精品解析：福建省莆田市仙游县六校联盟2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷

2023-2024学年下学期六校联盟期中质量检测试卷高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知函数，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，再求导求解即可. 【详解】根据导数的定义得：，即， 所以，所以，解得. 故选：C. 2. 已知四面体中，，，，，为中点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 依题意可得 ， 因为，所以，解得. 故选：D. 3. 高二甲乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑4个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出事件以及事件同时发生包含的基本事件的个数，再由条件概率公式求解即可. 【详解】事件包含的基本事件的个数为，事件同时发生包含的基本事件的个数为，则. 故选：D. 4. 已知，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的公式及数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为， 则向量在向量上的投影为， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：. 5. 函数在上的最小值为　　 A. B. C. D. 2e 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的导数，由此得到函数在区间上的单调性，并求出极值和最值. 【详解】依题意，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得极小值也即是最小值，且最小值为.故选A. 【点睛】本小题考查函数最小值的求法，考查利用导数求函数的最值的方法.属于基础题.求函数的最值可以考虑以下几个方面：如果函数是二次函数，则可利用配方法求得函数的最值.如果函数是单调的函数，可利用单调性求得最值.如果函数符合基本不等式应用的条件，则可利用基本不等式来求得最值.还有一种方法就是利用函数的导数来求得函数的单调区间、极值进而求最值. 6. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 7. 在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将为锐角转化为，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则，所以， 所以， ， 由图可知，， 所以为锐角等价于， 所以 又，解得. 故选：C. 8. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，有两个变号零点，由，可得，设，求出函数的单调性及取值情况即可得解． 【详解】解：依题意，有两个变号零点， 令，即，则， 显然，则， 设，则， 设，则， ∴在上单调递减， 又， ∴当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ∴，且时，，时，， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程求解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析函数的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 随机变量X的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖” C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答. 【详解】随机变量， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，由于，则随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖”，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 而，因此，故D错误． 故选：ABC. 10. 若函数f(x)在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记.若在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】依次验证四个选项中是否在恒成立，即得解 【详解】对：，，，当时，，故为凸函数； 对：，，，当时，，故为凸函数； 对C：，，，当时，，故为凸函数； 对：，，，当时，，故不是凸函数 故选：ABC 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】AC 【解析】 【分析】对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项，；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选项． 【详解】解：因为，所以函数的定义域为 所以，，， ∴的图象在点处的切线方程为， 即，故A正确； 在上，，单调递增， 在上，，单调递减，故B错误， 的极大值也是最大值为，故C正确； 方程的解的个数，即为的解的个数， 即为函数与图象交点的个数， 作出函数与图象如图所示： 由图象可知方程只有一个解，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，该电路由三个元件组成，每个元件之间能否正常运行是相互独立的，已知元件A，B，C能正常运行的概率分别为0.3、0.4、0.5，则该电路能正常运行的概率是________． 【答案】0.29 【解析】 【分析】系统正常工作是指元件C正常工作，同时元件A和B至少1个正常工作，而A和B至少1个正常工作的对立事件是A和B同时不能正常工作，由此能求出系统正常工作的概率.. 【详解】系统正常工作是指元件C正常工作，同时元件A和B至少1个正常工作，而A和B至少1个正常工作的对立事件是A和B同时不能正常工作， ∴系统正常工作的概率为. 故答案为：0.29 13. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出导数，由题意得在上恒成立，由分离参数思想可得结果. 【详解】由得， 由于函数在区间内单调递减， 即在上恒成立，即， 即得在恒成立，所以. 故答案为： 14. 正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题先建立空间直角坐标系并求各点坐标，再求平面的一个法向量，最后求直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系. OB＝OC＝＝，OS＝＝， ,, 设平面SBC的法向量， 则，取，得 设直线AC与平面SBC所成的角为θ， 则． 故答案为：. 【点睛】本题考查线面所成的角，是基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为为正三角形，是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， ， 又在平面内且相交，故平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别为的中点，， 又平面过且不过，平面． 又平面交平面于，故，进而， 因为是中点，所以是的中点． 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 设平面法向量为， 则，即，取，得， 则， 因为，所以. 16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 17. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，由题可得即可求出； （2）求出在的最大值即可建立关系求解. 【详解】（1），， 在与时都取得极值， ，解得， ， 令可解得或；令可解得， 的单调递增区间为和 ，单调递减区间为； （2）， 由（1）可得当时，为极大值，而， 所以， 要使对恒成立，则，解得或. 18. 体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有次投篮机会，若投中次或次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮次. 已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立. （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为，求的分布列与均值. 【答案】（1） （2），分布列见解析 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式以及互斥事件的概率加法公式可求出甲同学通过测试的概率； （2）分别计算出甲、乙通过测试的概率，分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 解：记事件甲同学通过测试，则甲同学在次投篮中，投中次或次， 则. 【小问2详解】 解：若甲通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中， 所以，甲通过测试的概率为， 同理可知，乙通过测试的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）求函数的极值； （3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值. 【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围． 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, 所以函数无极值． ②当时,令,得,． ,;,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值． 综上,当时,函数无极小值 当,在处取得极小值,无极大值． （3）当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解． 假设,此时,, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故． 又时,,知方程在上没有实数解． 所以的最大值为． 解法二: （1）（2）同解法一． （3）当时,． 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: （*） 在上没有实数解． ①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解． ②当时,方程（*）化为． 令,则有． 令,得, 当变化时,的变化情况如下表: 减 增 当时,,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为． 所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是． 综上,得的最大值为． 考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下学期六校联盟期中质量检测试卷高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知函数，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 2. 已知四面体中，，，，，为中点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 高二甲乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑4个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的最小值为　　 A. B. C. D. 2e 6. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 随机变量X的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖” C. D. 10. 若函数f(x)在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记.若在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，该电路由三个元件组成，每个元件之间能否正常运行是相互独立的，已知元件A，B，C能正常运行的概率分别为0.3、0.4、0.5，则该电路能正常运行的概率是________． 13. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是___________． 14. 正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围. 18. 体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有次投篮机会，若投中次或次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮次. 已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立. （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为，求的分布列与均值. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）求函数的极值； （3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $