精品解析：重庆市重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题

文峰初中教育集团2024年上期九年级数学学科第二次课堂作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是( ) A B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 4. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，若，则的度数为（　　） A B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，第④个图中有9张黑色正方形纸片……，按此规律排列下去，则第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 8. 如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　） A. B. C. D. 10. 对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 __． 13. 一个口袋中有2个红色球，有1个白色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 __________________． 14. 开州区赵家工业园区今年三月份提供就业岗位1240个，并按计划逐月增长，预计五月份将提供岗位1510个，设四、五两个月提供就业岗位数量月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ________________． 15. 如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交延长线于点．若，，则的长度为 _____． 16. 如图，在中，，以C为圆心为半径作弧，交的延长线于点E，以B为圆心为半径交的延长线于点D，若，则阴影部分的面积是__________． 17. 若数m使关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 _____． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB，AC为对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段AC的垂直平分线，分别交AD，BC于E，F两点，垂足为O，连接AF，CE；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）根据（1）所作图形，完成四边形AFCE是菱形的证明过程． 证明：∵平行四边形ABCD ∴______ ∴∠DAC=∠BCA ∵EF垂直平分AC ∴OA=OC，EA=______，FA=FC ∵在△AOE和△COF中， ∴ ∴______ ∴AE=CE=CF=AF ∴四边形AFCE是菱形（推理依据，______） 21. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．为激发学生的探索热情，我校举行了航天知识问答活动，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：．，，， 八年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，，． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由(写出一条即可)； （3）我校八、九年级共有人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 22. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品． （1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ （2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 23. 如图，中，，，，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，的面积为y（注：三角形、四边形等封闭图形的面积不能为0）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质； （3）根据图象直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 如图，四边形是一个环湖公园的步行道，km，在正东方；在正东方，在的东北方，在北偏东方向． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）小王和小张同时从A出发，小王沿→→方向跑，小张沿→→方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点？（参考数据：，） 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； （3）点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 26. 已知点D在外，，，射线与边交于点H，，垂足为E，． （1）如图1，若，，求； （2）如图2，求证：； （3）如图3，若，，点F在线段BC上，且，点M，N分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 文峰初中教育集团2024年上期九年级数学学科第二次课堂作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，解题的关键在于熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 【详解】解：3的相反数是， 故选D． 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可进行求解． 【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为 ； 故选B． 【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将各个坐标代入解析式逐一计算判断，即可求解；理解图象经过点的意义是解题的关键． 【详解】解：A.当时，，故不符合题意； B.当时，，故不符合题意； C.当时，，故符合题意； D.当时，，故不符合题意； 故选：C． 4. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质的具体内容是解题的关键． 根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于周长比，即可得出答案． 【详解】解：∵相似三角形对应边的比等于周长比，且周长的比为， ∴这两个相似三角形的对应边的比为． 故选：B． 5. 如图，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 7. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，第④个图中有9张黑色正方形纸片……，按此规律排列下去，则第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有个，第三个图形有个，由此得到规律求得第⑩个图形中正方形的个数即可． 【详解】解：观察图形知： 第①个图形有3个正方形， 第②个有个， 第③个图形有个， … 故第⑨个图形有（个）， 故选：C． 8. 如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，连接，由切线的定义可得，进而可得，由等边对等角可得． 【详解】解：如图，连接， 直线与相切于点C， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故选C． 9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D 10. 对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，理解“变括操作”的定义是解题关键．根据“变括操作”的定义，利用整式加减的运算法则逐个判断即可得． 【详解】解：由“变括操作”的定义可知，任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号， 所以不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；说法①正确； 要使其运算结果与原多项式之和为0， 则只有一种“变括操作”，即，说法②正确； 若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”有以下五种： ， ， ， ， ， 由此可知，若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．先分别计算负整数指数幂，零指数幂，然后进行加法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 __． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程． 设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为， 依题意得：， 解得：， 这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 13. 一个口袋中有2个红色球，有1个白色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红球 红球 白球 红球 （红球，红球） （红球，红球） （红球，白球） 红球 （红球，红球） （红球，红球） （红球，白球） 白球 （白球，红球） （白球，红球） （白球，白球） 由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种结果， 所以两次都摸到白球的概率是， 故答案为：． 14. 开州区赵家工业园区今年三月份提供就业岗位1240个，并按计划逐月增长，预计五月份将提供岗位1510个，设四、五两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据今年三月份提供就业岗位1240个，并按计划逐月增长，预计五月份将提供岗位1510个，列一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长． 【详解】，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，以C为圆心为半径作弧，交的延长线于点E，以B为圆心为半径交的延长线于点D，若，则阴影部分的面积是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，根据计算，即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴. 根据勾股定理，得． ． 故答案为：． 17. 若数m使关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组整数解问题，解分式方程；由一元一次不等式组仅有4个整数解得，求出整数，解分式方程得，分别代入，即可求解；掌握不等式组的解法和分式方程的解法，得出整数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组仅有4个整数解， ， 解得：， 为、、、、、、、， 解分式方程得： ， ， ， 分式方程有非负整数解， 为、、、， ， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 【答案】 ①. ②. 8165 【解析】 【分析】根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 递减数， ∴， ∴， ∴这个数为； 故答案为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴， ∵， ∴， ∵，能被整除， ∴能被9整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∵最大的递减数， ∴， ∴，即：， ∴最大取，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是： （1）利用单项式乘以多项式法则，完全平方公式计算即可； （2）先把小括号通分，然后把除法转化为乘法，最后把各分式的分子、分母进行因式分解，再约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB，AC为对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段AC的垂直平分线，分别交AD，BC于E，F两点，垂足为O，连接AF，CE；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）根据（1）所作图形，完成四边形AFCE是菱形的证明过程． 证明：∵平行四边形ABCD ∴______ ∴∠DAC=∠BCA ∵EF垂直平分AC ∴OA=OC，EA=______，FA=FC ∵在△AOE和△COF中， ∴ ∴______ ∴AE=CE=CF=AF ∴四边形AFCE是菱形（推理依据，______） 【答案】（1）见解析 （2）； ； ；四条边都相等的四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质和菱形的判定即可完成证明． 【小问1详解】 如图：直线为线段的垂直平分线 【小问2详解】 证明：∵平行四边形 ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴，， ∵在和中， ∴ ∴ ∴ ∴四边形AFCE是菱形（推理依据，四条边都相等的四边形是菱形） 故答案为：；；；四条边都相等的四边形是菱形 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法及平行四边形性质和菱形的判定方法． 21. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．为激发学生的探索热情，我校举行了航天知识问答活动，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：．，，， 八年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，，． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由(写出一条即可)； （3）我校八、九年级共有人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 【答案】（1），，； （2）九年级成绩相对更好，理由见解析； （3）人． 【解析】 【分析】本题考查统计图的应用、众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． （1）先求出九年级组占比，进而即可得出的值，根据众数和中位数的定义即可得出、的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析求解； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：九年级组占比：， ， 九年级组人数：，组人数：，组人数： ， 八年级出现次数最多， ； 【小问2详解】 九年级成绩相对更好，理由：八九年级平均数一样，九年级的中位数和众数大于八年级中位数和众数； 【小问3详解】 八年级分及以上有人，九年级分及以上有人， （人） 22. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品． （1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ （2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份 （2）购买牛肉面60份 【解析】 【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果； （2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份， 由题意知，， 解得，， ∴， ∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份； 【小问2详解】 解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份， 由题意知，， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴购买牛肉面60份． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 23. 如图，中，，，，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，的面积为y（注：三角形、四边形等封闭图形的面积不能为0）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质； （3）根据图象直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）图象见详解，性质：当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在动点面积问题中的应用，一次函数的性质，利用图象解一元一次不等式等； （1）分类讨论：①当在边上时，此时，②当在边上时，此时，由三角形的面积即可求解； （2）画出图象，根据图象写出性质即可求解； （3）根据图象即可求解； 能画出图象，根据图象写出性质，会利用图象解不等式，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ； ①如图，当在边上时， 此时， ； ②如图，当在边上时， 此时， ； 综上所述：； 【小问2详解】 解：图象如图， 性质：当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象得． 24. 如图，四边形是一个环湖公园的步行道，km，在正东方；在正东方，在的东北方，在北偏东方向． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）小王和小张同时从A出发，小王沿→→方向跑，小张沿→→方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点？（参考数据：，） 【答案】（1）km （2）小张先到达终点 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线间的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，即可解答； （2）根据题意可得：，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，过点作，交延长线于点， 由题意得：， ， 在中，km，， km， km， 在中，， km， 的长度为km； 【小问2详解】 解：小张先到达终点， 理由：由题意得：， 在中，，km， km， 中，km，， km， km， 小王跑的路程km， 小张跑的路程km， 两人速度相同， 小张先到达终点． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； （3）点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）4 （3）点的坐标为：或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， 故面积有最大值，当时，面积的最大值为4； 【小问3详解】 解：当点在轴上方时， 所以平行于x轴 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在轴下方时， 设交轴于点，设点， ， 则， 则， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 26. 已知点D在外，，，射线与边交于点H，，垂足为E，． （1）如图1，若，，求； （2）如图2，求证：； （3）如图3，若，，点F在线段BC上，且，点M，N分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由正切函数得，再由直角三角形的特征得，即可求解； （2）过作交的延长线于，由矩形的性质及直角三角形的特征得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求证； （3）作点关于对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由对称的性质得，，由等腰三角形的性质得，当、、、四点共线时，取得最小值为，此时，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过作交的延长线于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ； 【小问3详解】 解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 当、、、四点共线时，取得最小值为， 此时， 是等边三角形， ， ， ， 取得最小值为， 取得最小值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定及性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握相关的判定方法及性质，能利用轴对称的性质找出取得最小值的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$