精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

巴楚县第一中学2023-2024学年第二学期 高一年级 期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 班级:___________姓名：______________ 考号：___________ 一、单选题（每道题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A B. C. D. 3. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. －16 B. 16 C. D. 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，关于虚轴的对称点为，向量对应的复数为，则复数的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）. A. 存在点P，使得与异面 B. 三棱锥的体积与P点位置无关 C. 若P为中点，三棱锥的体积为 D. 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形 8. 老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（ ） A. 60s B. 80s C. 100s D. 120s 二、多选题（每道题6分，若有2个选项正确，选对一个得3分，若有3个选项正确，选对一个得2分，错选不得分.共18分） 9. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 的内角的对边分别为，，如果有一解，则的值可能为（ ） A B. 7 C. D. 11. 已知复数z的虚部大于0，且，则（ ） A. B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为______，______ 13. 已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______. 14. 已知是关于的方程的一个根，则_____. 四、简答题（共77分） 15. 已知复数. （1）若z为实数，求m的值. （2）若z为纯虚数，求m的值. 16. 如图，在直角梯形中，，，，以边所在直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体. （1）求该几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求外接圆周长； （2）若，求的周长. 18. .已知点， （1）设向量在上的投影向量为，求的值； （2）证明：四边形是直角梯形. 19. 如图，某海产养殖户承包一片靠岸水域，AB，AC为直线海岸线，，，. （1）求B与C之间的直线距离. （2）在海面上有一点D（A，B，C，D在同一平面上），沿线段DB和DC修建养殖网箱，若DB和DC上的网箱每米可获得30元的经济收益，且，求这两段网箱获得的最高经济总收益. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巴楚县第一中学2023-2024学年第二学期 高一年级 期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 班级:___________姓名：______________ 考号：___________ 一、单选题（每道题5分，共40分） 1. （ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法和乘方运算求解. 【详解】解：. 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算求解. 【详解】， 故选：C 3. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理知：得. 故选：B 4. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. －16 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解. 【详解】由题意得，， 因为B，C，D三点共线， 所以， 则，得. 故选：A. 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 则的面积为. 故选：A 6. 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，关于虚轴的对称点为，向量对应的复数为，则复数的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到点坐标，即可得到点坐标，从而得到复数，再由复数代数形式的除法运算化简，即可判断其实部. 【详解】因为向量对应的复数是， 所以，则关于虚轴的对称点为，又向量对应的复数为， 所以， 所以，所以复数的实部为. 故选：D 7. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）. A. 存在点P，使得与异面 B. 三棱锥的体积与P点位置无关 C. 若P为中点，三棱锥体积为 D. 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形 【答案】B 【解析】 【分析】证明与共面判断选项A；由，计算并判断选项BC；作出正确截面判断选项D. 【详解】正方体中，， 与都在平面内， 所以与不可能异面，A选项错误； 三棱锥，底面积， 棱锥的高，则， 由，所以三棱锥的体积为定值，与P点位置无关， B选项正确，C选项错误； 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面梯形，D选项错误. 故选：B. 8. 老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（ ） A. 60s B. 80s C. 100s D. 120s 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s）， 则，. 由题意得， 由余弦定理， 得， 解方程得或（舍去）. 故选：C 二、多选题（每道题6分，若有2个选项正确，选对一个得3分，若有3个选项正确，选对一个得2分，错选不得分.共18分） 9. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量，，，利用向量的线性运算和数量积运算逐项判断. 【详解】解：由题意得，. 因为，，所以与不垂直. 因为，所以. 故选：ABD 10. 的内角的对边分别为，，如果有一解，则的值可能为（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理得到，再分、、且三种情况讨论，分别求出的取值范围. 【详解】由正弦定理得：， 所以， 因为，所以， 因为仅有唯一解， 所以，的值确定， 当时，，仅有唯一解，此时， 则， 当时，，仅有唯一解，此时， 当且时，有两解，不符合题意， 综上：或，故符合题意的有ABC． 故选：ABC． 11. 已知复数z的虚部大于0，且，则（ ） A. B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据得到，，再依次判断选项即可. 【详解】设（，，且），则， 得，所以. 所以，所以，，故A错误，B正确， ，故C正确. 因为，所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，故D错误. 故选：BC 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为______，______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接利用投影向量的公式和向量的模的公式，即可求得本题答案； 【详解】因为，所以， 所以，在上的投影向量的坐标， 所以，. 故答案为：； 13. 已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据三角形的性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】根据三角形的性质，只能用长度分别为2，3，4或3，4，6的3根细钢丝围成三角形， 则该三角形最小内角的余弦值为或. 故答案为：或 14. 已知是关于的方程的一个根，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据虚根成对原理可知也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 所以，解得，所以. 故答案为： 四、简答题（共77分） 15. 已知复数. （1）若z为实数，求m的值. （2）若z为纯虚数，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数表示实数条件列方程求参数m即可. （2）根据复数表示纯虚数的条件列方程或不等式求参数m即可. 【小问1详解】 由题意得，得，即. 【小问2详解】 由题意得，得，即. 16. 如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体. （1）求该几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离. 【答案】（1） （2）6. 【解析】 【分析】（1）得到几何体为上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，求出表面积； （2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，作出辅助线，设，根据弧长得到方程，求出，进而得到为等边三角形， 求出最短路径为线段，得到答案. 【小问1详解】 如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. 【小问2详解】 将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环， 因为圆台上下底面半径的关系为， 所以，， 又∵， ∴， ∴， 设，则的弧长， 解得， 连接，为等边三角形， ∴ 所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段， 所以蚂蚁爬行的最短距离为6. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求外接圆的周长； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得，由正弦定理可求外接圆的半径，进而可求外接圆的周长； （2）由余弦定理可得，可求，，进而可求的周长． 【小问1详解】 由题意得，所以. 设外接的半径为R，则，得. 故外接圆的周长为. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 由，得，得， 所以，. 故的周长为. 18 .已知点， （1）设向量在上投影向量为，求的值； （2）证明：四边形是直角梯形. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据投影向量的定义计算解出答案； （2）利用向量的平行和垂直坐标表示，证明四边形是直角梯形. 【小问1详解】 因为向量在上的投影向量为， 所以 【小问2详解】 证明： 所以，又因为没有交点，则 根据点的坐标计算的 因为， 可得，所以四边形是直角梯形. 19. 如图，某海产养殖户承包一片靠岸水域，AB，AC为直线海岸线，，，. （1）求B与C之间的直线距离. （2）在海面上有一点D（A，B，C，D在同一平面上），沿线段DB和DC修建养殖网箱，若DB和DC上的网箱每米可获得30元的经济收益，且，求这两段网箱获得的最高经济总收益. 【答案】（1）100m （2）6000元 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求，再利用正弦定理即可计算. （2）需要获得的最高经济总收益，求这两段网箱和的最大长度，即求的最大值，所以利用余弦定理，基本不等式即可计算最大值. 【小问1详解】 在中，. 由正弦定理， 得. 故B与C之间的直线距离为100m. 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 即， 得， ，即， 当且仅当时，等号成立， 故这两段网箱获得的最高经济总收益为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$