精品解析：上海市五爱高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学试卷 2024年4月 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果. 1. 60°用弧度制表示为_____________. 2. 半径、圆心角弧度数均为2的扇形的面积为______. 3. 已知角的终边经过点，则______． 4. 在△ABC中，，，，则△ABC的面积为_____________. 5. 化简：_____________. 6. 已知、为锐角，，，则_________. 7. 函数的最小正周期为_______． 8. 在△ABC中，若，，，则_____________. 9. 在中，若，则________． 10. 已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为_____________. 11. 在中，若，，且，则________. 12. 已知，.若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为_____________.（写出所有可能的结果） 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置直接填写结果. 13. 已知，则角的终边所在的象限为（ ） A. 第一或第二 B. 第二或第三 C. 第三或第四 D. 第四或第一 14. 下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（ ） A. B. C. D. 16. 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知.求： （1）的值； （2）求的值. 18. 已知：，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点，求的值. 19. 如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. （1）试用和表示矩形的面积，并求其定义域； （2）求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 20. 已知函数（）. （1）化简的解析式，并写出函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 21. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. （1）若，求A的大小； （2）若BC边上的高等于，且，求的取值范围； （3）求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 2024年4月 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果. 1. 60°用弧度制表示为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由角度和弧度的关系进行求解. 【详解】根据角度和弧度的关系可知， 故答案为： 2. 半径、圆心角弧度数均为2的扇形的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据条件求得弧长，利用扇形面积计算公式计算即可. 【详解】如图所示， 设弧长为，半径为，圆心角为， 由题意知， 则扇形面积， 故答案为:4. 3. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由终边上的点的坐标结合三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故答案为：. 4. 在△ABC中，，，，则△ABC的面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由，计算可求面积. 【详解】因为在中，，， 所以. 故答案为：. 5. 化简：_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦函数的和差角公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故答案为： 6. 已知、为锐角，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 7. 函数的最小正周期为_______． 【答案】π 【解析】 【详解】试题分析： 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为 考点：三角函数的周期 8. 在△ABC中，若，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】由正弦定理得，故， 即，解得. 故答案为： 9. 在中，若，则________． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据余弦定理以及题干条件得到角的余弦值，进而得到角的大小. 【详解】由余弦定理得到： 故答案为：. 10. 已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 11. 在中，若，，且，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理求得，再根据余弦定理可得求解即可. 【详解】由余弦定理可得，即. 由正弦定理，故. 又，故，即. 又，故， 故. 故答案为：. 12. 已知，.若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为_____________.（写出所有可能的结果） 【答案】 【解析】 【分析】根据，可分类讨论时，结合正弦函数的图象和性质，即可得出答案. 【详解】“存在，使得”是假命题， 则，，任意实数均有， ①当时，任意实数均有，且， ，时，符合题意； ②当时，任意实数均有，即， ，， 当且仅当任意实数均有，则， 当时，，则，解得，， ，，符合题意； 当时，，则，解得，， ，，符合题意； 综上所述：满足条件的有序实数对为：. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置直接填写结果. 13. 已知，则角的终边所在的象限为（ ） A. 第一或第二 B. 第二或第三 C. 第三或第四 D. 第四或第一 【答案】A 【解析】 【分析】变形得到，故，得到所在象限. 【详解】， 故且，故角的终边所在的象限为第一或第二象限. 故选：A 14. 下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性定义、三角函数的单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，因为时， ，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，因为时， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递增，故C正确； 对于D，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递减，故D错误. 故选：C. 15. 下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 16. 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知.求： （1）的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【小问1详解】 显然，故则，解得. 【小问2详解】 18. 已知：，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解即可； （2）根据正余弦值的定义可得，再根据可得，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为，，故 由题意，，故 19. 如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. （1）试用和表示矩形的面积，并求其定义域； （2）求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 【答案】（1）； （2）；. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数将矩形的长、宽表示出来，即可得到矩形的面积，进而得解； （2）利用三角函数的性质求最值即可得解. 【小问1详解】 依题意，，，则，， 所以矩形的面积，定义域为. 【小问2详解】 因为，所以当时，取得最大值. 20. 已知函数（）. （1）化简的解析式，并写出函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；最小正周期为 （2） （3） ； 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. 【小问3详解】 解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线 由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为. 21. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. （1）若，求A的大小； （2）若BC边上的高等于，且，求的取值范围； （3）求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值； （3）利用二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，利用基本不等式与对勾函数的最值可求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. 【小问3详解】 令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：二次函数的最值问题，利用开口向上，在顶点处取得最小值，可得不等关系，进而转化为不等式恒成立问题处理是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $