精品解析：上海市甘泉外国语中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023学年第二学期期中考试高一年级 数学学科试卷 命题人：孙晶晶 审核人：易彩艳 考生注意： 1.答题前，务必在答题纸上将姓名､班级等信息填写清楚. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷､草稿纸上的答案一律不予评分､ 3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知，是第四象限角，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为，且，解得， 因为是第四象限角，所以； 故答案为： 2. 函数的最小正周期______. 【答案】π 【解析】 【详解】函数y=3sin（2x+）的最小正周期是=π，故答案为π． 3. 函数的定义域为__________________ . 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由 ，解得 ，所以定义域为 考点：本题考查定义域 点评：解决本题的关键熟练掌握正切函数的定义域 4. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，利用特殊角的三角函数值即得. 【详解】由，可知，又， ∴，即. 故答案为：. 5. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的求导公式求解即可. 【详解】由， 得. 故答案为：. 6. 已知函数，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 7. 函数的图象在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数求出切线的斜率，求出切点，即得解. 【详解】由题得， 所以切线的斜率为， 因为，所以切点为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 已知函数图像如图，则函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象得到，根据周期求出，再根据函数过点，代入求出，即可得解； 【详解】解：由图可知，，所以，解得， 所以，又函数过点，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以； 故答案为： 9. 函数，的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】把三角函数化简为，根据自变量的取值，求出的值域，令, 则，由二次函数求值域的方法即可求出答案. 【详解】，令，因为，所以，则，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为，所以，的值域为：. 故答案为：. 10. 关于x的方程在上有两个解，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦函数，再利用三角函数的性质求出参数的取值范围. 【详解】化简为，令， 因为，， 故在上单调递增，在上单调递减，， 所以在上有两个解，即与的图象有两个交点，即，则， 所以实数k的取值范围为： 故答案为：. 11. 若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，令，则函数的图象在区间上有两个交点，利用导数求出函数的单调区间，作出函数图象，结合图象即可得解. 【详解】令，则， 令， 则函数的图象在区间上有两个交点， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 而， 如图，作出函数的图象， 由图可知时两函数图象有两个交点，原函数有两个零点. 故答案为：. 12. 设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，可得①；或且②，分别解①②，求得的范围. 【详解】（其中）既没有最大值，也没有最小值， 且，可得；或且，可得； 结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合. 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位留，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数中，周期为1的奇函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的性质对选项逐一判断 【详解】对于A，函数为奇函数，， 对于B，函数为非奇非偶函数，， 对于C，函数为奇函数，， 对于D，，函数为奇函数，， 故选：D 14. 在ABC中，如果满足，则ABC一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和两角和与差的三角函数求解. 【详解】在ABC中，满足， 所以， 即， 所以， ， 所以ABC等腰三角形， 故选：C 15. 已知，若存在，使得，则（ ） A. 有最大值，有最小值 B. 有最大值，无最小值 C. 无最大值，有最小值 D. 无最大值，无最小值 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用两角差得正切公式及的范围求出的范围，从而可得出结论. 【详解】解：由，得， 则， 因为，所以， 所以，， 所以， 即， 所以既无最大值，又无最小值. 故选：D. 16. 定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题干中的新定义分别求出函数的导函数，分别解方程求出a，b，c，或者根据零点存在性定理求出a，b，c的范围即可求解. 【详解】由可得， 令，解得，即． 由可得， 设， 当时，， 当时，， 故． 由可得， 令，得， 则， 又，所以，得，即． 综上可知，． 故选：C． 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. 【小问2详解】 解：由（1）知，且， 可得，所以. 18. 已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)． (1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间. 【答案】（1）4（2）递增区间为(，＋∞)；递减区间为(0，)． 【解析】 【详解】分析：⑴求出函数的导数，根据是的一个极值点，利用 ，可得，再检验当时，是的极小值点符合题意 ⑵讨论导数的零点，可得当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 详解：⑴，是的一个极值点 ，解得 此时， 的定义域为 当时，，当时， 即当时，是的极小值点，故 ⑵，当时，的单调递增区间为 当时，， 令，则 的单调递增区间为， 令，则 的单调递减区间为 点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值，最小值问题中的应用，根据已知中的函数的解析式，求出导函数的解析式，然后确定导函数的符号是解答此类问题的关键，属于中档题，做题时要注意分类讨论思想的应用，以及取极值时的检验． 19. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改造.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且米，，设. （1）当时，求停车场的面积； （2）写出停车场面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积S取得最大值. 【答案】（1）平方米；（2），当时，停车场面积取得最大值. 【解析】 【分析】（1）首先由正弦定理求出，则停车场面积，在由面积公式计算即可； （2）在利用正弦定理表示出，即可表示出停车场的面积，利用辅助角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得． 【详解】解：（1）在中，，， 由正弦定理得，即，即 则停车场面积(平方米)， 即停车场面积约为2338.3平方米. （2）在中，， 由正弦定理得， 即，即， 则停车场面积， 即，其中， . 因为，所以， 则当，即时，停车场面积S取得最大值. 所以当时，停车场面积S取得最大值. 20. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【小问1详解】 ， 由， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； 【小问3详解】 ， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】（1）不是“函数”， 理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由略； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期期中考试高一年级 数学学科试卷 命题人：孙晶晶 审核人：易彩艳 考生注意： 1.答题前，务必在答题纸上将姓名､班级等信息填写清楚. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷､草稿纸上的答案一律不予评分､ 3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知，是第四象限角，则的值是______． 2. 函数的最小正周期______. 3. 函数的定义域为__________________ . 4. 已知，，则______． 5. 若，则__________. 6. 已知函数，若，则__________. 7. 函数的图象在点处的切线方程为________. 8. 已知函数图像如图，则函数的解析式为______． 9. 函数，的值域为______． 10. 关于x的方程在上有两个解，则实数k的取值范围为______． 11. 若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围__________. 12. 设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位留，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数中，周期为1的奇函数是（　　） A. B. C. D. 14. 在ABC中，如果满足，则ABC一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 15. 已知，若存在，使得，则（ ） A. 有最大值，有最小值 B. 有最大值，无最小值 C. 无最大值，有最小值 D. 无最大值，无最小值 16. 定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)． (1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间. 19. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改造.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且米，，设. （1）当时，求停车场的面积； （2）写出停车场面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积S取得最大值. 20. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $