页（共 3页） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 13．已知复数 z满足 ( 2) 2 1z i z   ，则复数 (z  ． 14．已知 5 2 50 1 2 5(1 )x a a x a x a x      ，则 5 4 3 2 1 02 4 8 16 32a a a a a a      ． 15．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，若过点 2F 的直线与双曲线的左、右两支分别交 于 A， B两点，且 1 1| | | | 2 5AF BF  ．又以双曲线的顶点为圆心，半径为 2 2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则 双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列{an}满足 ，且 a1＝3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 ，数列{bn}的前 n项和为 Sn，若 Sn＜﹣2024，求 n的最小值． 16．（15分）已知函数 2( ) ln 1f x x ax x a     ． (1)证明曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线过原点； (2)讨论 ( )f x 的单调性； 17．（15分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，△PAD是等边三角形，且 BC∥AD，AB⊥AD，PB＝AB＝AD＝2BC，E 为 PD的中点． （1）证明：CE∥平面 PAB； （2）求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值． 18．（17分）已知椭圆C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F、 2F ，离心率为 1 2 ，经过点 1F且倾斜 角为 π0 2        的直线 l与椭圆交于A、 B两点（其中点A在 x轴上方）， 2ABF△ 的周长为 8． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，将平面 xoy沿 x轴折叠，使 y轴正半轴和 x轴所确定的半平面（平面 1 2AF F ）与 y轴负半轴和 x轴所确定 的半平面（平面 1 2BF F ）互相垂直． （i）若 π 3   ，求异面直线 1AF和 2BF 所成角的余弦值； （ii）是否存在 π0 2        ，使得 2ABF△ 折叠后的周长与折叠前的周长之比为 15 16 ？若存在，求 tan的值；若不 存在，请说明理由． 19．（17分）如图，在“原神”游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．若的角色活动祈愿池的祈愿规则 为：①每次祈愿获取五星角色的概率 0 0.006p  ；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定 通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设 X 表示在该祈愿池中连续祈愿直 至获取五星角色为止的祈愿次数． (1)求 X 的概率分布； (2)求 X 的数学期望（保留小数点后两位）． 参考数据： 900.994 0.582 ≈ ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/26 22:13:35；用户：？？？？？； 邮箱：orFmNt0TabhZizC1lMZgYzdTqGj0@weixin.jyeoo.com；学号：38791935