精品解析：山东省2023-2024学年高一下学期6月期末联考数学试卷

2023—2024学年高一期末联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知一组数据：的平均数是10，方差是4，则，的方差是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 18 5. 已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 如图，在梯形中，分别为的中点，若，其中，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知复数，则当且仅当时为纯虚数 B. 已知复数为实数，则 C. 已知复数，则 D. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在第四象限 10. 下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 11. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得 C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D. 对于任意点Q，都是钝角三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量共线，且，则______． 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 14. 已知（）满足，，且在上单调，则的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 中，，，分别为角，，的对边，且. （1）求角A； （2）若内切圆面积为，求的面积S的最小值. 16. 如图，在正方体中，是棱中点． （1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离． 17. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求和乙样本直方图中值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 18. 如图，在三棱台中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值． 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最值． （3）当时，关于不等式有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高一期末联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数之间的关系求解即可. 【详解】因为，所以的终边位于第三象限， 所以. 故选：B. 2. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量公式求出答案. 【详解】. 故选：D. 3. 设是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线线、线面的位置关系，举出反例，即可得答案； 【详解】对A，有可能，故A错误； 对B，可能异面，故B错误； 对D，可能异面，也可能相交，故D错误； 利用排除法可得C正确； 故选：C. 4. 已知一组数据：的平均数是10，方差是4，则，的方差是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】利用方差公式计算即可求解. 【详解】由题意，数据的平均数为： ， 所以方差为 . 故选：A. 5. 已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先把，的解析式都化成或的形式，再用图象的平移解决问题. 【详解】， ， 故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象. 故选：D 6. 如图，在梯形中，分别为的中点，若，其中，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用平面向量基本定理和平行向量的知识可解出． 【详解】分别为的中点，， ， 而①，②， 联立①②得，. 故选：B. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，利用平方的方法求得. 详解】由于向量与平行， 所以，由正弦定理得， 由于所以， 由于，所以. ，两边平方得 ， 所以. 故选：D 8. 如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题作出图形，易得外接圆圆心在中点，结合正弦定理可求外接圆半径，结合图形知，，再结合二面角大小求出，进而得解. 【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，， 又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为， 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知复数，则当且仅当时为纯虚数 B. 已知复数为实数，则 C 已知复数，则 D. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】利用纯虚数的条件可判断A；由复数为实数的条件求解可判断B；求复数的模可判断C；求得复数对应用的点所在象限判断D. 【详解】对于A，复数，则当且仅当时为纯虚数，所以选项错误； 对于B，若复数为实数，则，所以选项正确； 对于C，复数，则，所以选项正确； 对于D，复数，则复数在复平面内对应的点在第二象限，所以D选项错误. 故选：BC. 10. 下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增；对于B，将数据从小到大排序，按百分位数计算公式计算即可；对于C，计算每年的增长率比较即可；对于D，求出平均值并和年数据比较即可. 【详解】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确； 对于B，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序， 所以销量的第百分位数为第个数据，即，故B正确； 对于C，年的增长率为， 年的增长率为 年的增长率为 年的增长率为 年增长率为 年的增长率超过其他年份的增长率，故C正确； 对于D，这六年销量的平均数为 ，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得 C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D. 对于任意点Q，都是钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C． 【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确； 平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错； 设（），，，， ， ， 所以， ， 所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是， 记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确． 故选：ABC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量共线，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】借助向量共线，分向量同向与反向计算即可得. 【详解】由向量共线，故向量可能同向、可能反向， 当向量同向时，由，则， 当向量反向时，由，则. 即可能为或. 故答案为：或. 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】设圆锥的底面半径为r， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的表面积为． 故答案为：. 14. 已知（）满足，，且在上单调，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，再由函数在区间上单调，求出的取值范围，即可求出的取值集合，从而求出的最大值； 【详解】满足， ，即， ， 在上单调， ，即， 当时最大，最大值为 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 中，，，分别为角，，的对边，且. （1）求角A； （2）若的内切圆面积为，求的面积S的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，即可得出结果； （2）根据题意，得到内切圆的半径为1，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理和两角和正弦公式得： 又因为 所以， 因为，所以，即， 因为，所以，所以，所以 所以，即； 【小问2详解】 由题意知内切圆的半径为,则，解得. 如图，内切圆的圆心为，为切点， 则， 从而， 由余弦定理得， 整理化简并利用基本不等式得， 解得或（舍去）， （当时取等号）. 从而， 即面积S的最小值为. 16. 如图，在正方体中，是棱的中点． （1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）若正方体棱长为2，求点到平面的距离． 【答案】（1）直线平面，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：设点到平面的距离为，由求解即可；解法二：连接，由线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，所以为点到平面的距离，求解即可. 【小问1详解】 直线平面， 理由如下：在正方体中，连接交于点，连接，如图1， 因为四边形为正方形，则为中点，又为中点，因此， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 解法一：（等体积法） 在三棱锥中，， 则， 的面积， 设点到平面的距离为， 由得：， 于是，所以点到平面的距离为． 解法二：（直接法） 连接，在平面中，设 在正方形中， 又∵平面，平面，∴． 又∵，、平面 ∴平面，而平面，∴ 同理可得：， 又∵，，平面， ∴平面，即平面， 所以为点到平面的距离， 由题意可知，在直角三角形中，，， 由得，所以点到平面的距离为． 17. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 【答案】（1），； （2）平均值81.5，中位数82； （3）114人. 【解析】 【分析】（1）先计算出乙样本中数据在的频率，从而求出，根据频率之和为1得到方程，求出； （2）中点值作代表，计算出甲样本数据的平均值估计值，再判断出乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，得到方程，求出； （3）计算出乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率，从而估计其中数学成绩在85分以上的人数. 【小问1详解】 由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得. 【小问2详解】 甲样本数据的平均值估计值为 ； 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为，所以乙样本数据的中位数在第4组. 设中位数为，，解得，所以乙样本数据的中位数为82. 【小问3详解】 乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为， 由样本估计总体得（人）， 故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人. 18. 如图，在三棱台中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，进而可得面面垂直， （2）根据线面垂直得线面角的几何角，进而可得，根据线面垂直得线线垂直，即可由几何法求解二面角的平面角，由三角形的边角关系即可求解. 【小问1详解】 取中点为，连接, ∵，，所以,故,由三角形内角和可得, 故， 又∵,平面,为相交直线， ∴平面，平面,∴ 又∵,即,平面, ∴平面，AC在平面ABC内，∴平面平面 【小问2详解】 由（1）知直线与平面所成角为， ∴，由于,∴ 设平面和平面的交线为， 由于平面，平面，所以， 过点作于G， 又（1）知平面平面，且两平面的交线为，平面, ∴平面，平面，所以， 且, 再过点作于，连接， 平面，所以平面， 平面,故， ∵即为所求角, , ∵ 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最值． （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）最小值为；最大值为2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案； （3）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意，得函数 ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，所以，则， 当即时，函数取得最小值为； 当即时，函数取得最大值为； 【小问3详解】 由题意得时，有解， 而此时，即有解，只需要即可， ，， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以. 【点睛】方法点睛：（1）本题第三问考查恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；（2）参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$