精品解析：上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023学年第二学期南模中学高二年级期末考试 数学学科 （本次考试时间120分钟，满分150分，命题人：金振华，审题人：徐雯珺） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 已知直线与直线垂直，则__________． 2. 已知函数，则______． 3. 2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法种数为______. 4. 已知随机变量服从两点分布，且，，那么________． 5. 双曲线的渐近线方程为__________. 6. 投掷一颗骰子，记事件，，则_____________． 7. 已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点.则的取值范围为__________. 8. 已知圆是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率______． 9. 若m，，，，则_____________．（请用一个排列数来表示） 10. 下列说法中正确的是______ ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 11. 在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是________. 12. 如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分） 13. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是 A. P（ξ＝2） B. P（ξ＝3） C. P（ξ≤2） D. P（ξ≤3） 14 已知二项式，则（ ） A. 展开式中第3项与第4项的二项式系数相等 B. 展开式中第三项 C. 展开式所有项的系数和为32 D. 展开式中第二项的系数最大 15. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 16. 设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求m的值． 18. 已知函数，且在点处的切线与直线垂直. （1）求值； （2）当时，求的导函数的最小值. 19. 某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目. ①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率； ②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率. 20. 已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 21. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值; （2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围; （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期南模中学高二年级期末考试 数学学科 （本次考试时间120分钟，满分150分，命题人：金振华，审题人：徐雯珺） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 已知直线与直线垂直，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果. 【详解】当时，， 由知，斜率为2， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：2． 2. 已知函数，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数的定义求解。 【详解】根据题意，，则，又． 故答案为：8 3. 2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为______. 【答案】72 【解析】 【分析】利用插空法先排3名学生，再将老师插入到4个空位中即可. 【详解】采用插空法，先排3名学生有种，再排2位教师有种， 所以，不同排法种数为种. 故答案为：72 4. 已知随机变量服从两点分布，且，，那么________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为： 5. 双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的方程，直接求出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. 故答案为： 6. 投掷一颗骰子，记事件，，则_____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先计算出，利用求条件概率的公式求出答案. 【详解】投掷一颗骰子，出现的点数共有6种情况， 因为，故，其中， 故. 故答案为： 7. 已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点.则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，把转化为到右焦点的距离，再借助线段和差的三角形不等式求解即得. 【详解】令是椭圆的右焦点，显然，长半轴长，， 由椭圆定义知，， 而，当且仅当共线时等号成立， 于是，因此当在之间时，取得最大值， 当在之间时，取得最小值， 所以的取值范围为. 故答案为： 8. 已知圆是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设直线，直线，结合垂径定理求弦长，列式求解即可. 【详解】因为圆，即为，可知圆心为，半径， 由题意知：直线的斜率存在，且不为0， 设直线，则直线， 则圆心到直线的距离分别为， 由题意可得：，解得. 故答案为：. 9. 若m，，，，则_____________．（请用一个排列数来表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据排列的意义及分类加法计数原理，对其中两个指定的元素分类求解即可. 【详解】从n个元素中选取m个元素排列到m个位置上去， 对于两个指定的元素进行分类，都被选出来，有种排法， 中有一个被选出来，有种排法， 都没有被选出来，有种排法， 所以． 故答案为：. 10. 下列说法中正确的是______ ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式判断①； 根据正态分布的性质判断②； 根据条件概率判断③； 根据期望与方差的性质判断④. 【详解】随机变量服从二项分布，则，故①正确； 随机变量服从正态分布且，则，故②正确； 事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，故③正确； ，故④错误. 故答案为：①②③. 11. 在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由分类加法计数原理与组合数的应用可得全部选错的情况数，然后结合古典概型的概率计算公式，即可得到结果. 【详解】假设5个单词分别是，正确的顺序为， 第一大类为选出的4个单词不包含， 则符合要求的情况有：共9种； 第二大类为选出的4个单词包含， 先选出，则有种情况，假设选出的单词为， 当在第四个位置时，符合要求的情况有共2种， 当不在第四个位置时，从剩下的3个位置选1个，有种情况， 假设在第一个位置，则此时符合要求的情况数有共3种， 则共有； 则符合要求的情况共有，且全部情况为， 则4个空格全部选错的概率是. 故答案为： 12. 如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题意得出Q的轨迹是以P为焦点、直线AB为准线的抛物线，进而得出曲线E的方程，然后建立坐标系求出点Q处的切线方程进而求出点N，从而求出，再利用导数工具研究其最值问题即可求解. 【详解】连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，， 所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上， 如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，直线AB：，所以抛物线方程为：，即， 则，由上可设，则抛物线在Q点处切线斜率为， 所以抛物线在Q点处切线方程为， 则令，， 所以由题意，且 ， 所以， 故对恒成立， 所以时单调递减，又当时，， 故时，；时，， 所以时，单调递增；时，单调递减， 所以，则， 所以的面积的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：将求面积转化成求面积是解决面积最值的关键. 二、选择题（本大题共4题，满分18分） 13. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是 A. P（ξ＝2） B. P（ξ＝3） C. P（ξ≤2） D. P（ξ≤3） 【答案】B 【解析】 【分析】先求出从12人选6人的方法种数，再求出所抽6人中“三好生”的人数3人的方法种数，即可求出概率 【详解】从12人选6人共有种 若ξ=3，则6人中“三好生”的人数3人的种数为种， 则； 故选：B． 14 已知二项式，则（ ） A. 展开式中第3项与第4项的二项式系数相等 B. 展开式中第三项为 C. 展开式所有项的系数和为32 D. 展开式中第二项的系数最大 【答案】AB 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再逐项分析判断作答. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 对于A，展开式中第3项与第4项的二项式系数分别为，它们相等，A正确； 对于B，展开式中第三项，B正确； 对于C，当时，得展开式所有项的系数和为，C错误； 对于D，展开式中第二项的系数为，而第三项系数为40，即展开式中第二项的系数不是最大的，D错误. 故选：AB 15. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可． 【详解】设直线l与曲线的切点为， 由，则， 则，，即切点为， 所以直线l为，又直线l与圆都相切， 则有，解得或. 故选：D. 16. 设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为为偶函数， 所以，所以， 令， 因为为偶函数， 则，即， 即， 所以， 当时，，即在上单调递减，则在上单调递增， 由，即， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而推导出，即可得到函数的单调性. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）通过赋值法求系数和； （2）通过二项式定理的通项求参数值． 【小问1详解】 在中， 取，得， 取，得， 以上两式相减，得． 小问2详解】 的通项为， 若，可得， 所以，解得或． 18. 已知函数，且在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）当时，求的导函数的最小值. 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义及直线垂直的斜率关系列方程求解即可； （2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求解函数的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为直线的斜率为，所以，解得； 【小问2详解】 令. ，在上单调递增. 的最小值是. 19. 某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目. ①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率； ②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分析题意，X为该班获得决赛资格的同学个数，因此需要分别计算出甲和乙进入决赛的概率和. 进入决赛的人数，求出概率，列出分布列，利用期望计算公式得到期望. （2）能够直接计算出的是甲取到道选择题的概率()，以及分别在甲抽取道选择题条件下乙再抽取到选择题的概率，利用全概率公式和条件概率公式、乘法公式，可以得到①、②两问的结果. 【小问1详解】 甲获得决赛资格的概率， 乙获得决赛资格的概率. 由题意得， ； ； . 的分布列为： 0 1 2 . 【小问2详解】 设事件“甲取到道选择题”，；事件“乙取到第一题是选择题”. ，，. ，，. ①由全概率公式可得：. ②由条件概率公式和乘法公式可得：. 20. 已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． 【小问2详解】 如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 21. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值; （2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围; （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）严格单调递减即，对导函数参数分离，构造新函数求解； （3）有2个极值点等价于导函数有2个零点，并运用韦达定理对代数式作变换，构造新函数，根据新函数的单调性求解. 【小问1详解】 ， 则，， 在点切线过原点， ，即，解得； 【小问2详解】 . 则，函数在上严格单调递减， 转化为，即对上的任意实数恒成立， 令，则， 由 得，由得， 由得，在上单调递增，在上单调递减， 又当时.时，，， 当时，，故实数a的取值范围是； 【小问3详解】 ，函数有2个极值点等价于在时有2个零点； 即 在上有两个不同的根， ，解得， 不等式恒成立，即， 又 ， 令， 所以，又恒成立， 即在区间单调递减， ； 综上，（1），（2）实数a的取值范围是，（3）的取值范围是. 【点睛】本题的难点在于对不等式作出代数变换，由2个变量 转化为一个变量a，由a得范围来确定的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $