精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

华东师大二附中2023-2024学年第二学期期末质量检测 高二数学 （满分150分，时间120分钟） 命题人：刘初喜 审题人：阮超峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 1. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为函数的定义域为. 故答案为：. 2. 已知复数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得. 故答案为：. 3. 在 的展开式中，常数项为_________ 【答案】20 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故答案为：20 4. 已知平面直角坐标系中，，则三角形面积为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中画出三角形，将三角形补成梯形，再用梯形面积减去剩余两个小三角形面积即可. 【详解】在平面直角坐标系中画出三角形，将三角形补成梯形，如图： ，. 故答案为：5. 5. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20， 可得np=30，npq=20，q=，则p=， 故答案为． 点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力． 6. 已知向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积定义求解. 【详解】解得 故答案为：. 7. 已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则_________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】先得到甲乙的中位数，可得到，再利用平均数相同即可求解 【详解】通过茎叶图可发现甲的中位数为，乙的中位数为 因为两组数据的中位数相同，则， 又因为平均数相同，则， ∴． 故答案： 8. 已知为锐角，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用角变换结合切化弦求解. 【详解】， ， 故答案为：. 9. 已知，，，那么____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 10. 设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值，可得答案. 【详解】设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为， 不妨设相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为， 轴所在直线为，小圆锥母线所在直线为，轴截面； 大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上． 由题意，，可知, 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为； 当移动到，移动到时，可得与所成角的最大，最大值为， 所以，与与所成角的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可． 【详解】椭圆方程为，双曲线方程为， 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标，，正六边形的一个顶点 ， ， 椭圆离心率， 同时，双曲线的渐近线的斜率为，即， 可得双曲线的离心率为． 故答案为． 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力属于中档题． 12. 在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是__________． 【答案】11 【解析】 【分析】由题意可知连续3项共有8种情况，然后分类讨论，分，和根据题意讨论即可. 【详解】因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情况， 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”， 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”， 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值为11， 故答案为：11 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 二、选释题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 13. 下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用正切函数的性质判断；对于B，由单调区间不能合并判断；对于C，利用函数的奇偶性定义判断；对于D，利用奇偶性定义及导数法判断. 【详解】解：对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意； 对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意； 对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意； 对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意. 故选：D. 14. 数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，任取一个数字，经过运算，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】根据题意，任取一个数字，经过一步之后为，经过第二步之后为， 再变为，再变为， ，所以， 所以. 故选：D. 15. 设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ） A. 只有纯虚数根 B. 只有实数根 C. 有两个实数根，两个纯虚数根 D. 既没有实数根，也没有纯虚数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案. 【详解】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为， 所以，即， 所以，所以，同号， 所以， 所以， 令，所以，即 因为， 所以， 所以不可能为纯虚数，也不可能为实数， 所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根 故选：D 16. 对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”；②； ③对任意，都有． 则称为集合A上的距离，记为．对于命题P、命题Q，下列说法正确的是（ ） 命题P：为；命题Q：为 A. 命题P是真命题，命题Q是假命题 B. 命题P是假命题，命题Q是真命题 C. 命题P和命题Q都是真命题 D. 命题P和命题Q都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义对命题分别判断即可得出答案. 【详解】对于命题，当时，①，即，若， 则，所以“”的充要条件为“”. ②，成立， ③对任意，，成立，故命题为真命题； 对于命题，当时，，①即，即， 此时若，则，故命题为假命题. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 17. 已知函数. （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式变形为，然后解不等式，即可得出函数的单调递增区间； （Ⅱ）由，，结合题意得出，即可求出实数的最小值. 【详解】（Ⅰ）， 因为的单调递增区间为， 令，得. 所以函数的单调递增区间为； （Ⅱ）因为，所以. 又因为，的最大值为， 所以，解得，所以的最小值为. 【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题. 18. 6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． （1）从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 【答案】（1）分布列见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，随机变量的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解； （2）根据题意 ，这人的合计得分恰为分，得到，结合乘公比错误相减法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，随机变量的取值为， 可得， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以期望为. 【小问2详解】 解：因为这人的合计得分恰为分， 则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件， 所以， 设，则， 两式相减得， 所以，即. 19. 如图所示，在底半径为、高为（为定值，且）圆锥内部内接一个底半径为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）. （1）设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示、； （2）试分别求、的最大值、，并比较、的大小. 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】（1）作出圆锥的轴截面，截圆柱得一内接矩形，设， 由相似形得出的关系，竖放，，横放，，由体积公式计算可得； （2）由导数求得的最大值，并比较可得． 【小问1详解】 如图是圆锥的轴截面截圆柱得一内接矩形，设， 根据三角形相似得，. ①若圆柱“竖放”，则 ②若圆柱“横放”，则 【小问2详解】 ①，由，解得 当时，，递增；当时，，递减； ②由解得 当时，，递增；当时，，递减； 20. 满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． （1）若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； （2）求证：集合的包络曲线E为：； （3）在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）圆心到直线的距离等于1，得到方程，求出； （2）在上任取一点，求出在该点处的切线方程，令直线族中，得到直线，而对于任意，都是抛物线在点处的切线，证明出结论； （3）设，求出抛物线在点处的切线方程为，同理，抛物线在点处的切线方程为，从而得到直线的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，得到，求出，将其代入，得到方程，求出或，求出答案. 【小问1详解】 由定义可知，与相切， 即圆心到直线的距离等于1， 即，故， 【小问2详解】 ， 在上任取一点，在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在处的切线方程为， 即， 令直线族中，故， 则直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对于任意，都是抛物线在点处的切线， 所以集合的包络曲线； 【小问3详解】 设， 则抛物线在点处的切线方程为， 即， 故， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 又两切线交点为， 所以，所以直线的方程为， 联立，得， 故， 因为，所以， 即， ， 由于，所以， 又因为，所以，所以， 故， 又点在直线上，所以， 解得或， 故点或 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 21. 函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． （1）求证：奇函数； （2）当a变化时，求函数不动点个数； （3）若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【小问1详解】 ，故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， 【小问2详解】 由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. 【小问3详解】 当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华东师大二附中2023-2024学年第二学期期末质量检测 高二数学 （满分150分，时间120分钟） 命题人：刘初喜 审题人：阮超峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 1. 函数的定义域为__________． 2. 已知复数，则______. 3. 在 展开式中，常数项为_________ 4. 已知平面直角坐标系中，，则三角形面积为__________． 5. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 6 已知向量，且，则__________． 7. 已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则_________． 8. 已知为锐角，，则__________． 9. 已知，，，那么____________． 10. 设为空间中三条不同直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为__________． 11. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______． 12. 在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是__________． 二、选释题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 13. 下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（ ） A. B. C. D. 15. 设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ） A. 只有纯虚数根 B. 只有实数根 C. 有两个实数根，两个纯虚数根 D. 既没有实数根，也没有纯虚数根 16. 对于集合A中任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”；②； ③对任意，都有． 则称为集合A上的距离，记为．对于命题P、命题Q，下列说法正确的是（ ） 命题P：为；命题Q：为 A. 命题P是真命题，命题Q是假命题 B. 命题P是假命题，命题Q是真命题 C. 命题P和命题Q都是真命题 D. 命题P和命题Q都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 17. 已知函数. （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 18. 6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． （1）从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 19. 如图所示，在底半径为、高为（为定值，且）的圆锥内部内接一个底半径为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）. （1）设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示、； （2）试分别求、的最大值、，并比较、的大小. 20. 满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． （1）若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； （2）求证：集合的包络曲线E为：； （3）在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 21. 函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． （1）求证：为奇函数； （2）当a变化时，求函数不动点个数； （3）若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$