精品解析：上海市上海外国语大学附属大境中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

上外附属大境中学二○二三学年度第二学期期末考试 高二年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一、填空题：（1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为___________. 2. 两条平行直线和的距离为______. 3. 函数的定义域是__________． 4. 设方程表示双曲线，则实数的取值范围是________． 5. 已知n为正整数，且，则________． 6. 函数在区间上的平均变化率等于______． 7. 圆的过点的切线方程为_____________. 8. 函数的单调递减区间为___________. 9. 如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________． 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________； 11. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____． 12. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________. 二、选择题：（每题5分） 13. 下列函数是偶函数的是（ ）. A. B. C. D. 14. 下列关于排列数和组合数的计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 函数，若存在，，，，使得，则n的最大值是（　　　　） A. 11 B. 13 C. 14 D. 18 16. 已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论： ①若，则； ②若，则． 其中正确的是（ ） A. ①与②均正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①与②均不正确 三、解答题：（10+10+12+14） 17. 已知函数 （1）求函数的导数； （2）求函数的单调区间和极值点． 18. 已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是． （1）求展开式中含的项 （2）求系数最大的项 19. 如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点． （1）当与垂直时，求证：过圆心； （2）当时，求直线的方程； （3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 20. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附属大境中学二○二三学年度第二学期期末考试 高二年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一、填空题：（1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得， 所以此幂函数的表达式为. 故答案为：. 2. 两条平行直线和的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】根据平行线间距离公式可得， 故答案为：2 3. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和定义域，再求交集. 【详解】由题意 ， ； 故答案为： . 4. 设方程表示双曲线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程与系数的关系可求得实数的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线，则. 故答案为：. 5. 已知n为正整数，且，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用排列数公式，列式求解作答. 【详解】依题意，n为正整数，， 因为，则有，解得， 所以. 故答案为：8 6. 函数在区间上的平均变化率等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】由平均变化率的定义计算． 【详解】所求平均变化率为． 故答案为：6． 7. 圆的过点的切线方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】因为点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，点在圆上,则,则切线的斜率,则切线的方程为,变形可得; 故答案为: 8. 函数的单调递减区间为___________. 【答案】(或都对) 【解析】 【分析】 利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案； 【详解】令，则， 在单调递减，在单调递增， 根据复合函数的单调性可得：在单调递减， 故答案为：. 9. 如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率即得导数值． 【详解】由已知，所以． 故答案为：． 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________； 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出． 【详解】因为， 所以. 故答案为：4 【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键． 11. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____． 【答案】3 【解析】 【详解】∵抛物线的焦点到直线的距离等于到抛物线的焦点的距离. ∴P到直线和直线的距离之和的最小值是到直线的距离, 即 点睛：求抛物线上点到抛物线外一直线与准线（或与准线平行的直线）的距离之和的最小值问题，通常把抛物线上点到准线距离转化为到焦点的距离，从而所求距离最小值为焦点到直线的距离． 12. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果． 【详解】由题意可知，令， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立； 由， 则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意； 当时，由得或 又因为且函数为奇函数， 所以可得，解得，则， 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 二、选择题：（每题5分） 13. 下列函数是偶函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可. 【详解】根据所学知识，知道为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数. 故选：B. 14. 下列关于排列数和组合数的计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确化简，即可求解. 【详解】对于A中，由排列数的计算公式，可得， 所以A、B不正确； 对于C中，由组合数的计算公式，可得， 所以C正确，D不正确. 故选：C. 15. 函数，若存在，，，，使得，则n的最大值是（　　　　） A. 11 B. 13 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，又，，，，可求的最大值． 【详解】解：， ， ， 当，时，， ，又，． 故选C． 【点睛】本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题 16. 已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论： ①若，则； ②若，则． 其中正确的是（ ） A. ①与②均正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①与②均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设，结合，利用直线的方程得到，进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点，利用直线的方程得到，进而得到，可判定②正确. 【详解】令函数， 可得函数为单调递增函数， 又由，即， 所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示， ①中，因为，且，则， 不妨设， 则点，此时直线的方程为， 可得， 则， 可得， 又由，所以， 即，即，所以①正确； ②中，若，则， 不妨设， 则点，此时直线的方程为， 可得， 则， 可得， 又由，所以， 即，即， 所以②正确. 故选：A. 【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答的关键. 三、解答题：（10+10+12+14） 17. 已知函数 （1）求函数的导数； （2）求函数的单调区间和极值点． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为.极大点为，极小值点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算即可求解； （2）令，求出方程的根，再列表分析即可求解. 【小问1详解】 由题得. 【小问2详解】 的定义域为， ， 令，或. 当变化时，的变化情况如下表， 正 0 负 0 正 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 函数的极大值点为，极小值点为. 18. 已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是． （1）求展开式中含的项 （2）求系数最大的项 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知得出二项式展开式的通项为，然后根据已知列出方程式，整理求解即可得出.进而由，得出，代入通项即可得出答案； （2）设第项的系数为，然后求解不等式组，得出或.代入通项，即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，二项式展开式的通项为 ，. 所以，， 即， 整理可得，，解得，或（舍去负值）， 所以，. 由可得， ， 所以，展开式中含的项为. 【小问2详解】 由（1）可知，该二项式展开的第项的系数为. 设第项系数最大，则应有， 即， 即，解得. 因为，所以或. 当时，； 当时，. 综上所述，系数最大的项为或. 19. 如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点． （1）当与垂直时，求证：过圆心； （2）当时，求直线的方程； （3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） 由已知，故， 所以直线的方程为． 将圆心代入方程易知过圆心． （2）或 （3）是，-5 【解析】 【分析】（1）根据已知，容易写出直线的方程为．将圆心代入方程易知过圆心； （2）过的一条动直线．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线与轴垂直时，进行验证．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于弦长，利用垂径定理，则圆心到弦的距离．从而解得斜率来得出直线的方程为； （3）同样，当与轴垂直时，要对设，进行验证．当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定的代数表达式，再讨论是否为定值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线与轴垂直时，易知符合题意； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于， 所以．由，解得． 故直线的方程为或． 【小问3详解】 当与轴垂直时，易得，， 又则，，故．即． 当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得． 则，， 即，． 又由得， 则． 故． 综上，的值为定值，且． 20. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断； （2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【小问1详解】 与是具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得， 因为，，， 所以， 令，即，解得， 所以与具有C关系. 【小问2详解】 令， 因为，，所以， 令，则，故， 因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正， 又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立， 当时，显然成立； 当时，在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 综上：，即. 【小问3详解】 因为和， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时，因为，所以， 所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，显然当时，， 当时，因为在上单调递增，且， 故在上存在唯一零点，设为，则， 所以当；当；又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系， 综上：，即. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $