2024年全国一卷新高考数学题型细分2-6解三角形大题1 基础

2024年全国一卷新高考题型细分2-6 ——解三角形——大题1 基础 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《解三角形——大题》主要分类有：正余面公式，角度计算 ，其他基础，中线，角平分线，其他中下，三角函数最值分析，基本不等式最值分析，导数范围分析等，大概75道题。 解三角形——大题1基础（正余面公式）： 1. （2024年J01全国一卷）15. 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B；（[endnoteRef:2]） （2）若的面积为，求c． （正余面公式，基础；） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. ] 2. （2024年湘J04师大附中）17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小；（[endnoteRef:3]） （2）若，的面积，求的周长. （正余面公式，基础；） [3: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解； （2）由，求得，结合余弦定理，得到，进而求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，可得， 即， 由正弦定理得，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：因为的面积，可得，可得， 又因，由余弦定理， 可得，所以， 则，所以， 所以的周长为. ] 3. （2024年J02全国二卷）15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A．([endnoteRef:4]) （2）若，，求的周长． （正余面公式，基础；） [4: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 ] 4. （2024年闽J01厦门一模，J06某市期末）17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求；（[endnoteRef:5]） （2）若，且的周长为，求的面积． （正余面公式，基础；） [5: 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有，再由三角形内角性质即可求边长； （2）应用余弦定理及已知得且，进而求得，最后应用面积公式求面积. 【小问1详解】 由题设，由正弦定理有， 所以，而，故，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知，有，可得， 又，即， 所以，故. ] 5. （2024年冀J01某市一模）16. 已知△的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求证：；（[endnoteRef:6]） （2）若的面积为，且，求． （正余面公式，基础；） [6: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用余弦定理化角为边，再结合余弦定理及二倍角的余弦公式即可得解； 方法二：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解； （2）方法一：由（1）结合余弦定理及平方关系求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 方法二：利用正弦定理结合（1）中结论求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 证明：（方法一）由余弦定理，得， 又∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，∴； （方法二）由正弦定理，得， ∴， ∵，，为△的内角，∴， ∴， ∴， 即， 又∵，∴； 【小问2详解】 （方法一）由（1）可知， ∵，∴，即， ∴， ∵，∴ ，， ∴， ∴． （方法二）由正弦定理，得，即， ∴，又∵，∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． ] 6. （2024年鲁J05日照一模）15. 在锐角中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知且， （1）求角B及边b的大小；（[endnoteRef:7]） （2）求的值． （正余面计算，基础；） [7: 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边换角即可得，再利用余弦定理即可得； （2）利用余弦定理求得，再结合同角三角函数关系和两角和的正弦公式即可得到答案. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理得， 由于锐角三角形中，所以， 而是锐角，所以. 由余弦定理得. 【小问2详解】 由余弦定理得，而是锐角， 所以，所以. . ] 7. （2024年粤J18执信二调）17. 在中，分别是的内角所对的边，且. （1）求角的大小；（[endnoteRef:8]） （2）若，，求边. （正余面公式，基础；） [8: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设和正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求得角； （2）由题设条件得到，利用正弦定理替换即可得到边长度. 【小问1详解】 由和正弦定理可得：，整理得：， 由余弦定理得：， 因， 故得：. 【小问2详解】 由，可得：， 又由正弦定理：可得：， 由（1）知，代入解得：. ] 8. （2024年粤J19执信冲刺）17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小；([endnoteRef:9]) （2）若，，求的面积． （正余面公式，基础；） [9: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用乘法公式及余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可得到，最后由辅助角公式计算可得； （2）由正弦定理可得，由余弦定理求出、，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以，所以，即， 又，所以，所以，则. 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得，又，由， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以. ] 9. （2024年浙J25温州二适）15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求；（[endnoteRef:10]） （2）若，，求的面积． （正余面公式，基础；） [10: 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角. （2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由 得，而为三角形内角， 故,得，而为三角形内角，或 【小问2详解】 由得， 又，∴， ，故 ， 由（1）得，故， ∴，而三角形内角， ∴. 又即， 又，而为三角形内角，故， . ] 10. （2024年闽J20莆田三模）15．在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：.（[endnoteRef:11]） (2)若，，求的面积. （正余面公式，基础；） [11: 15．(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可； （2）利用余弦定理及（1）的结论，三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）根据正弦定理知， 整理得， 因为， 所以， 由正弦定理可得； （2）因为，所以， 由余弦定理可得，即， 则， 因为，所以，所以， 则，即， 解得或， 当时，，此时的面积， 当时，，此时的面积. 所以的面积为或. ] 11. （2024年闽J24漳州四检）15．记的内角的对边分别为，已知. (1)若成等差数列，求的面积；（[endnoteRef:12]） (2)若，求.（涉后数列） （正余面公式，基础；） [12: 15．(1) (2)4 【分析】（1）根据等差数列的性质得到，再利用余弦定理求得的值，进而利用三角形的面积公式求解； （2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解. 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 又，所以①， 在中，由余弦定理可得：， 又，所以②， 由①②得， 所以的面积. （2）因为，所以， 又因为且，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. ] 12. （2024年冀J02某市二模）15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C的大小；（[endnoteRef:13]） （2）若，，求的面积． （正余面公式，基础；） [13: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，即可求解； （2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 ，且， 所以； 【小问2详解】 根据正弦定理，， 所以或， 当时，，，此时，不成立， 当时，此时，则， 的面积. ] 13. （2024年苏J24苏锡常镇一调）15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）证明：；([endnoteRef:14]) （2）若，求的周长. （正余面公式，基础；） [14: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证； （2）利用倍角公式求得，然后利用正弦定理可得 【小问1详解】 因为 或（舍），. 【小问2详解】 由，结合（1）知，则，得 ， ， ， 由正弦定理得 的周长为. ] 14. （2024年湘J21一起考一模）15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）证明：是锐角三角形；（[endnoteRef:15]） （2）若，求的面积． （正余面公式，基础；） [15: 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可； （2）由两角和的正弦公式求出，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 证明：因为， 所以由正弦定理得，整理得． 则，因为，所以， 因为，所以，因为， 所以，所以是锐角三角形． 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 在中，由正弦定理得，即，所以， 所以的面积为． ] 15. （2024年冀J13示范高中）15. 在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A；([endnoteRef:16]) （2）线段上一点D满足，，求的长度． （正余面公式，基础；） [16: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）根据角之间的关系及正弦定理求出，由同角三角函数间的基本关系求出即可得解. 【小问1详解】 由结合正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 如图， 由题设，令， 则，，， 在△中， 即， 所以，故， 所以，又，， 解得. 在等腰中，取中点，连接，则， 则. ] 16. （2024年粤J110珠海一中冲刺）15．对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间；（[endnoteRef:17]） (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． （正余面公式，基础；） [17: 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，根据复合函数的单调性求出结果； （2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1） 令，则，函数为增函数， 当时函数为增函数， 即，得， 所以函数的单调增区间是． （2）（2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． ] 17. （2024年湘J49长沙长郡三模）15．在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：.([endnoteRef:18]) (2)若，，求的面积. （正余面公式，基础；） [18: 15．(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可； （2）利用余弦定理及（1）的结论，三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）根据正弦定理知， 整理得， 因为， 所以， 由正弦定理可得； （2）因为，所以， 由余弦定理可得，即， 则， 因为，所以，所以， 则，即， 解得或， 当时，，此时的面积， 当时，，此时的面积. 所以的面积为或. ] 18. （2024年浙J30嘉兴二模）15．在中，内角所对的边分别是，已知. (1)求的值；（[endnoteRef:19]） (2)若为锐角三角形，，求的值. （正余面公式，基础；） [19: 15．(1)或； (2). 【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解； （2）解法一，由，利用正弦定理边化角得，结合和，化简运算并结合平方关系求得答案； 解法二，根据条件利用余弦定理可得，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案. 【详解】（1）由题可得，即， 解得或. （2）解法一：因为，由正弦定理得，即， 即， 因为，所以； 所以，又， 且为锐角三角形，解得. 解法二：由余弦定理得，因为，所以，即， 所以，所以， 又，所以，所以. ] 19. （2024年苏J36七市三调）15．在中，角的对边分别为． (1)求；（[endnoteRef:20]） (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． （正余面公式，基础；） [20: 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. （2）因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. ] 20. （2024年冀J46石家庄二检）16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，. (1)求函数的最大值;（[endnoteRef:21]） (2)若，求的面积. （正余面公式，基础；） [21: 16．(1) (2) 【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得，再结合三角函数的值域计算即可求得； （2）由题中条件计算可得，再由正弦定理得，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式计算即可求得． 【详解】（1） 因为，所以， 所以当，即时，有最大值； （2）因为，所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得：， 所以，， 又因为，所以， 所以， 由余弦定理有：， 即，所以， 所以． ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$