2024年广东省广州市越秀区执信中学中考数学三模试卷

2024年广东省广州市越秀区执信中学中考数学三模试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a6 C．2n÷2n﹣1＝2 D．（a+b）2＝a2+b2 4．（3分）下列说法中，正确的是（　　） A．一组数据4，4，2，3，1的中位数是2 B．反映空气的主要成分（氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%）宜采用折线统计图 C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝2.2，s乙2＝1.3，则乙的射击成绩较稳定 D．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则的长为（　　） A．3 B． C．π D． 7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．6 C．12 D．10 8．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAO的平分线交对角线BD于点E，且AB＝AC＝2，则线段AE的长为（　　） A．1 B． C． D． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），下列结论：①若图象对称轴在y轴左侧，则ac＜0；②x＝2是方程a（3﹣x）2+3b＝bx﹣c的一个根；③若图象与x轴的另一个交点在（4，0）和（5，0）之间，则（b+3a）（b﹣3a）＞4ac；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜c＜a，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确结论的序号为（　　） A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）随着疫情的结束，广州的游客人数越来越多．据统计，2024年“五•一”假期广州接待游客近11040000人次，再创新高．数11040000用科学记数法表示为 　 　． 12．（3分）代数式有意义的条件是 　 　． 13．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根，则的值为 　 　． 14．（3分）若一个正多边形的内角和为1260°，则该正多边形一个外角的度数为 　 　． 15．（3分）如图，正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转，得到AE，连接EC，ED．当点E落在BC的垂直平分线上时，∠CED的度数为 　 　． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且． （1）若BD＝8，则CE的长度是 　 　； （2）线段CE的取值范围是 　 　． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤） 17．（4分）解方程：3x2+x﹣4＝0 18．（4分）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：∠C＝∠D． 19．（6分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），一请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了 　 　名中学生家长，图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为 　 　； （2）将图①补充完整； （3）针对随机调查的情况，小李决定从九（1）班表示赞成的小华、小亮和小丁的这3位家长中随机选择2位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选中的概率． 20．（6分）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 21．（8分）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 22．（10分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°． （1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　 　°； （2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364） 23．（10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，直线l与⊙O相切于点C． （1）尺规作图：过点O作直线m，使得直线m∥AC交劣弧BC于点D，交弦BC于点E，交直线l于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，①求证：∠BCF＝∠BAC；②若AB＝10，BC＝8，求DF的长． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 25．（12分）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 　 　°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 　 　； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长． 参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【解答】解：∵， 故选：C． 2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由三视图可知，这个几何体是三棱柱． 故选：A． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a6 C．2n÷2n﹣1＝2 D．（a+b）2＝a2+b2 【解答】解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意； C、2n÷2n﹣1＝2，故此选项符合题意； D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（3分）下列说法中，正确的是（　　） A．一组数据4，4，2，3，1的中位数是2 B．反映空气的主要成分（氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%）宜采用折线统计图 C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝2.2，s乙2＝1.3，则乙的射击成绩较稳定 D．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 【解答】解：A．一组数据4，4，2，3，1的中位数是3，原说法错误，故本选项不符合题意； B．反映空气的主要成分（氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%）宜采用扇形统计图，原说法错误，故本选项不符合题意； C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝2.2，s乙2＝1.3，则乙的射击成绩较稳定，说法正确，故本选项符合题意； D．对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，原说法错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：解不等式x+5＞2，得x＞﹣3； 解不等式1﹣3x≥x﹣7，得x≤2； ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2． 故选：A． 6．（3分）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则的长为（　　） A．3 B． C．π D． 【解答】解：∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∴的长＝＝π， 故选：C． 7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．6 C．12 D．10 【解答】解： ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12， 即△PCD的周长为12， 故选：C． 8．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵规定时间为x天， ∴慢马所需的时间为（x+1）天，快马所需的时间为（x﹣3）天， 又∵快马的速度是慢马的2倍， ∴可列出方程×2＝． 故选：A． 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAO的平分线交对角线BD于点E，且AB＝AC＝2，则线段AE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝AC，OB＝BD，AC＝BD， ∴AO＝OB， ∵AB＝AC， ∴AB＝AO， ∴△AOB是等边三角形， ∵AE平分∠BAO， ∴AE⊥OB， ∴AE＝AB＝×2＝． 故选：B． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），下列结论：①若图象对称轴在y轴左侧，则ac＜0；②x＝2是方程a（3﹣x）2+3b＝bx﹣c的一个根；③若图象与x轴的另一个交点在（4，0）和（5，0）之间，则（b+3a）（b﹣3a）＞4ac；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜c＜a，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确结论的序号为（　　） A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③ 【解答】解：∵图象经过（1，0）， ∴a+b+c＝0， 若对称轴在y轴的左侧则ab＞0， 当a＞0时，b＞0，则c＜0，此时ac＜0； 当a＜0时，b＜0，则c＞0，此时ac＜0． ①正确． ∵a（3﹣x）2+3b＝bx﹣c， ∴a（3﹣x）2+b（3﹣x）+c＝0， ∵ax2+bx+c＝0的一个根为x＝1， ∴a（3﹣x）2+b（3﹣x）+c＝0的一个根为：3﹣x＝1， 即x＝2． ②正确． 抛物线与x轴两交点之间的距离为：|x1﹣x2|＝＝＞3， ∴b2﹣4ac＞9a2， 即b2﹣9a2＞4ac， ∴（b+3a）（b﹣3a）＞4ac， ③正确． 若0＜c＜a， ∴开口向上，与y轴交于正半轴， ∵a+b+c＝0， ∴b＝﹣a﹣c， 则对称轴x＝﹣＝＜1， ∴当x1＜x2＜1时，y1、y2的大小关系不确定． ④错误． 综上①②③正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）随着疫情的结束，广州的游客人数越来越多．据统计，2024年“五•一”假期广州接待游客近11040000人次，再创新高．数11040000用科学记数法表示为 　1.104×107　． 【解答】解：由题意得，11040000＝1.104×107， 故答案为：1.104×107． 12．（3分）代数式有意义的条件是 　x≠2024　． 【解答】解：由题可知， x﹣2024≠0， 即x≠2024． 故答案为：x≠2024． 13．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根，则的值为 　　． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6， ∴， 故答案为：． 14．（3分）若一个正多边形的内角和为1260°，则该正多边形一个外角的度数为 　40°　． 【解答】解：设该正多边形的边数为n， 根据题意列方程，得（n﹣2）•180°＝1260°， 解得n＝9． ∴该正多边形的边数是9， ∵多边形的外角和为360°， 360°÷9＝40°， ∴该正多边形的一个外角为40°． 故答案为：40°． 15．（3分）如图，正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转，得到AE，连接EC，ED．当点E落在BC的垂直平分线上时，∠CED的度数为 　75°或15°　． 【解答】解：当点E在正方形内部时，如图所示， ∵点E在BC的垂线平分线上， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB． 又∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE＝∠DCE． 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴AE＝DE． 由旋转可知， AE＝AB， 又∵AB＝AD， ∴AE＝DE＝AD， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠CDE＝90°﹣60°＝30°， ∵DE＝DC， ∴∠CED＝． 当点E在正方形外部时，如图所示， 同理可得，∠CED＝15°． 综上所述，∠CED的度数为75°或15°． 故答案为：75°或15°． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且． （1）若BD＝8，则CE的长度是 　6.4　； （2）线段CE的取值范围是 　0＜CE≤6.4　． 【解答】解：（1）作AG⊥BC于G，如图， ∵AB＝AC， ∴BG＝CG， ∵∠ADE＝∠B＝α， ∴cosB＝cosα＝＝， ∴BG＝×10＝8， ∴BC＝2BG＝16， 设BD＝x，则CD＝16﹣x， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD， ∴∠CDE＝∠BAD， 而∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE， ∴＝，即＝， ∴CE＝﹣x2+x ＝﹣（x﹣8）2+6.4， 当BD＝x＝8时，CE＝6.4； 故答案为：6.4； （2）∵CE＝﹣（x﹣8）2+6.4， 当BD＝8时，CE最大，最大值为6.4； 当BD＝16时，CE＝0； ∴线段CE的取值范围为0＜CE≤6.4； 故答案为：0＜CE≤6.4． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤） 17．（4分）解方程：3x2+x﹣4＝0 【解答】解：（3x+4）（x﹣1）＝0， 3x+4＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣，x2＝1． 18．（4分）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：∠C＝∠D． 【解答】证明：∵AE＝BF， ∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE， ∵AC∥BD， ∴∠CAF＝∠DBE， 在△ACF和△BDE中， ， ∴△ACF≌△BDE（SAS） ∴∠C＝∠D． 19．（6分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），一请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了 　200　名中学生家长，图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为 　54°　； （2）将图①补充完整； （3）针对随机调查的情况，小李决定从九（1）班表示赞成的小华、小亮和小丁的这3位家长中随机选择2位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选中的概率． 【解答】解：（1）∵A有人数50名，占25%， ∴共调查了中学生家长为：50÷25%＝200（名）， ∵C占的百分比为：1﹣25%﹣60%＝15%， ∴图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为：15%×360＝54°； 故答案为：200，54°； （2）200×15%＝30（名），将图①补充完整如下： （3）把小华、小亮和小丁的这3位同学的家长分别记为A、B、C， 画树状图如图： 共有6个等可能的结果，小亮和小丁的家长被同时选中的结果有2个， ∴小亮和小丁的家长被同时选中的概率为＝． 20．（6分）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【解答】解： ＝• ＝• ＝， ∵x+3≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣3，x≠1， ∴当x＝2时，原式＝＝2． 21．（8分）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为， 将（24，8）代入解析式得k＝xy＝24×8＝192， ∴反比例函数解析式为， 将y＝12代入解析式得，， 解得：x＝16， 故A点坐标为（16，12）， ∴反比例函数解析式为， 设正比例函数解析式为y＝nx 将A（16，12）代入得：， ∴正比例函数解析式为； （2）由可得：当y＝3时，， 由可得：当y＝3时，x＝4， 由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克， ∵64﹣4＝60分钟， ∴师生至少在60分钟内不能进入教室． 22．（10分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°． （1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　20　°； （2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364） 【解答】解：（1）如图： ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BAD＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°， 故答案为：20； （2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G， 则GE＝CF，∠BGC＝90°， ∵∠CBE＝20°， ∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°， 在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝24cm， ∴BE＝AB•sin60°＝24×＝12（cm）， 在Rt△BGC中，BC＝10cm， ∴BG＝BC•cos20°≈10×0.94＝9.4（cm）， ∴CF＝GE＝BE﹣BG＝12﹣9.4≈12×1.73﹣9.4≈11.4（cm）， ∴点C到AD的距离约为11.4cm． 23．（10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，直线l与⊙O相切于点C． （1）尺规作图：过点O作直线m，使得直线m∥AC交劣弧BC于点D，交弦BC于点E，交直线l于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，①求证：∠BCF＝∠BAC；②若AB＝10，BC＝8，求DF的长． 【解答】（1）解：图形如图1所示： （2）①证明：如图2，连接OC． ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF+∠ECO＝∠OCA+∠OCB＝90°， ∴∠ECF＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠BCF＝∠BAC； （2）解：∵OE⊥BC， ∴EC＝EB＝4， ∵OB＝5， ∴OE＝＝＝3， ∴DE＝OD﹣OE＝2， ∴中线m经过圆心O， ∵直线l是切线， ∴OC⊥CF， ∵∠COF＝∠COE，∠CEO＝∠OCF＝90°， ∴△OEC∽△OCF， ∴OC2＝OE•OF， ∴OF＝， ∴DF＝OF﹣OD＝﹣5＝． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图， 设P（t，﹣t2﹣2t+3）， ∵PE∥x轴， ∴点E的纵坐标为﹣t2﹣2t+3， 则﹣t2﹣2t+3＝x+3， ∴x＝﹣t2﹣2t， ∴E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3）， ∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t， ∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4， ∵PE∥x轴， ∴△EPD∽△ABD， ∴＝， ∴＝＝﹣（t+）2+， ∵﹣＜0， ∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）； （3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3）， 则M（m，m+3）， ∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|， CM＝＝|m|， ∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上， 而PM∥y轴， ∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′， ∴∠PCM′＝∠MPC， ∴∠PCM＝∠MPC， ∴PM＝CM， ∴|m2+3m|＝|m|， 当m2+3m＝m时， 解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3， 此时点M（﹣3，）； 当m2+3m＝﹣m时， 解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣﹣3， 此时点M（﹣﹣3，﹣）； 综上，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）． 25．（12分）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 　45　°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 　CD+BD＝AD　； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长． 【解答】解：（1）①如图，在图1中． ∵∠BAC＝90°，且AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°； ②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°， ∴∠EAB＝∠DAC， 又AE＝AD，AB＝AC， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， ∵AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD， ∵CD+DB＝EB+BD＝DE， ∴CD+DB＝AD； 故答案为45°，CD+DB＝AD； （2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD﹣CD＝AD． 理由如下： 如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E． 则∠DAE＝∠CAB＝90°， ∴∠DAC＝∠EAB， 又AD＝AE，AC＝AB， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， ∵AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD， ∵BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE， ∴BD﹣CD＝AD； （3）由（2）知，△CDA≌△BEA， ∴∠CDA＝∠AEB， ∵∠DEA＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CDA＝∠AEB＝135°， ∴∠CDA+∠ABC＝135°+45°＝180°， ∴A、B、C、D四点共圆， 于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图， 当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此△ABD的面积最大． 作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在DA上截取一点H，使得CD＝DH＝1， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°， ∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∠HCB＝∠DHC﹣∠HBC＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴HB＝CH＝， ∴AD＝BD＝DH+BH＝1+． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$