2025届高三高考数学一轮课时练习：三角函数新定义

2025届高三高考数学一轮课时练习： 三角函数新定义 一、单选题 1．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断二者大小 2．数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，则（    ） A． B． C． D． 3．对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．计算器是如何计算、、、、等函数值的?计算器使用的是数值计算法，如，，其中，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的和的值也就越精确，运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：． 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式，对于，我们有，可见也可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.（提示：）如图，在等腰中，已知，，且的外接圆半径，结合上述知识，可得（    ） A． B． C． D． 7．角的度量制有角度制（1度的角等于周角的），弧度制（1弧度的角就是长度等于半径长的弧所对的圆心角）.其实军事上角的度量还常用密位制，密位制的单位是密位.1密位等于圆周的所对的圆心角的大小，所以密位.密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如6密位写成0-06，478密位写成4-78.那么的角在密位制下的写法正确的是（    ） A．35-0 B．3-50 C．5-00 D．50-0 8．规定算法：，则等于（    ） A．-1 B． C． D．1 9．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（    ）． A． B． C． D． 10．如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题 11．设符号函数已知函数，则（     ） A．为的周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有6个零点 12．已知当时，有不等式成立.据此结论，下列各角满足不等式的有（    ） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是（  ） A．函数关于对称 B．函数关于对称 C．函数在单调递增 D．函数值域为 14．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（    ） A．函数在上是减函数 B．函数的最小正周期为 C． D． 三、填空题 15．我们规定把叫做对的余弦方差，那么对任意实数B，B对的余弦方差是 ． 16．已知定义在R上的函数不是常数函数，写出一个同时具有下列三个性质的一个函数 . ①；②；③. 17．设表示不超过实数的最大整数，则函数的最小值为 . 18．在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，，，把分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有 (填上所有正确的序号) ①； ②； ③的定义域为； ④； ⑤. 四、解答题 19．对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 20．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 21．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算，就得到.试用你的计算工具计算，并与上述结果比较. 22．已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数． (1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明； (3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值． 答案： 1．A 【分析】根据泰勒公式，将代入公式，直接计算近似值再比较即可. 【详解】由题意可知， ， 所以， 故选：A 2．A 【分析】利用新定义得出，然后结合换元法求出结果即可. 【详解】由， 得 ， 即， 整理得， 令，则， 解得， 因为，所以， ，所以. 故选：A 3．C 【分析】​​​​​​​利用“正切方差” 的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意，得 . 故选:C. 4．C 【分析】取代入公式中，直接计算取近似值即可． 【详解】. 故选：C. 5．D 【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果． 【详解】解：当甲：错误时，乙：正确， 此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0）， 或， ∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲； 甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0）， 此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误， ∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误， ∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，， 故丙正确，丁错误， 综上错误的同学是丁． 故选：D． 6．A 【分析】表示，根据，可以得到，然后计算得到，最后简单计算可得结果. 【详解】记的中点为， ， ，， ，所以 即，由，∴， ∴， 故选：A 7．C 【分析】利用密位定义把化简，即得解. 【详解】由已知得密位， 密位写成， 故选：C . 8．A 【分析】先求出、及的值，根据算法可求代数式的值. 【详解】，，， 故，故， 故选：A. 9．A 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．D 【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值． 【详解】因为在区间，上是“凸函数”， 所以 得 即：的最大值是 故选：D. 【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和． 11．ABD 【分析】根据新函数的定义化简函数，然后利用图象即可判断. 【详解】由题意，画出函数的部分图象， 如图所示：      因为，则为的周期，故A正确； 由图象知图象的对称轴方程为，故B正确； 在上先单调递增，再单调递减，故C错误； 函数在上的零点个数，转化为方程在上的解的个数， 转化为函数与的交点个数，由图知，函数与有6个交点， 所以，函数在上有6个零点，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义问题，解题的关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的图象与性质、函数零点等知识来判断各个选项. 12．BCD 【分析】分别将角代入，整理得到取值范围,进而考察与区间的关系，即可得出答案. 【详解】对于A项，由已知可得，， 即，不满足，故A错误； 对于B项，由已知可得，， 即. 因为，，所以， 所以有，故B正确； 对于C项，由已知可得，， 即，故C正确； 对于D项，由已知可得，， 即. 因为，，所以， 所以有，故D正确. 故选：BCD. 13．CD 【分析】正确理解“正余弦函数”的定义可知，然后利用辅助角公式化简，并逐一进行验证可得结果. 【详解】由题可知： 所以可知函数的值域为，故D正确 当时，，并没取到最值，故不关于对称，故A错误 当时，，故不关于对称，故B错误 当时，则，所以函数在单调递增，故C正确 故选：CD 14．AC 【分析】由余弦函数的单调性可判断A选项；验证得，可判断B选项；由定义的诱导公式可判断C选项；取，代入验证可判断D选项. 【详解】因为，而在上是增函数，所以函数在上是减函数，故A正确； 函数，所以，所以B错误； ，故C正确； 取，， ， 所以， 故D错误, 故选：AC. 【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题. 15．/ 【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案. 【详解】依题意，B对的余弦方差是： . 故答案为： 16．（形式不唯一） 【分析】由联想得到，可设，由周期性确定，猜想的值代入检验可确定. 【详解】解:由， 得， 联想到， 可推测. 由， 得， 则， 设， 则，所以满足题意. 故答案为：.（不唯一） 17． 【分析】可得的一个周期为，只要考虑的取值情况，分段讨论求出的值即可求出最小值. 【详解】， 的一个周期为，只要考虑的取值情况， ；当时，；， 当时，；； 当时，；； 当时，. 综上，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解题的关键是讨论每段的情况求值. 18．②④⑤ 【分析】由题设新定义知：，，，由、、、以及正切二倍角公式，即可判断各项的正误. 【详解】 ①，故错误； ②，故正确； ③，即，有，故错误； ④，故正确； ⑤，所以，故正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】关键点点睛：新定义有，，，结合三角恒等变换判断各项的正误. 19．(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分讨论即可， （3）求解讨论得 【详解】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 20．(1)是，不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知； （2）令，，，然后化简，从而得证； （3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若时，由，可得，从而可得结论 【详解】（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. 21．见解析 【解析】用前5项计算，即 【详解】解：依题意，用前5项计算，即 ． 与用前三项计算的结果比较可以发现，用前5项计算的结果精确度更高，同时可知，当取的项数足够多时，可以达到更高的精确度，甚至达到任意精确度的要求． 【点睛】本题主要考查对新定义的理解应用能力．本题属基础题． 22．(1)是函数，不是函数 (2)，证明见解析 (3)不是， 【分析】（1）根据函数的定义直接判断函数，是否是函数； （2）取，再利用函数的定义证明即可； （3）利用反证法证得，再举特殊函数说明成立，从而得解. 【详解】（1）对于， 令，则， 则，， 所以存在，，使得，所以函数是“函数”. 对于函数，函数的最小正周期为， 不妨研究在这个周期的性质， 当时，，则， 当时，，则， 综上，，所以函数不是“函数”. 所以得函数是“函数”，函数不是“函数”. （2）取，为函数，证明如下： 令，则，又， 此时，， 则，所以是函数． （3）的最小值为1，理由如下： 因为是以为最小正周期的周期函数，所以． 假设，则，所以，矛盾； 所以必有， 而函数的周期为1，且显然不是是函数， 综上，的最小值为1． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 学科网（北京）股份有限公司 $$