精品解析：福建省福州市金山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 （满分：150分：考试时间：120分钟） 班级______ 姓名______ 座号_______ 一、选择题：（本题共8小题、每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质计算即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比，且满足， 所以，则. 故选:A． 2. 已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】表示选出的个代表中有个男生个女生， 则. 故选：B. 3. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 结合选项可知，只有C中函数符合要求， 故选：C 4. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】 女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故， 故选：B. 5. 第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ） A. 150种 B. 300种 C. 720种 D. 1008种 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，结合排列组合知识进行求解. 【详解】若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 综上，不同的安排方法有种. 故选：A 6. 展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（ ） A. B. C. 100 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】先用赋值法求得项数n，由于原式为三项式，需将作为整体进行二项式展开，从原式展开式中取出前两项再进行展开，分别求出包含项和项的系数，最后代回原式求和即可. 【详解】取代入，得，解得 则原式 其中，只有前两项包含项. ，其中项的系数为； ，其中项的系数为. 故原式展开式中的项的系数为. 故选：C. 7. 某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解. 【详解】依题意，设第一周去自由校区开会为事件，第二周去自由校区开会为事件， 则，， 所以， 则. 故选：A. 8. 已知数列满足，则数列的第2024项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案. 【详解】即 . 故选：A. 二、多选题：（本题共3小题、每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则 A. B. ， C. D. 当时，有最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式即可判断A；由等差数列的单调性可判断B；由可判断C；由等差数列前n项和的性质可判断D. 【详解】，，故选项A错误； ，，，，故选项B正确； ，且，，故选项C错误； 由，知，当时，有最大值，故选项D正确； 故选：BD． 11. 已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】，，得到A选项；，得到B选项；由条件概率公式得到C、D选项. 【详解】选项A：因为，所以，选项A不正确； 选项B：若，则A，B互斥，由，， 得，选项B正确； 选项C：由，即,事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立， 所以， 则，选项C正确； 选项D：由，， 得，，， 所以， 解得，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列的首项，且满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以，所以. 故答案为： 13. 小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择_______上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若则，， 【答案】公交 【解析】 【分析】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到，由此计算三种方式下的值，比较大小，即可得结论. 【详解】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到； 若选择自驾，则； 若选择地铁，则； 若选择公交，则， 而， 故选择公交上班迟到的可能性最小， 故答案为：公交 14. 若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知求出，再利用基本不等式求解. 【详解】设切点为，由 所以，且过切点的直线为， 所以有：， 因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： （1）的值； （2）展开式中的系数； （3）含的整数次幂的项共有多少项. 【答案】（1） （2） （3）共有项 【解析】 【分析】根据二项展开式结合常数项先求出的值，然后再利用二项展开式的通项求的系数和的整数次幂的项. 【小问1详解】 由已知得二项展开式的通项 因为常数项，令，解得，此时，结合可解得 【小问2详解】 由（1）知，令，得 所以的系数为 【小问3详解】 要使为整数，只需为偶数，由于，，故， 因此含的整数次幂的项共有项，分别为展开式的第项. 16. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 17. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，等比数列{bn}的公比为q(q>1)，且b3＋b4＋b5＝28，b4＋2是b3和b5的等差中项． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）令cn＝bn＋，{cn}的前n项和记为Tn，若2Tn≥m对一切n∈N*成立，求实数m的最大值． 【答案】（1）an＝2n(n∈N*)，bn＝2n－1，n∈N*；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可求得数列的通项，根据已知条件求出等比数列{bn}的首项和公比，即可求得数列的通项； （2）求出数列{cn}的通项，再利用分组求和及裂项相消求和法求出Tn，从而可求得Tn的最小值，从而可得答案. 【详解】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2. 当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n，a1＝2也符合上式， ∴an＝2n(n∈N*)． 又b3＋b4＋b5＝28，2(b4＋2)＝b3＋b5， 得b4＝8，q＝2或q＝. ∵q>1，∴q＝2， ∴bn＝2n－1，N*. （2）∵cn＝bn＋＝2n－1＋＝2n－1＋， ∴Tn＝＋ ＝2n－1＋ ＝2n－， 易知Tn随着n的增大而增大，∴2Tn≥2T1＝， 故m的最大值为. 18. 2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为． （1）求的值； （2）招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是． （ⅰ）求应聘者甲答对题的数量的分布列和数学期望； （ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）的分布列为 0 1 2 3 （ⅱ）甲被录用的可能性大，理由如下： 设事件表示甲测试合格， 则由（ⅰ）可知． 设事件表示乙测试合格， 则． 因为，所以甲被录用的可能性大． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算公式可得，解得； （2）（ⅰ）易知的所有可能取值为，分别求得其对应概率可得分布列和期望， （ⅱ）分别计算出甲、乙两人测试合格的概率为，比较大小可得结论. 【小问1详解】 设事件表示甲抽出的2道题都是关于冰雪温泉内容的， 则， 解得． 【小问2详解】 （ⅰ）甲答对题的数量的所有可能取值为． 则， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 于是的数学期望． （ⅱ）略 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）已知，当，试比较与的大小，并给予证明． 【答案】（1）答案见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出的导函数，再对分类讨论，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）构造函数，求出函数的导函数，再令，利用导数分析的单调性，从而得到函数的最值，从而得证. 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以， 当时，，所以的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，令，得；令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ，证明如下： 当时，，又， 令， 则， 令，则，又， 所以函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得， 且时，；时，， 即时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而，即， 两边取对数得， 所以，故在上恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 （满分：150分：考试时间：120分钟） 班级______ 姓名______ 座号_______ 一、选择题：（本题共8小题、每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2. 已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 4. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 5. 第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ） A. 150种 B. 300种 C. 720种 D. 1008种 6. 展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（ ） A. B. C. 100 D. 160 7. 某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则数列的第2024项为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题、每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则 A. B. ， C. D. 当时，有最大值 11. 已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列的首项，且满足，则________. 13. 小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择_______上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若则，， 14. 若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： （1）的值； （2）展开式中的系数； （3）含的整数次幂的项共有多少项. 16. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 17. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，等比数列{bn}的公比为q(q>1)，且b3＋b4＋b5＝28，b4＋2是b3和b5的等差中项． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）令cn＝bn＋，{cn}的前n项和记为Tn，若2Tn≥m对一切n∈N*成立，求实数m的最大值． 18. 2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为． （1）求的值； （2）招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是． （ⅰ）求应聘者甲答对题的数量的分布列和数学期望； （ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由． 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）已知，当，试比较与的大小，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $