精品解析：浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

六校联盟2023学年第二学期期中联考 高一数学试题卷 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 选择题部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 2. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设 ， 是空间中两个不共线向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，面积为，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 6. 已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 8. 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为且半径为2的扇形，记该圆锥的内切球半径为，外接球半径为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则下列正确的是（ ） A. 与同向的单位向量坐标是 B. 若，则 C. 在上投影向量坐标是 D. 若，则 10. 如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ） A. 观测点位于处的北偏东方向 B. 当天10：00时，该船到观测点距离为 C. 当船行驶至处时，该船到观测点距离为 D. 该船在由行驶至的这内行驶了 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确是（ ） A. 正三棱柱的外接球表面积为 B. 若是棱中点，则三棱锥的体积为 C. 周长的最小值为 D. 棱上总存在点，使得直线平面 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 虚数单位，复数，则的共轭复数___________. 13. 已知向量，且，则向量与的夹角为______． 14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是__________． 四、解答题（本题共6小题；其中第15小题10分，第16小题11分，第17小题12分，第18小题14分，第19小题15分；第20小题15分；共77分） 15. （1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值； （2）已知平面向量，的夹角为120°，且，，若与垂直，求实数的值. 16. 已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： （1）点对应的复数； （2）三角形的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点. （1）求证：M，N，C，D四点共面； （2）求证：平面. 18. 如图，在中，是边上的一点，，. （1）若，，求的长； （2）若，设，，求的值. 19. 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 20. 如图，在中，，，E是边上的点. （1）若直线与的交点O恰好是线段的中点，设，求实数x的值； （2）若，，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六校联盟2023学年第二学期期中联考 高一数学试题卷 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 选择题部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 【答案】B 【解析】 【分析】由复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意复数，则的虚部为-4. 故选：B. 2. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出坐标公式，进而求出的坐标公式，即可求解模长. 【详解】，，， ，. 故选：B. 4. 设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三点共线的向量表示方法即可求解. 【详解】由题意可知,, 因为三点共线，所以,即， 所以 ，解得. 故选:A. 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，面积为，则（ ） A B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式，求得且，结合余弦定理，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为且面积为，可得， 解得，则， 又由余弦定理得，所以. 故选：D. 6. 已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P的位置，再去求与的面积之比 【详解】由 可得，即点P在线段BC上，且 则与的面积之比等于 故选：B 7. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 8. 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为且半径为2的扇形，记该圆锥的内切球半径为，外接球半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心，先求出圆锥的底面圆的半径，利用等面积法求出，利用正弦定理可求出，即可得解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为， 则，所以， 如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心， 则内切圆的半径即为该圆锥的内切球半径， ， 则，解得， 在中，，则， 则，所以， 所以 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则下列正确的是（ ） A. 与同向的单位向量坐标是 B. 若，则 C. 在上的投影向量坐标是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】与同向的单位向量是，故A正确； ，且，由可得， 解得，故B错误； 在上的投影向量为，故C正确； ，且，由可得， 解得，故D正确； 故选：ACD 10. 如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ） A. 观测点位于处的北偏东方向 B. 当天10：00时，该船到观测点的距离为 C. 当船行驶至处时，该船到观测点的距离为 D. 该船在由行驶至的这内行驶了 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD． 【详解】A选项中，,， 因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确. B选项中，在中，，，则,又因为， 所以km,故B错误. C选项中，在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km，故C正确. D选项中，在中，由余弦定理，得 ，即km，故D正确. 故选：ACD． 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ） A. 正三棱柱的外接球表面积为 B. 若是棱中点，则三棱锥的体积为 C. 周长的最小值为 D. 棱上总存在点，使得直线平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：设外接球半径为，底面外接圆半径为，根据，即可求解；对于B：利用等体积转换即可求解；对于C：由侧面展开图确定周长最小值即可求解；对于D：在上取一点使得，当时，四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定定理得到直线平面. 【详解】对于A,正三棱柱中，， 设外接球半径为，底面外接圆半径为， 所以，即， 因， 所以正三棱柱正三棱柱得外接球表面积为，故A正确； 对于B，因为是棱中点，所以，因为 , 所以三棱锥的体积为，故B正确； 对于C， 由侧面展开图所示， 周长 , 所以其最小值为故C错误； 对于D, 在上取一点使得，则， 当时，四边形为平行四边形，故， 又平面， 平面，所以直线平面,故D正确， 故选:ABD. 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 虚数单位，复数，则的共轭复数___________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算及模的概念求得复数，即可写出其共轭复数. 【详解】由题设， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，且，则向量与夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角公式可求向量与的夹角. 【详解】因为，所以， 故，故，故， 而，故， 故答案为：. 14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得的坐标，进而可得向量的坐标，由数量积的坐标运算可得数量积. 【详解】建立如图所示的坐标系， 由图可得，，，， ， 即有． 即，， 则 ． 故答案为：2． 四、解答题（本题共6小题；其中第15小题10分，第16小题11分，第17小题12分，第18小题14分，第19小题15分；第20小题15分；共77分） 15. （1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值； （2）已知平面向量，的夹角为120°，且，，若与垂直，求实数的值. 【答案】【小问1】 【小问2】 【解析】 【分析】（1）由两向量共线公式即可求解. （2）由两向量垂直公式即可求解 【详解】（1），， ∵与平行，∴， 解得：. （2）， ∵与垂直，∴， ∴，得，解得. 16. 已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： （1）点对应的复数； （2）三角形的面积. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标，计算可得，根据，借助于坐标运算可得结果； （2）由向量的夹角公式可求出，进而求出，由三角形的面积公式计算可得结果. 【小问1详解】 设点坐标，对应复数. 由题意知，点坐标， ∴， ∵平行四边形中，， ∴,解得：，，∴点对应的复数为. 【小问2详解】 由题意可得：，， ， ∵，∴， ∴三角形面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点. （1）求证：M，N，C，D四点共面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意证明，即可证明M，N，C，D四点共面. （2）取中点，连，，证明，进而可证明平面. 【小问1详解】 ∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴. 又在平行四边形中，， ∴，∴，，，四点共面. 【小问2详解】 取中点，连，， ∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴且， 又∵平行四边形中，∴且， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 18. 如图，在中，是边上的一点，，. （1）若，，求的长； （2）若，设，，求的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理可得，可求，可得是等边三角形，在中，可求出，进而可求； （2）在中，余弦定理，在中，余弦定理，可得，即可求解. 【小问1详解】 在中，，由正弦定理可得， ∴， ∴或， ∵，∴只能是. ∴，∴是等边三角形， ∴. 方法一：又在中，，， ∴，∴，∴. 方法二：，∴， ∴或， 当时，，符合“大边对大角”； 当时，，不符合“大边对大角”，舍. ∴，. 【小问2详解】 ∵，∴， 记，在中，余弦定理 在中，余弦定理， 两式联合，得，∴， 整理得， ∵，∴，即. 19. 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【小问1详解】 由题设及正弦定理得， ∵，∴， [法一]∵，∴或 当时，，，符合 当时，，即，得，舍 综上，. [法二]∵，， ∴， 又∵，∴化简得， ∵，则，∴，∴ 【小问2详解】 由（1）知，又，∴， 正弦定理得， ∵为锐角三角形，∴，∴， ∴， ∴，∴，∴， 从而，即面积的取值范围是. 20. 如图，在中，，，E是边上的点. （1）若直线与的交点O恰好是线段的中点，设，求实数x的值； （2）若，，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因，得到，再由，进而化简拿得到，结合三点共线，即可求解； （2）由正弦定理得到，，分别求得和，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 可得， 又因为是线段的中点，所以， 因为，，所以，，所以， 又因为E，O，F三点共线，可得，解得. 【小问2详解】 解：因为，由正弦定理得到， 所以，， 可得， 则， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$