第03讲 基本不等式（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第03讲 基本不等式 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年天津卷，第14题,5分 余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值 2021年天津卷，第13题,5分 基本不等式求和的最小值 2020年天津卷，第14题,5分 基本不等式求和的最小值 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握基本等式的基本内容 2.能掌握基本不等式的解题方法 3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题 4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式 知识讲解 知识点.基本不等式 1．基本不等式的形式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 考点一、直接法 1．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 1.（2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 2.（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5.（2024·安徽·模拟预测）若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 考点二、配凑法 1.（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则 ． 2.（2022·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为 . 1.（2023高三·全国·专题练习）若，则的最小值为 2.（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 . 4.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为 ． 考点三、常数“1”的代换 1.（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 1.（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为 ． 2.（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 3.（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 4.（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 6.（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 考点四、和积定值 1.（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·河南焦作·模拟预测）已知正数，满足，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 1.（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数满足，则的取值范围是 ． 2.（2024·湖北·模拟预测）若正数，满足：，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 考点五、消元法 1.（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 2.（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 1.（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 2.（2024·浙江·模拟预测）已知，求的最小值． 3.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点六、双换元 1.（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 2.（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 1.（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 2.（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 1．（2022·福建泉州·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D．9 2．（2024·天津·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（    ）． A．2 B． C． D．3 3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 . 5．（2022·天津南开·模拟预测）若实数，满足，且，则的最大值为 . 6．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）若，，且，则的最小值是 ． 7．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为 1．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 2．（2024·天津·二模）已知向量，其中 且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 3．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列中，，，成等差数列．若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津武清·模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为 . 6．（2024·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则 ； （2）与的面积之比的最小值为 . 7．（23-24高三下·天津·开学考试）已知，当 时，取得最小值，最小值是 ． 1．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 2．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为 . 3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 5．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 . 6．（2017·天津·高考真题）若，，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 基本不等式 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年天津卷，第14题,5分 余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值 2021年天津卷，第13题,5分 基本不等式求和的最小值 2020年天津卷，第14题,5分 基本不等式求和的最小值 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握基本等式的基本内容 2.能掌握基本不等式的解题方法 3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题 4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式 知识讲解 知识点.基本不等式 1．基本不等式的形式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 考点一、直接法 1．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 2．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】 ， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 1.（2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据条件得，再利用基本不等式求最值. 【详解】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义知， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 2.（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意知，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 3.（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：B. 4.（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 5.（2024·安徽·模拟预测）若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的定义，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式验证必要性即可得. 【详解】当时，成立，而不成立， 故“”不是“”的充分条件； 当时，有，当且仅当时等号成立， 则， 故“”是“”的必要条件. 故选：B. 6.（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】因为是正实数，，所以， 当且仅当时取等号，于是， 所以的最大值为. 故答案为： 考点二、配凑法 1.（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则 ． 【答案】4 【分析】利用配凑法可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】， 当且仅当即时取等号， 即时取最小值，故． 故答案为：4 2.（2022·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】将原式变形为，然后利用基本不等式求最小值. 【详解】解：，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：3. 1.（2023高三·全国·专题练习）若，则的最小值为 【答案】/ 【分析】由已知可得，变形可得，然后根据基本不等式即可得出答案. 【详解】由，则. 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 2.（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对勾函数的性质判断A、D，利用基本不等式判断C，将两边平方，即可求出的范围，从而判断B. 【详解】对于A：因为，又在上单调递减， 所以当时，故A错误； 对于B：将两边平方得， 因为，所以（当或时等号成立），又， 所以，故B正确； 因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：，又，在上单调递增， 所以当，即时，故D错误． 故选：B． 3.（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对进行变形配凑，再结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】由题，所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离和配凑. 4.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】由题意可得化简得，所以 ，利用基本不等式即可求解 【详解】因为不等式的解集为，则， 因为，所以， ∴ ． 当且仅当，即时，取到等号． 故答案为：8 考点三、常数“1”的代换 1.（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 1.（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用“1”的变形，结合基本不等式即可求解. 【详解】， 当，即，联立，得到时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9 2.（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 3.（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 4.（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 5.（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解． 【详解】因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象， 所以的对称中心为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：A 6.（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题可得点满足的圆方程，进而，然后利用基本不等式结合条件即得. 【详解】由题意可得点的坐标满足，所以，． 因此， . 当且仅当时，即时取等号． 故选: D． 考点四、和积定值 1.（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围. 【详解】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 故选：D． 2.（2023·河南焦作·模拟预测）已知正数，满足，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用基本不等式及取等号的条件，可得，，即可求出结果. 【详解】由题意可得 ，平方得， 当且仅当，即，时取得等号， 故取得最小值时，. 故选：A. 1.（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可. 【详解】将两边展开， 得到， 从而， 故，而， 故，又， 故， 从而． 设函数，则， 观察易得在上单调递增，故， 又，所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题. 2.（2024·湖北·模拟预测）若正数，满足：，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可. 【详解】因为，为正数，所以， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当，时，取等号. 故选：B. 考点五、消元法 1.（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 2.（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正数满足，可得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 1.（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 2.（2024·浙江·模拟预测）已知，求的最小值． 【答案】 【分析】根据条件，代入消去，将的表达式分离常数得，利用基本不等式求得结果. 【详解】，， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以. 故的最小值为. 3.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 考点六、双换元 1.（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 2.（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】已知条件化简可得：，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由题意得， 令，则，当且仅当时，等号成立． 故选:C． 1.（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】令，，从而可得，，再根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】令，，则，，且，， 所以，． 又，所以 ， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故答案为：12 2.（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】 【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解. 【详解】因为，，所以，， 令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且且且，即， 即，时，等号成立， 又不等式恒成立，所以，即的最大值为. 1．（2022·福建泉州·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为，是正实数，所以 故有， 当且仅当，即，时取到等号. 故选：B. 2．（2024·天津·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可. 【详解】设双曲线右焦点，易知，， 即，而双曲线的一条渐近线为， 易知，所以， 由双曲线的性质可知， 由基本不等式可知，当且仅当时取得等号. 故选：A 3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2023·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】运用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】∵，，， ∴，当且仅当即时取等号. 故答案为：. 5．（2022·天津南开·模拟预测）若实数，满足，且，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【分析】令，对不等式变形得到，利用基本不等式进行求解. 【详解】令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 6．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）若，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果. 【详解】因为（当且仅当时，等号成立）， 所以， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 7．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为 【答案】 【分析】先对进行等式变形，利用把原式化简为，再利用均值不等式可得，然后由函数在区间上是单调递减，即可得到最小值为. 【详解】由， 因为，所以上式， 又因为，，由均值不等式得：， 利用函数在区间上是单调递减可知： ， 当且仅当时取到最小值. 故答案为： 1．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：如图所示： 设椭圆和双曲线的方程分别为：，， 由题意得， 设，则， 解得， 在中，由余弦定理得：， 即，化简得， 则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：C 2．（2024·天津·二模）已知向量，其中 且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵， ，其中，且， ∴， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为. 故选：A. 3．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列中，，，成等差数列．若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先根据题意求出首项及公比，再根据等比中项的定义求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列， 有，即，得， 由，解得， 若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项， 则，即，得，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 故选：B 4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正项等比数列的公比为，推导出，，可得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 所以， ， 则，则，可得，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 5．（2024·天津武清·模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】； 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设，，，进而根据题意得，再根据坐标运算得，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】根据题意，如图，建立平面直角坐标系， 因为， 所以， 所以，， 所以，向量在向量上的投影向量为， 故其模为. 因为，分别为线段，上的动点， 所以，设，， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：； 6．（2024·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则 ； （2）与的面积之比的最小值为 . 【答案】 / 【分析】根据，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得，根据三点共线可得，利用三角形的面积公式可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 因为M，O，N三点共线，故，即， 又因为，而，， 则，即，当且仅当时取等号， 所以与的面积之比的最小值为. 故答案为：；. 7．（23-24高三下·天津·开学考试）已知，当 时，取得最小值，最小值是 ． 【答案】 【分析】由，利用对数运算得到，即，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：， ，， ， 当且仅当时“＝”成立， 又， ， ，， 即当时，取得最小值． 故答案为：． 1．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 2．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为 . 【答案】. 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    5．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 6．（2017·天津·高考真题）若，，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）. 【考点】均值不等式 【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$