第04讲 函数的概念及其表示（7类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第04讲 函数的概念及其表示 （7类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第15题,5分 函数与方程的综合应用 根据函数零点的个数求参数范围 已知方程求双曲线的渐近线 2023年天津卷，第15题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 2021年天津卷，第9题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 2020年天津卷，第9题,5分 根据函数零点的个数求参数范围函数与方程的综合应用 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分及以上 【备考策略】1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数 2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式，要求函数值与取值范围等. 知识讲解 知识点一.函数的概念 1.定义 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 2.函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 知识点二.分段函数的定义 定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，函数有不同的解析式，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数． 分段函数的定义域是各段x取值集合的并集． 考点一、函数关系的判断 1.（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 1.（22-23高三·全国·对口高考）已知函数，那么集合中所含元素的个数有 . 2.（湖南·高考真题）给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，. (1)设，则其中一个函数在处的函数值为 ； (2)设，且当时，，则不同的函数的个数为 ． 3.（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 . 4.（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 考点二、相同函数的判断 1.（全国·高考真题）与函数有相同图象的一个函数是（    ） A． B． C．，其中 D．，其中 2.（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 1.（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列选项中表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2023高三·全国·专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（22-23高三·全国·课后作业）以下四个命题： ①当时，函数的图象是一条直线； ②函数和为同一个函数； ③若定义域为R的函数是奇函数，则； ④已知函数在区间上的图象是一段连续曲线，若，则函数在上没有零点． 其中，真命题的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 考点三、函数解析式的求法 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 . 2.（2024高三·全国·专题练习）已知满足，求的解析式. 1.（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 2.（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3.（安徽·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4.（湖北·高考真题）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高三下·重庆·阶段练习）设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则 . 考点四、分段函数求值 1.（山东·高考真题）设 ，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（2024·上海·高考真题）已知则 ． 1.（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 2.（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 . 3.（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）已知函数，则 . 4.（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，则 . 5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数，则 ． 6.（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则 . 7.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设，且，则 ， . 考点五、分段函数的应用 1.（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 2.（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 1.（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 2.（2024·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 . 3.（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 4.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为 ． 5.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数,则方程所有的解构成的集合是 ． 考点六、分段函数不等式 1.（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 3.（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 4.（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数，则 ；若，则实数的取值范围是 . 5.（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 6.（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 . 7.（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数则满足的的取值范围是 . 考点七、分段函数的值域与最值 1.（23-24高三下·江西吉安·期中）已知函数，若的值域是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的最小值为-1，则 . 2.（23-24高三下·北京西城·开学考试）设定义在函数当时，的值域为 ；若的最大值为1，则实数的所有取值组成的集合为 . 3.（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数，当时，的最大值为 ；若无最大值，则实数的一个取值为 . 4.（2024·全国·模拟预测）若函数的值域为，则的一个值为 ． 5.（2023·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数则（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高三上·天津红桥·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知函数，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三·全国·对口高考）给出下列四组函数： （1），； （2），； （3），； （4），． 其中相同的函数有 （请在横线内填序号）． 7．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，求使得的自变量的取值范围． 1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 3．（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式 （1）已知，则 ． （2）已知是三次函数，且在处的极值为0，在处的极值为1，则 ． （3）已知的定义域为，满足，则函数 ． （4）已知函数是偶函数，且时，则时， ． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 1.（2020·山东·高考真题）已知函数. （1）求的值； （2）求，求实数的取值范围. 2．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2019·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 5．（四川·高考真题）设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 6．（2017·全国·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 函数的概念及其表示 （7类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第15题,5分 函数与方程的综合应用 根据函数零点的个数求参数范围 已知方程求双曲线的渐近线 2023年天津卷，第15题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 2021年天津卷，第9题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 2020年天津卷，第9题,5分 根据函数零点的个数求参数范围函数与方程的综合应用 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分及以上 【备考策略】1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数 2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式，要求函数值与取值范围等. 知识讲解 知识点一.函数的概念 1.定义 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 2.函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 知识点二.分段函数的定义 定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，函数有不同的解析式，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数． 分段函数的定义域是各段x取值集合的并集． 考点一、函数关系的判断 1.（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义判断即可得. 【详解】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B， 只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象. 故选：D. 2.（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断. 【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误； 对于A：由等边三角形可知：线段的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误； 对于D：由圆可知：线段的长度不会是线性变化，故D错误； 对于C：由正方形可知：线段的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确； 故选：B. 1.（22-23高三·全国·对口高考）已知函数，那么集合中所含元素的个数有 . 【答案】或. 【分析】根据题意转化为与的图象的交点个数，结合函数的定义，即可求解. 【详解】由集合中所含元素的个数， 即为直线与的图象的交点个数， 当时，此时，两个函数的图象有且仅有一个交点； 当时，此时，两个函数的图象没有公共点， 所以集合中所含元素的个数为个或个. 故答案为：或. 2.（湖南·高考真题）给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，. (1)设，则其中一个函数在处的函数值为 ； (2)设，且当时，，则不同的函数的个数为 ． 【答案】 正整数 16 【分析】(1)，题中给出的条件“大于的正整数”不适合，但函数值必须是一个正整数，故(1)的值是一个正整数； (2)，且，与条件“大于的正整数”不适合，故的值在2、3中任选其一，求出所有可能的组合数即可得不同函数的个数． 【详解】(1)函数，∴其值域为正整数，故函数f在处的函数值为正整数； (2)函数，∴其值域为正整数， 又时，， 故n≤4时，f(n)∈{2，3}， 即f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的取值可能是2或3， 则共2×2×2×2＝种组合， ∴不同的函数的个数为16. 故答案为：正整数；16． 3.（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案. 【详解】设是在点处的切线， 因为曲线与函数的图像关于直线 对称， 所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像， 如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，    所以的方程为 故联立方程得，即， 则，即与同解， 所以 所以的取值范围为. 故答案为： 4.（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【分析】对、、的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数的个数，即可得解. 【详解】解：分以下几种情况讨论： ①当、、全为时，只有种； ②当、、中有两个为，一个为时，有种； ③当、、中有两个为，一个为时，有种； ④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种； ⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种. 综上所述，满足条件的函数的个数为个. 故选：D. 考点二、相同函数的判断 1.（全国·高考真题）与函数有相同图象的一个函数是（    ） A． B． C．，其中 D．，其中 【答案】D 【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为与函数有相同图象判断正确. 【详解】选项A：，图象为折线.判断错误； 选项B：，图象上无原点.判断错误； 选项C：，图象为无端点射线.判断错误； 选项D：，与函数有相同图象.判断正确. 故选：D 2.（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可. 【详解】解：函数，定义域为. 选项A中，定义域为，故A错误； 选项B中，定义域为，故B错误； 选项中，定义域为，故正确； 选项D中，定义域为，故D错误. 故选：C. 1.（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】对于A：由定义域不同,即可判断； 对于B：由定义域不同，即可判断； 对于C：由对应关系不同，即可判断； 对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数. 【详解】对于A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，所以A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为R，定义域不同，所以B错误； 对于C：，对于，对应关系不同，故C错误； 对于D：定义域为R, ，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函数. 故选：D 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列选项中表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，的定义域为，而定义域为R， 故二者不是同一函数； 对于B，的定义域为R，与的定义域为， 故二者不是同一函数； 对于C，与对应关系不同， 故二者不是同一函数； 对于D，与的定义域以及对应关系、值域都相同， 故二者为同一函数， 故选：D 3．（2023高三·全国·专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数； 对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R， 所以这两个函数不是同一个函数. 故选：B. 4．（22-23高三·全国·课后作业）以下四个命题： ①当时，函数的图象是一条直线； ②函数和为同一个函数； ③若定义域为R的函数是奇函数，则； ④已知函数在区间上的图象是一段连续曲线，若，则函数在上没有零点． 其中，真命题的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】判断是函数的图象形状，判断①；根据函数和的定义域可判断②；根据奇函数的定义和性质可判断③；举反例可判断④. 【详解】当时，函数,定义于为, 故此时函数图象为直线上挖去点，①错误； 函数的定义域为R，函数定义域为， 故函数和不是同一个函数，②错误； 若定义域为R的函数是奇函数，则，则，③是真命题； 函数在区间上的图象是一段连续曲线，若， 不妨取，区间为，满足， 当在内有零点1和2，故④错误， 故真命题的个数为1， 故选：A 考点三、函数解析式的求法 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 2.（2024高三·全国·专题练习）已知满足，求的解析式. 【答案】 【分析】列方程组法求函数的解析式. 【详解】对于任意的x都有， 所以将x替换为，得， 联立方程组：，消去，可得. 1.（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 2.（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解. 【详解】因为 所以， 则， 所以. 故选：B. 3.（安徽·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得. 【详解】 ， 故选：D 4.（湖北·高考真题）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即可用换元法求函数解析式. 【详解】令， 得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题. 5.（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得. 【详解】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故，所以． 故选：B． 6.（23-24高三下·重庆·阶段练习）设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则 . 【答案】2021 【分析】利用赋值法求解，令，则，再令，结合题意中条件求得，可求得，进而可得结果. 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，则，故，因此. 则， 即. 因此或， 当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，满足题意. 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法： （1）若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解； （2）若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程（组）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的． 考点四、分段函数求值 1.（山东·高考真题）设 ，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案. 【详解】 ， 故， 故选：C 2.（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 1.（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以 ， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 2.（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 . 【答案】2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】，故， 故答案为：2. 3.（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 4.（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【分析】判断所在区间，再代入计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式进行求值. 【详解】依题意，， 所以 . 故答案为： 6.（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量，化简求值. 【详解】，， 所以. 故答案为： 7.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设，且，则 ， . 【答案】 2 3 【分析】根据求出，从而，由此能求出的值. 【详解】∵，且，∴，解得，∴， ∴. 故答案为：2，3. 考点五、分段函数的应用 1.（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】结合函数的周期性和正弦函数值解出即可. 【详解】由题意知． 故选：D． 2.（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 1.（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【答案】 (1,4) 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围. 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2.（2024·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】对不同情况下的分类，然后分别讨论相应的零点分布，即可得到的取值范围. 【详解】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”， 即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个. 当时，只要，就有， 故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件； 当时，有， 所以在上没有零点. 而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点. 故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件； 当时，解可得到，且由知， 从而确为在上的一个零点. 再解方程，即， 可得两个不同的实数根. 而，. 故确为在上的一个零点， 而当且仅当时，另一根是在上的一个零点. 条件为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：或. 解得； 当时，验证知恰有两个零点和，满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于需要分较多的情况讨论，不重不漏、细致讨论方可得解. 3.（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 【答案】 【分析】①结合函数的图象， 函数无零点，即与的图象无交点，所以可得到的一个取值；②由图象对称，即可算出的值. 【详解】画函数的图象如下： ①函数无零点，即 无解， 即与的图象无交点，所以，可取； ②函数有4个零点，即 有4个根， 即与的图象有4个交点， 由关于对称，所以， 关于对称，所以， 所以. 故答案为：；. 4.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，可得，，构造函数，根据导数判断函数的单调性与最值. 【详解】设，即，，，则， 所以，，则， 令， 则， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，为， 即取得最小值，为， 故答案为：. 5.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数,则方程所有的解构成的集合是 ． 【答案】 【分析】根据题意,先将分类讨论求出解析式.后直接解出来即可. 【详解】,又, 当时,,解得； 当时,,解得； 当时,,无解； 当时,,解得． 所以方程所有的解构成的集合是或． 故答案为:. 考点六、分段函数不等式 1.（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 2.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将不等式化为，然后将转化为，最后利用单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得函数在上单调递增．由， 得，注意到， 所以 ． 从而不等式转化为， 所以，解得． 故选:A． 1.（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助导数判断函数单调性，并分段求解不等式即得. 【详解】当时，，求导得，令， 求导得，则函数，即在上单调递增，， 函数在上单调递减，而，当时，不等式，因此； 当时，，由，得，因此， 所以不等式的解集为. 故选：D 2.（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 【答案】 1 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解. 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 3.（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果. 【详解】当时，得， 当时，，得，所以， 综上：的解集为， 故答案为：. 4.（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数，则 ；若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，先求出，即可得解，证明函数是上的减函数，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】解：由，得， 所以， 因为都是减函数， 且当时，， 所以函数是上的减函数， 则， 即为，解得. 故答案为：；. 5.（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分类讨论，结合指数对数函数单调性解不等式即可. 【详解】当，即，解得； 当，即，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为： 6.（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分别在条件，下化简不等式，再求其解，由此可得不等式的解集. 【详解】当时，即时，，所以不等式可化为，所以且，所以满足条件的不存在， 即当时，不等式无解， 当时，即时，，此时不等式可化为，得或，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 7.（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得答案. 【详解】当时，即，则； 当时，即，解得，即， 故满足的的取值范围是， 故答案为： 考点七、分段函数的值域与最值 1.（23-24高三下·江西吉安·期中）已知函数，若的值域是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数及对数函数的性质计算即可. 【详解】易知 时，，所以， 又为减函数， 所以时，， 而，所以的值域是， 则. 故选：C 2.（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 1.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的最小值为-1，则 . 【答案】2 【分析】 由题意得出函数在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解. 【详解】当时，. 因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1， 则，解得. 故答案为：2. 2.（23-24高三下·北京西城·开学考试）设定义在函数当时，的值域为 ；若的最大值为1，则实数的所有取值组成的集合为 . 【答案】 【分析】当时，分别求出各段上函数值的范围后可得函数的值域，若的最大值为1，则可就、分类讨论后可得实数的所有取值组成的集合. 【详解】因为，故，故. 当时，， 当时，，，当时，， 故当时，的值域为. 若的最大值为1，则，又，故或. 若， 当时，，当时，， 因为，故，此时无最大值，舍. 若， 当时，，当时，， 因为的最大值为1，故，即，即， 综上， 故答案为：；. 3.（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数，当时，的最大值为 ；若无最大值，则实数的一个取值为 . 【答案】 （答案不唯一） 【分析】当时，，分别求解两部分函数最大值，然后求出函数的最大值；按照和分类讨论，利用单调性分析最值位置，按照题意列不等式求解即可. 【详解】当时，， 当时，，有，从而， 即当时，有最大值1； 当时，，即当时，有最大值4； 综上，当时，有最大值4； 当时，函数在上单调递增，则存在最大值为； 当时，函数在先单调递减，再单调递增， 若函数无最大值，则，解得， 当时，函数在单调递减， 若函数无最大值，则，解得， 综上，当无最大值时，，故实数的一个取值为（答案不唯一）. 故答案为：；（答案不唯一） 4.（2024·全国·模拟预测）若函数的值域为，则的一个值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】分，两种情况分类讨论可求得的取值范围． 【详解】当时，．若，则当时，， 要使的值域为，需，即，与矛盾． 若，则当时，．若的值域为， 则，即或， 可取的一个值为1，答案不唯一，满足或的数都可以． 故答案为：1(答案不唯一)． 5.（2023·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可. 【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 又因为函数在区间上单调递增， 所以当时，. 综上可得函数的最小值为. 因为，使得成立， 所以，解得：或. 故选：C. 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的解析式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 2．（20-21高三上·天津红桥·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案. 【详解】由题意得，所以， 故选：C 3．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可. 【详解】∵， ∴， 则. 故选：B. 4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，代入运算求解即可. 【详解】令，则，由于，则， 可得， 所以. 故选：B. 5．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解. 【详解】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 6．（22-23高三·全国·对口高考）给出下列四组函数： （1），； （2），； （3），； （4），． 其中相同的函数有 （请在横线内填序号）． 【答案】（3）（4） 【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）. 【详解】（1）中，的定义域为，的定义域为， 两个函数定义域不同，所以不是同一函数； （2）中，，， 两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数； （3）中，，，易知两函数是相同函数； （4）中，， 易知两函数是相同函数. 故答案为：（3）（4） 7．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，求使得的自变量的取值范围． 【答案】 【分析】分别讨论和两种情况，代入不同的解析式，求得各自解集，综合即可得答案. 【详解】当时，，解得或（舍），所以， 当时，，解得，所以， 综上：自变量的取值范围为 1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 【答案】D 【分析】根据题意，应用特殊值法说明即可. 【详解】例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 综上所述：的取值正、负、零都可能. 故选：D. 3．（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解. 【详解】对于选项A，，，故，故A不正确； 对于选项B，，，故，故B不正确； 对于选项C， ，，故，故C不正确； 对于选项D，，，故，故D正确. 故选：D. 4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式 （1）已知，则 ． （2）已知是三次函数，且在处的极值为0，在处的极值为1，则 ． （3）已知的定义域为，满足，则函数 ． （4）已知函数是偶函数，且时，则时， ． 【答案】 【分析】（1）第一空可用换元法设，从而进一步代入即可求解； （2）第二空先设函数表达式并求导，进一步由题意可列出方程组，解方程组即可得解； （3）构造函数方程组即可求解； （4）由题意得，注意到时，则有，从而即可进一步求解. 【详解】（1）设，则， 代入原式有. 故. （2）设，则， 由题意得，即，解得， 所以，经检验，符合，. （3）用代替中的x，得， 由，消去，解得． （4）由函数是偶函数，可得图象关于直线对称， 所以. 设，则，所以=， 因为，所以 . 故答案为：；；；. 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解. 【详解】①当时，，由于时，时， 此时只有一个零点，所以不符合题意； ②当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于时，，时，，当且仅当，即时取等号， 此时在上有，要使有两个零点，只需，即； ③当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于函数在上是增函数，故与x轴有且只有一个交点， 要使有两个零点，只需函数有一个零点即可， 当时，恰好只有一个零点. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 【答案】7 【分析】设，则等价于，作出函数的图像，由图可知有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果. 【详解】令，则，设，则等价于， 则函数的零点个数问题即为解的个数问题． 二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 由题意得作出函数的图像如图所示． 由图可知有3个根，当时，，即； 当时，，即. 则对于，当时，; 当时，，此时共有3个解． 对于，此时有1个解，，即有2个解． 对于，此时有1个解，，即无解． 因此，此时函数有7个零点． 故答案为：7. 1.（2020·山东·高考真题）已知函数. （1）求的值； （2）求，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可； （2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可. 【详解】解：（1）因为， 所以，因为， 所以. （2）因为， 则， 因为，所以， 即，解得. 2．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 3．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 4．（2019·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象及直线，借助图象分析． 【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求． 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是． 故选D． 【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法． 5．（四川·高考真题）设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 【答案】1 【详解】试题分析：. 【点晴】周期函数及分段函数. 6．（2017·全国·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$