第02讲 等式与不等式（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第02讲 等式与不等式 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2019年天津卷，第10题,5分 解不含参数的一元一次不等式 2017年天津卷，第2题,5分 必要条件的判定及性质解不含参数的一元一次不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小 2.能掌握一元二次不等式的性质 3.掌握一元二次不等式根与系数的关系 4.会解一元二次不等式、能够解决一元二不等式的恒成立与存在成立等问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等。 知识讲解 知识点一.等式与不等式的性质: 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 - >0>， - =0=, - <0<. (2)作商法 , , , 2.等式的性质 (1)对称性:若=，则=. (2)传递性:若=，=，则=. (3)可加性:若=，则+ =+. (4)可乘性:若=，则=;若 =，=d，则= 3.不等式的性质 (1)对称性: > < ; (2)传递性: >，> >; (3)可加性> +c>b+; >, > +c>b+ (4)可乘性: >, c >0>; >, c <0<; >，>>; (5)可乘方: >(nN，n1); (6)可开方> (nN，n2). 知识点二.一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.一元二次不等式的解法 1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． 2.求出相应的一元二次方程的根． 3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决 注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 4.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 考点一、等式与不等式的性质 1．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C. 【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误； 对于B：当、，满足，但是，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确 对于D：当、，满足，但是，故D错误. 故选：C 2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确. 故选：D. 1．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ACD，利用作差法判断，对于B，利用幂函数的性质比较. 【详解】对于A，因为，所以，所以，所以A错误； 对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误； 对于C，因为，所以，所以，所以C错误； 对于D，因为，所以，所以D正确． 故选：D 2．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【详解】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D 3.（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，当时，有，则成立，即充分性成立； 当时，，即成立，而，即不成立，进而必要性不成立. 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4.（2023·山西临汾·模拟预测）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，有，则，故， 所以，即，即必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 考点二、比较大小 1. （22-23高三上·天津河东·期中）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，因此要比较，的大小，作差，通分，利用对数的运算性质，即可求得，的大小；利用对数函数的单调性，可知，然后利用不等式的可乘性，即可得出，的大小. 【详解】解：，∴， 而，∴，即， 因此. 故选：C. 2.（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】对于A， ，不能推出，如，反之 ，则有 ， 即是的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，由，得，即， 不能推出 ，反之，则， 因此是的必要不充分条件，B正确； 对于C，，是的充分必要条件，C错误； 对于D，由，得，反之不能推出， 因此是的充分不必要条件，D错误. 故选：B. 1．（22-23高三上·天津河西·期末）若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C即可得解. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于D，取，则，故D错误； 对于C，因为，则， 又，所以，故C正确. 故选：C. 2．（2023·天津·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论. 【详解】因为，，由可得，则，即， 因此，若，，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. 考点三、最值与取值范围问题 1. （2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 又， 所以， 所以， 即的取值范围是. 因为所以， 即， 所以的取值范围是 答案：, 2. （2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为： 1. （2024高三·全国·专题练习）若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是 ． 【答案】[，] 【详解】 因为(xy2)3∈[1，64]，∈[，]，所以xy5＝(xy2)3·∈[，]. 2. （2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先得到，并根据得到，从而求出. 【详解】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 3.（23-24高三下·重庆渝北·阶段练习）已知三个实数、、，其中且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，进而得，即可求出的范围，于是，令，，利用二次函数的单调性即可求解最值. 【详解】当时满足且， ，即，进而，解得． 所以或， 所以， 令，， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以， 即的最大值为. 故答案为：． 4.（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 根据不等式的性质即可求解. 【详解】 正数、、满足，， ，所以 同理：有得到，所以 两式相加： 即 又,即 即． 故答案为： 5.（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可． 【详解】因为，所以, 所以， 当且仅当即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 考点四、一元二次不等式 1.（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 2.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B 1.（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式解得，可得区间内仅包含两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果. 【详解】根据题意可得不等式等价于； 因为，所以不等式的解集为； 依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得； 由几何概型概率公式可得其概率为. 故选：C 2.（2024高三·全国·专题练习）已知且，若在上恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案． 【详解】由得， ①若，则，且，， 根据穿根法可知或时不符合题意，舍去； ②若，要满足题意则，符合题意，如图所示； ③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾； ④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意； 综上可知满足在恒成立时，只有满足题意. 故选：C ． 3.（23-24高三下·上海·阶段练习）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解. 【详解】 因为，所以， 又不等式的解集是区间的真子集，则. 故答案为：. 4.（2023·全国·模拟预测）定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合函数图象即可求出集合，分类讨论求出集合，再根据嵌套集合的定义即可得解. 【详解】因为，所有， 由，得， 如图，作出函数的图象， 由图可知，不等式的解集为， 所以且， 由，得， 当，即时，则，不符题意； 当，即时，则， 由，得， 根据嵌套集合得定义可得，解得； 当，即时，则， 由，得， 根据嵌套集合得定义可得，无解， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 考点五、一元二次方程跟的分布 1.（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 令，依题意可得，解得即可. 【详解】 令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 2.（21-22高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－2 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，， 所以，当且仅当，即时取等号，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为2. 故选：C. 1.（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 2.（2023·北京海淀·模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C．若关于x的不等式的解集为，则 D．若关于x的不等式的解集为，且，则 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意，所以正确; 对于:，当且仅当，即时成立, 所以正确; 对于,由韦达定理，可知，所以错误; 对于,由韦达定理，可知， 则 ，解得， 所以正确, 故选：. 3.（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）如果二次方程的正根小于3，那么这样的二次方程有 个. 【答案】7 【分析】令，则由题意可得，再结合可求出结果. 【详解】设， 因为，， 所以，又， 当时，，当时，. 所以共7种可能. 故答案为：7 考点六、一元二次不等式恒成立 1.（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 2.（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 1.（2024高三·全国·专题练习）已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先把原不等式分解为二次不等式，分类讨论后运用整体代换和基本不等式即可. 【详解】原不等式， 由，知时，，时，， 故由原不等式知时，时， 由恒成立知且，即， 故所求式， 设，则， 则所求式递增， 故最小值在时取得：. 故答案为：. 2.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知对任意实数,不等式恒成立,则实数的值为 ． 【答案】 【分析】对正负分情况讨论，得出是其唯一零点.不等式对任意的恒成立.得到也是的根,求解即可. 【详解】由题知,显然，当时；当时；当时； 因为不等式对任意的恒成立. 当时，；当时，. 结合二次函数性质，是方程的根，即， 因为，所以． 故答案为: . 3.（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，易得的对称轴为，则，进而可得出答案. 【详解】令， 由题意可得，则， 又因为，所以， 函数的对称轴为， 则， 即， 即，结合，解得. 故选：A. 4.（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围. 【详解】因为，时，， 时，， 所以，，， 因为为等差数列，所以，， 从而，， 所以，即， 则当时，恒成立， ，解得或， 只有选项A符合题意， 故选：A 1．（2021·天津和平·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案. 【详解】由，得，因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件， 故选：A． 2．（2024·河北唐山·一模）已知，：“”，：“”，则是的（   ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或， 所以：“或”， 故由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以是的必要但不充分条件. 故选：B 3．（23-24高三上·天津北辰·期中）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出不等式，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】，或， 又即，等价于，解得或， 可得或或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2022·天津·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2024·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】由，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以 又,两式相加可得 故答案为： 7．（2024高三下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集是一个开区间，且区间的长度L满足，求实数m的取值范围（注：开区间的长度）. 【答案】 【分析】设方程的两根为，由，和，结合韦达定理解关于m的不等关系式即可. 【详解】据题意得，设等价于， ，得或， 则，，由得， 即，化简得， ∴ 等价于解得 ∵，，∴m的取值范围是. 1．（2024·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，求得的单调区间，作出的图象，分类讨论求得的解集，结合图象可得的取值范围为. 【详解】对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，， 所以的递增区间为，递减区间为和， 作出图象如图所示： 当时，由，可得， 由图象可知，不存在整数点满足条件， 当时，由，可得， 由图象可知，不存在整数点满足条件， 当时，由，可得， 又， ，， 由的递增区间为，所以， 所以要使有三个整数解，则， 所以关于的不等式有且仅有三个整数解， 则的取值范围为. 故选：A. 2．（2022·河南南阳·模拟预测）已知命题：，恒成立；命题：在上单调递减.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先求出命题、为真和命题、为假时参数的取值范围，依题意可得命题、为一真一假，分别考虑真假和假真时参数的范围，即可得解. 【详解】因为若命题：，恒成立，为真命题，则， 解得，那么命题为假命题时.命题： 在上单调递减，若为真命题，则对称轴，解得， 若命题为假命题，则.若为假命题，为真命题， 则命题题、一真一假，当真假时解集为，当假真时解集为空集. 故选：B 3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【详解】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，从而利用韦达定理即可求解. 【详解】因为开口向上，最小值为， ， 则， 的解集为，所以是的两个不等实根， 即是的两个不等实根， 所以，则， . 故选：D. 5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 6．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解. 【详解】由题意，二次不等式的解集为， 则等价于，即，即， 当时，不能推出， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件， 故选：A 7．（2025高三·全国·专题练习）已知对任意恒成立，则 ． 【答案】/ 【详解】由，可得，从而，再由，，对任意恒成立，利用判别式法求解，得解. 令，解得，故，即， 则，所以对任意恒成立， 所以即解得， 同理对任意恒成立可得， 综上得， 则 故答案为： 1．（江西·高考真题）当时，不等式的解是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由，或， 由，或， 所以不等式的解是或， 故选：A 2．（安徽·高考真题）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】根据图象，由确定，求导后，确定有两个不相等的正实数根，结合函数单调性，韦达定理即可求出答案. 【详解】由图象可知， 有两个不相等的正实数根，且在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 综上：，，，. 故选：A 3．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以 ． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以 ． 故选：C． 4．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合集合的包含关系可解． 【详解】设p：若，则， q：若，则； 则q表示的集合是p表示的集合真子集， 即是必要不充分条件， 故选：B． 5．（天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含绝对值不等式和分式不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】因为或， 或， 所以. 故选：D. 6．（天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系. 【详解】由，可得，即 ； 由，可得或，即 ； ∴是的真子集， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等式与不等式 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2019年天津卷，第10题,5分 解不含参数的一元一次不等式 2017年天津卷，第2题,5分 必要条件的判定及性质解不含参数的一元一次不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小 2.能掌握一元二次不等式的性质 3.掌握一元二次不等式根与系数的关系 4.会解一元二次不等式、能够解决一元二不等式的恒成立与存在成立等问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等。 知识讲解 知识点一.等式与不等式的性质: 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 - >0>， - =0=, - <0<. (2)作商法 , , , 2.等式的性质 (1)对称性:若=，则=. (2)传递性:若=，=，则=. (3)可加性:若=，则+ =+. (4)可乘性:若=，则=;若 =，=d，则= 3.不等式的性质 (1)对称性: > < ; (2)传递性: >，> >; (3)可加性> +c>b+; >, > +c>b+ (4)可乘性: >, c >0>; >, c <0<; >，>>; (5)可乘方: >(nN，n1); (6)可开方> (nN，n2). 知识点二.一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.一元二次不等式的解法 1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． 2.求出相应的一元二次方程的根． 3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决 注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 4.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 考点一、等式与不等式的性质 1．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（2023·山西临汾·模拟预测）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 考点二、比较大小 1. （22-23高三上·天津河东·期中）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·天津河西·期末）若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（    ） A． B． C． D． 考点三、最值与取值范围问题 1. （2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 2. （2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 1. （2024高三·全国·专题练习）若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是 ． 2. （2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 3.（23-24高三下·重庆渝北·阶段练习）已知三个实数、、，其中且，则的最大值为 ． 4.（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 5.（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 . 考点四、一元二次不等式 1.（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 2.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 1.（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知且，若在上恒成立，则（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高三下·上海·阶段练习）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 4.（2023·全国·模拟预测）定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五、一元二次方程跟的分布 1.（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－2 B．1 C．2 D．8 1.（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·北京海淀·模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C．若关于x的不等式的解集为，则 D．若关于x的不等式的解集为，且，则 3.（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）如果二次方程的正根小于3，那么这样的二次方程有 个. 考点六、一元二次不等式恒成立 1.（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 1.（2024高三·全国·专题练习）已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 2.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知对任意实数,不等式恒成立,则实数的值为 ． 3.（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 1．（2021·天津和平·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·河北唐山·一模）已知，：“”，：“”，则是的（   ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三上·天津北辰·期中）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2022·天津·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 ． 7．（2024高三下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集是一个开区间，且区间的长度L满足，求实数m的取值范围（注：开区间的长度）. 1．（2024·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·河南南阳·模拟预测）已知命题：，恒成立；命题：在上单调递减.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025高三·全国·专题练习）已知对任意恒成立，则 ． 1．（江西·高考真题）当时，不等式的解是（    ） A．或 B． C．或 D．或 2．（安徽·高考真题）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$