精品解析：2024学年上海市彭浦第三中学中考三模数学试题（B）

2024学年上海市彭浦第三中学九下三模测试卷B （满分：150分 考试时间：100分钟） 测试说明：本卷为拓展提高卷，难度极大 一.选择题（共24分） 1. 某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（　　） A. a＜b B. a＝b C. a＞b D. 无法判断 2. 对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B. 顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C. 顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D. 顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 4. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 5. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（    ） A. B. 5或 C. D. 或3 6. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二.填空题（共48分） 7. 化简___________． 8. 把直线向左平移3个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为______ 9. 如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是_____． 10. 数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数，现有三个数：6，4，，若要组成调和数，则的值为______． 11. 已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是_____ 12. 如图，四边形是正方形，在轴正半轴上，在轴负半轴上．反比例函数在第二象限的图象与分别交于点．若，则线段的长度为________． 13. 如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是_____________． 14. 如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，如果以E为圆心，r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为_____． 15. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线BD上，联结AE，作EF⊥AE交边BC于F，若BF＝，那么BE＝_____． 17. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，的值为_________． 18. 如图，在中，，，，点、分别是边、上一点，，，把绕着点旋转得到△（点、分别与点，对应），如果点，，在同一直线上，那么的长为________． 三.解答题（共78分） 19. 计算： 20. 解不等式组：并写出其整数解 21. 如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）． （1）在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； （2）如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 22. 对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图像来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，________________； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图像． （4）画直线，由此可知的实数根有________个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是________________． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，∠EAF＝∠BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F． （1）求证：△ABE∽△FDA； （2）联结BD、EF，如果DF2＝AD•AB，求证：BD＝EF． 24. 如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． （1）如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； （2）如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接，如果与相似，求的长． 25. 已知：如图（1），在平面直角坐标中，边长为的等边的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上；另一等腰的顶点在第四象限，，，现有两动点、分别从、两点同时出发，点以每秒个单位的速度沿向点运动，点以每秒个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止． （1）求在运动过程中形成的的面积S与运动的时间之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）在等边的边上（点除外）存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标； （3）如图（2），现有∠，其两边分别与、交于点、，连接；将绕着点旋转（旋转角），使得、始终在边和边上；试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年上海市彭浦第三中学九下三模测试卷B （满分：150分 考试时间：100分钟） 测试说明：本卷为拓展提高卷，难度极大 一.选择题（共24分） 1. 某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（　　） A. a＜b B. a＝b C. a＞b D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案． 【详解】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54， 所以中位数a＝54， 新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化， 所以平均数b＞54， 则b＞a， 故选：A． 【点睛】此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 2. 对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题； ②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的判断，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键． 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B. 顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C. 顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D. 顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可． 【详解】 观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确； B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确； C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确； D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误． 故答案选：D． 【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键． 4. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 5. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（    ） A. B. 5或 C. D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一次函数与轴交点问题，读懂轴点函数的定义是解题的关键．根据题意，用表示出点、的坐标，代入，解出即可得到答案． 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 6. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示， 由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴， ∴∠DAO+∠AOD=180°， ∴∠DAO=90°， ∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠OAB=∠DAC， 在△OAB和△DAC中，， ∴△OAB≌△DAC（AAS）， ∴OB=CD， ∴CD=x， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1， ∴y=x+1（x＞0）． 考点：动点问题的函数图象 二.填空题（共48分） 7. 化简___________． 【答案】+1 【解析】 【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可. 【详解】因为, 所以, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 8. 把直线向左平移3个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象及性质．根据题意利用图象平移性质及截距定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线向左平移3个单位后， ∴，即： ∵在y轴上的截距为5， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，连接AD、AC，作CE⊥AD于点E，由每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC、CD、AD的长，然后即可得到△ACD的形状，再利用等积法，即可求得CE的长． 【详解】解：连接AD、AC，作CE⊥AD于点E， ∵小正方形的边长都为1， ∵AD=,AC=,CD= ∵，即AD2=AC2+CD2 ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴， 即， 解得，CE＝， 即点C到线段AB所在直线的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数，现有三个数：6，4，，若要组成调和数，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据新定义分类讨论列式求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ①当时， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； ②当时， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：或； 【点睛】本题考查新定义的运算，解分式方程，解题的关键是读懂新运算列式求解． 11. 已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵点G是等边△ABC的重心， ∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AG＝2GN， 设AB＝3a，则AN＝×3a＝a， ∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称， ∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC， ∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°， ∴△AQH是等边三角形， ∴AQ＝HQ＝AH＝AB＝a， ∴AP＝a， ∴它们重叠部分为边长＝QH的正六边形， ∴S1＝，S2＝ ， ∴＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，中心对称，等边三角形的面积的计算，正多边形面积的计算．能根据题意正确的作出图形是解题的关键． 12. 如图，四边形是正方形，在轴正半轴上，在轴负半轴上．反比例函数在第二象限的图象与分别交于点．若，则线段的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据反比例函数图像的对称性结合题意得到∠COE=30°，设OE=a，则CE=，OC=，即可确定E点坐标，然后将E点坐标代入求得a的值即可． 【详解】解：∵，反比例函数图像关于y=-x对称 ∴∠COE= 设OE=a（a＞0），则| CE | =，| OC | =， ∴E点坐标为（-，） 反比例函数在第二象限的图象与交于点E ∴，解得a=4或a=-4（舍去）． 故填4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图像的对称性是解答本题的关键． 13. 如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AE⊥O1B于E，由锐角三角函数和勾股定理可求AO1=13x=，可求O2H=1，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥O1B于E， ∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点， ∴O1O2垂直平分AB， ∴AH＝BH＝2， ∵sin∠AO1B＝， ∴设AE＝12x，AO1＝13x， ∴O1E＝＝5x， ∴BE＝8x， ∵AE2+BE2＝AB2， ∴144x2+64x2＝16， ∴x＝， ∴AO1＝13x＝， ∴O1H＝＝， ∴O2H＝1， ∴O2A＝＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相交两圆的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 14. 如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，如果以E为圆心，r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，根据直角三角形的性质得到EG＝AB＝5，根据三角函数的定义得到CH＝BC＝CD＝5，推出点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE＝k，AE＝2k，得到BE＝2，根据勾股定理得到BH＝＝5，求得EH＝BH﹣BE＝3，于是得到结论． 【详解】解：设AB的中点为G， 连接EG，延长BE交CD于H， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴EG＝AB＝5， ∵在正方形ABCD中，∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝∠ABE+∠CBH＝90°， ∴∠CBH＝∠BAE， ∴cot∠BAE＝cot∠CBH＝＝2， ∴CH＝BC＝CD＝5， ∴点H是以CD为直径的圆的圆心， 设BE＝k，AE＝2k， ∴AB＝k＝10， ∴k＝2， ∴BE＝2， ∵∠C＝90°，BC＝10，CH＝5， ∴BH＝ ＝5， ∴EH＝BH﹣BE＝3 ， ∵r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交， ∴r的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】此题利用正方形的性质，考查两圆相交，圆心距与半径的关系． 15. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线BD上，联结AE，作EF⊥AE交边BC于F，若BF＝，那么BE＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】联结AF，过点E作EH⊥BC于H，通过勾股定理可求得和的长度，从中可知点A，点B，点F，点E四点共圆，因此∠DBC＝∠EAF，利用三角函数的比值关系可求得，设EH＝3x，BH＝4x，利用勾股定理列出方程求得EH和BH的长度，再次利用勾股定理即可求出BE的长． 【详解】解：如图，联结AF，过点E作EH⊥BC于H， ∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴BD＝， ∵AB＝3，BF＝， ∴AF＝， ∵， ∴点A，点B，点F，点E四点共圆， ∴∠DBC＝∠EAF， ∴sin∠DBC＝sin∠EAF＝， ∴， ∴EF＝， ∵tan∠DBC＝， ∴， 设EH＝3x，BH＝4x， ∵EF2＝FH2+EH2， ∴＝9x2+（4x﹣）2， ∴x＝或x＝（不合题意舍去）， ∴EH＝，BH＝3， ∴BE＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角函数的定义，圆的性质，熟悉掌握图形的性质特点，合理作出辅助线是解题的关键． 17. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，等腰分①，②，两种情形求解作答即可． 【详解】解：∵凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”， ∴和为等腰三角形． ∵， ∴等腰分①，②，两种情形求解； ①当时，如图1，作于， 图1 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，即，， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，过点D作于，作，交的延长线于点F， 图2 ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理①，， 综上，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正切，正弦，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正切，正弦，矩形的判定与性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，点、分别是边、上一点，，，把绕着点旋转得到△（点、分别与点，对应），如果点，，在同一直线上，那么的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形分别求解：如图1中，当点在线段上时，解直角三角形求出，即可．如图2中，当在线段上时，同法可得． 【详解】解：如图1中，当点在线段上时， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图2中，当在线段上时，同法可得 综上所述，满足条件的的长为或． 故答案为或． 三.解答题（共78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是算出各个三角函数值． 先将算出，再代入算出每一个特殊角的三角函数化简，再计算负整数指数幂，最后合并即可． 【详解】解：如图，作两个底角为的等腰三角形，过点B作交的延长线于点D， ， ， 设， ， ； 如图，作顶角为的等腰三角形，平分，过点D作交的延长线于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． ∴ ． 20. 解不等式组：并写出其整数解 【答案】不等式组的解集为；整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则整数解为0，1，2，3． 21. 如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）． （1）在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； （2）如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）如图所示，作于点，于点，设与，交于点，根据梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质可计算出出点运动时，点的位置，可得,结合锐角三角函数的计算方法，，然后进行分类讨论：当时；当时；当时；当；图形结合，根据梯形面积的计算方法，直角三角形面积的计算方法列式求解即可； （2）根据题意可得，由（1）可知，，且，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；第三种情况，当时；根据等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，作于点，于点，设与，交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵梯形中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴当时，点和点重合， 第一种情况，当时，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； 当正方形的边恰好经过点时，点于点重合，则此时，如图所示， ∴，， ∴，即秒时点与点重合， 第二种情况，当时，，如图所示， ∴由上述证明可得，， ∴， ∴， ∴ ； 当点与点重合时，如图所示， ∵， ∴， 第三种情况，当时，如图所示，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 当点与点重合时，如图所示， ∴， 第四种情况，当时，如图所示，， ∴，，， ∴ ； 综上所述，与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围为 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴由（1）可知，，且， ∴， 第一种情况，当时，如图所示， ∴， 解得，； 第二种情况，当时，如图所示，作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 第三种情况，当时，如图所示，作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，动点问题，等腰梯形的性质，分段函数的运用，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握分段函数的计算方法，梯形面积的计算公式，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图像来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，________________； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图像． （4）画直线，由此可知的实数根有________个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是________________． 【答案】（1）函数y=2x（|x|-2）的图像与直线y=1的交点的横坐标就是方程2x（|x|-2）=1的实数根． （2）2x2-4x； （3）如图： （4）3；（5）-2＜m＜0 【解析】 【分析】（1）函数y=x（|x|-2）的图像与直线y=的交点的横坐标就是方程x（|x|-2）=的实数根． （2）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可，注意x的取值范围； （3）通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图像即可； （4）根据两个函数图像交点的个数，找出方程解的个数； （5）根据两个函数图像相交产生的交点，比较交点横坐标的特征，加以分析即可求得． 【详解】解：（1）略 （2）当x＞0时，y=2x（|x|-2）=2x（x-2）=2x2-4x， 故答案为2x2-4x； （3）略 （4）如（3）题图，直线y=1的图像与y=2x（|x|-2）的图像有三个交点， 则可知方程2x（|x|-2）=1的实数根有 3个． 故答案为3； （5）根据题意画出图像： 可知：直线y=m与函数y=2x（|x|-2）的交点的横坐标x1＜0＜x2＜x3，且x2+x3=2，x1＜-2， ∴x1+x2+x3＜0， ∴-2＜m＜0， ∴关于x的方程x（|x|-2）=即2x（|x|-2）=m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是-2＜m＜0， 故答案为：-2＜m＜0． 【点睛】本题考查了方程与函数的关系．函数表达式就可以看成是方程，一元方程，两端都可以看成是函数，两个图像的交点就是方程的解．方程和函数的相互转化，深入的渗透在初中数学的解题过程中，需要同学们加强学习． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，∠EAF＝∠BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F． （1）求证：△ABE∽△FDA； （2）联结BD、EF，如果DF2＝AD•AB，求证：BD＝EF． 【答案】（1）∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD， ∵DF平分∠HDC， ∴∠HDF＝∠HDC， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD＝∠CDH， ∴∠HDF＝∠EAF， ∴∠HDF＝∠DAF+∠BAE， 又∵∠HDF＝∠DAF+∠F， ∴∠BAE＝∠F， 同理：∠DAF＝∠E， ∴△ABE∽△FDA； （2）作AP平分∠DAB交CD于点P， ∴∠DAP＝∠BAD， ∵∠HDF＝∠CDH，且∠BAD＝∠CDH ∴∠HDF＝∠DAP， ∴DF∥AP， 同理：BE∥AP， ∴DF∥BE， ∵△ABE∽△FDA， ∴， 即BE•DF＝AD•AB， 又∵DF2＝AD•AB， ∴BE＝DF， ∴四边形DFEB是平行四边形， ∴BD＝EF． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠HDF＝∠HDC．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．求得∠BAD＝∠CDH．等量代换得到∠BAE＝∠F，同理∠DAF＝∠E，于是得到结论； （2）作AP平分∠DAB交CD于点P，由角平分线的定义得到∠DAP＝∠BAD，求得∠HDF＝∠DAP，推出DF∥AP，同理BE∥AP，根据相似三角形的性质得到BE＝DF，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． （1）如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； （2）如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接，如果与相似，求的长． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）如图①，连接，由正六边形，可得，，证明是等边三角形，则，，，由Q为弧的中点，可得，，则，由圆周角定理可得，，如图①，作的延长线于，则，，设，则，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，根据，计算求解即可； （2）如图②，在上取点，使，连接，证明是等边三角形，则，，，，证明，则，即，可求，由点G不与点C、D重合，可得； （3）由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；①点在边上时，如图③，由题意知，，当与相似，分，两种情况求解；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；②当点在边的延长线上，如图④，同理（3）①，求解作答即可． 【小问1详解】 解：如图①，连接， ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵Q为弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 如图①，作的延长线于， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴的正弦值为； 【小问2详解】 解：如图②，在上取点，使，连接， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵点G不与点C、D重合， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解； ①点在边上时，如图③， 由题意知，， ∴当与相似，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或均不符合要求，舍去； ②当点在边的延长线上，如图④， 当时，，即， 解得，， 同理，解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， 同理，解得，（不符合要求，舍去）或， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质，并分情况求解是解题的关键． 25. 已知：如图（1），在平面直角坐标中，边长为的等边的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上；另一等腰的顶点在第四象限，，，现有两动点、分别从、两点同时出发，点以每秒个单位的速度沿向点运动，点以每秒个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止． （1）求在运动过程中形成的的面积S与运动的时间之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）在等边的边上（点除外）存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标； （3）如图（2），现有∠，其两边分别与、交于点、，连接；将绕着点旋转（旋转角），使得、始终在边和边上；试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）（），（） （2）或或或 （3）4 【解析】 【分析】（1）由于点从点运动到点需要秒，点从点需要秒，所以分两种情况讨论：①；②．针对每一种情况，根据点所在的位置，由三角形的面积公式得出的面积与运动的时间之间的函数关系，并且得出自变量的取值范围； （2）如果为等腰三角形，那么分点在上，点在上，点在上，分别讨论，得出结果； （3）如果延长至点，使，连接，则由可证，得出，再由证出，得出，得出的周长即可． 【小问1详解】 解：过点作于点．如图1所示： ，， ． ，， ． 在中，， ①当时，，，． 过点作于点． 在中 ， ， ， 即； ②当时，如图2所示： ，． ，， ． ， ③当时，、重合，不能构成； 综上所述：当时，；当时，； 【小问2详解】 解：①点在上， 如图，当以点D为顶点时，则，过点D作,垂足为H， ， ， ， ， ； 当以点O为顶点时，则， ； 当以点C为顶点，时， 点D与点A重合（舍去） ②点在上， ， 只存在， 如图，过点D作,垂足为H，则， ， ， ， ； ③点在上， 如图，，则点D在的垂直平分线上， 设的垂直平分线与x轴交于点P， 则， ∵， ∴是等边三角形， 过点D作于M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上，点的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点，使，连接；如图3所示． 在和中，， ， ，． ， 在和中，， ， ． ． 的周长不变，其周长为4． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．本题难度很大．解题的关键是证明三角形全等，注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $