精品解析：福建省莆田市锦江中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

莆田锦江中学2023-2024学年（下）期中测试 数学试卷 一、单选题 1. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的对称性直接求解. 【详解】因为，则， ∴. 故选：D. 2. 已知变量与之间的一组数据如表： 2 4 5 6 8 30 50 70 若与的线性回归方程为，则的值为（ ） A. 60 B. 70 C. 100 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再由平均数公式计算可得. 【详解】因为，又与的线性回归方程为， 所以，即，解得. 故选：C. 3. 若函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 的解集为 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递减区间为 D. 是函数的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的单调性与导数图象之间关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的导函数图象， 可得在区间上单调递增，在单调递减，在上单调递增， 所以的解集为，所以A不正确； 对于B中，由的图象可得，当时，，当时，，所以在在上单调递减，在单调递增， 所以不是函数的极值点，所以B不正确； 对于C中，由的图象可得，当时，， 所以单调递减区间为，所以C不正确； 对于D中，由函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 4. 设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P a b A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 解得， 故. 故选：B 5. 5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数 B. 线性回归方程中 C. 当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.24个单位 D. 可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只） 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断A选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B选项；根据回归方程判断CD选项. 【详解】从数据看随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故A正确； 由已知数据得，， 代入中得到，故B错； 根据线性回归方程可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故C正确. 将代入中得到，故D正确. 故选：B. 6. 正方体中，是中点，则直线与线所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】依题意建立空间直角坐标系，如图， 不妨设，则， 故， 所以， 所以直线与线所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出的范围． 【详解】函数， 可得， 若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得， 当时，，当时，， 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点， ，解得． 故选：C． 8. 在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得直线与直线相交 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的大小为 D. 平面被正方体所截得的截面面积为 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，取的中点，连接，点到线段的最短距离大于，即可判断；建立空间直角坐标系，点到平面的距离为，即可判断；由平面，连接交于点，与全等，所以，即可判断；平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，可求截面面积. 【详解】 连接，，所以，，取的中点，连接， 所以，点到线段的最短距离大于，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确； 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确； 因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，， 所以为直线与平面所成角， 因为，在中，， 所以，因为与全等，所以，故正确； 延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点， 连接，，，，，， 平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为， 所以截面面积为，故不正确. 故选：. 二、多选题 9. （多选）下列结论正确的是（　　） A. 已知向量a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），则a在b上的投影向量为（1，2，2） B. 若对空间中任意一点O，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一组基底 D. 若直线l的方向向量为e＝（1，0，3），平面α的法向量n＝（－2，0，），则直线l⊥α 【答案】ABC 【解析】 【详解】分析：利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足＝m＋n＋t，其中m＋n＋t＝1判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 详解：因为a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），所以a在b上的投影向量为·＝·b＝·（1，2，2）＝（1，2，2），故A正确；因为＋＋＝1，故B正确；{a，b，c}是空间的一组基底，m＝a＋c，所以{a，b，a＋c}两向量之间不共线，所以{a，b，m}也是空间的一组基底，故C正确；因为直线l的方向向量为e＝（1，0，3），平面α的法向量n＝（－2，0，），e·n＝－2＋0＋2＝0，则直线l∥α或l⊂α，故D错误．故选ABC. 【考查意图】考查空间向量应用． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方差公式即可判断A；根据方差的性质即可判断B；根据二项分布的概率公式即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D. 【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，， 则，故A错误； 对于B，若随机变量的方差，则，故B错误； 对于C，若随机变量服从二项分布， 则，故C正确； 对于D，若随机变量服正态分布，， 则，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 当时，则在上单调递增 B. 当时，函数有唯一极值点 C. 若函数只有两个不等于1的零点，则必有 D. 若函数有三个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：直接代入求单调性即可；对于B：直接代入求极值即可；对于C：将函数两个不等于1的零点转化为有两个不等于1的根，，求导，研究其单调性，根据单调性确定，然后证明和对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可. 【详解】对于A：当时，， 则，令， 则， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，所以在上单调递增，A正确； 对于B：当时，， 则，令， 则， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，所以在上单调递增，无极值，B错误； 对于C：令，得， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，单调递增，且， 当时，，单调递减，且， 若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点， 则不妨取， 当时，， 所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确； 对于D：明显，所以是函数的一个零点，且， 函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1）， 因为， 所以， 设，则 当时，令，得，单调递减， ，得，单调递增， 所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点， 所以，令，得，单调递减， ，得，单调递增， 所以， 所以，所以，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题. 三、填空题 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以切点为，且， 则， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以切线方程为. 故答案为： 13. 甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解. 详解】因为， 所以, 故答案为： 14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，己知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现己知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为_________，直线l与平面所成角的正弦值为_________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】结合题意求出平面的法向量和直线的方向向量，用线面角的向量求法处理即可. 【详解】显然平面的一个法向量可以为, 易知平面的法向量为，平面的法向量为， 且直线l的方向向量为，故，，令， 解得，，故，设直线l与平面所成角为， 则. 故答案为：； 四、解答题 15. 已知曲线在点处的切线的斜率为1. （1）求实数a的值； （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1）1 （2）递减区间为，递增区间为；极小值为，极大值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即求得答案； （2）由（1）可得函数导数，令，以及，即可求得单调区间，进而求得极值. 【小问1详解】 由，得， 曲线在点处的切线的斜率为1， 故； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，则或； 令，则； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 故函数的极小值为，极大值为. 16. 软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美，还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．越来越多的家长开始注重孩子的书法教育，某书法培训机构统计了其招收的所有学生中每种软笔书法学习人数（每人只学习一种书体）的情况，得到相关统计数据如下： 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 （1）该培训机构统计了某周学习软笔书法学生作业完成情况，得到下表： 认真完成 不认真完成 总计 男生 7 27 女生 总计 65 补全2×2列联表，并判断能否有的把握认为是否认真完成作业与性别有关； （2）现从该培训机构学习楷书与行书的学生中，按学生学习的书体用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：． 0.25 0.15 0.10 1.323 2.072 2.706 【答案】（1）表格见解析，没有 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出的值，可得女生人数； （2）由分层抽样确定两组人数，根据的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 认真完成 不认真完成 总计 男生 20 7 27 女生 45 8 53 总计 65 15 80 则， 因为， 所以没有的把握认为是否认真完成作业与性别有关． 【小问2详解】 因为学习楷书与行书的人数之比为. 所以抽取的10人中，学习楷书的有6人，学习行书的有4人. 所以的所有可能取值为. ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以. 17. 已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．  （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求解即可； （2）利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为， 所以如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则，    所以， 设平面的法向量， 则，即，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 所以直线与平面所成角大小为. 【小问2详解】 设点到平面的距离为，因为， 所以， 所以点到平面的距离为. 18. 盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. （1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率； （2）设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【答案】（1）； （2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）相当于比赛前刚好取到了一个新球，一个旧球，即可得答案； （2）由题意分析可知的可能值为0，1，2，3，4.后由题意可得相应概率，即可得分布列. 【小问1详解】 因一局比赛后盒中恰有3个新球，则本局比赛取到了一个旧球，一个新球. 因一共有6个球，则总情况数为，取到一个新球，一个旧球的情况数为， 则相应概率为： ； 【小问2详解】 设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为， 第二局取到两个旧球事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为， 则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4. ； ； ； ； . 则分布列如下： 0 1 2 3 4 19. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数以及切点坐标，根据导数的几何意义，即可求得答案. （2）将原问题转化为对于任意，都有恒成立，即需；从而结合函数的单调性，确定函数的最值在哪里取到，由此列出不等式，构造函数，利用导数即可求解. 【小问1详解】 由于，故，切点为， ， 所以切线的斜率为0，在点处的切线方程为． 【小问2详解】 令，则， 所以为R上单调递增函数， 因为，所以时，时，， 所以在单调递减，在单调递增． 若对于任意，都有恒成立，即只需． 因为在单调递减，在单调递增， 所以的最大值为和中最大的一个， 所以， 设， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增． ，故当时，． 当时，，则成立． 当时，由的单调性，得，即，不符合题意． 当时，，即，也不符合题意． 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数几何意义的应用以及利用导数解决恒成立问题，解答的关键是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田锦江中学2023-2024学年（下）期中测试 数学试卷 一、单选题 1 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 2. 已知变量与之间的一组数据如表： 2 4 5 6 8 30 50 70 若与的线性回归方程为，则的值为（ ） A. 60 B. 70 C. 100 D. 110 3. 若函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 的解集为 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递减区间为 D. 是函数的极小值点 4. 设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P a b A. B. C. D. 5. 5G技术在我国已经进入调整发展阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 15 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数 B 线性回归方程中 C. 当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.24个单位 D. 可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只） 6. 正方体中，是中点，则直线与线所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得直线与直线相交 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的大小为 D. 平面被正方体所截得的截面面积为 二、多选题 9. （多选）下列结论正确的是（　　） A. 已知向量a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），则a在b上的投影向量为（1，2，2） B. 若对空间中任意一点O，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一组基底 D. 若直线l的方向向量为e＝（1，0，3），平面α的法向量n＝（－2，0，），则直线l⊥α 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 当时，则在上单调递增 B. 当时，函数有唯一极值点 C. 若函数只有两个不等于1的零点，则必有 D. 若函数有三个零点，则 三、填空题 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是______. 14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，己知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现己知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为_________，直线l与平面所成角的正弦值为_________. 四、解答题 15. 已知曲线在点处切线的斜率为1. （1）求实数a的值； （2）求函数的单调区间与极值. 16. 软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美，还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．越来越多的家长开始注重孩子的书法教育，某书法培训机构统计了其招收的所有学生中每种软笔书法学习人数（每人只学习一种书体）的情况，得到相关统计数据如下： 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 （1）该培训机构统计了某周学习软笔书法学生的作业完成情况，得到下表： 认真完成 不认真完成 总计 男生 7 27 女生 总计 65 补全2×2列联表，并判断能否有的把握认为是否认真完成作业与性别有关； （2）现从该培训机构学习楷书与行书的学生中，按学生学习的书体用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：． 0.25 0.15 0.10 1.323 2.072 2.706 17. 已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．  （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 18. 盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. （1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率； （2）设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 19. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$