第05讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（13类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第05讲函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 （13类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第4题,5分 函数奇偶性的定义与判断 求含cosx的函数的奇偶性 2023年天津卷，第4题,5分 函数奇偶性的定义与判断 判断指数型函数的图象形状 识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式 2022年天津卷，第3题,5分 函数奇偶性的应用函数图像的识别 根据解析式直接判断函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。 2.能掌握函数的性质 3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题 4.会解周期性与对称性的运算. 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式，解析式，求和等各种问题。 知识讲解 知识点一.函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3.函数单调性的等价结论 (1) 函数f(x)在区间[a,b]上是增函数： 任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有. (2) 函数f(x)在区间[a,b]上是减函数： 任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)>0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有 （3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． （4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． （5）对勾函数（耐克函数） 形如（，且为常数） 在和上为增函数，在和上为减函数. 对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交）， 另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）. 4.判断函数单调性的四种方法： 1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. 3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. 4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到) (5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法. 易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. ②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结. 知识点二.函数的奇偶性 1. 函数奇偶性的定义： 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 2.判断函数奇偶性的方法 1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性． 2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0. 4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 总结：奇±奇=奇 偶±偶=偶奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 3.函数奇偶性的常用结论 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 知识点三.周期性与对称性 1.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2.中心对称 定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心 3.周期性与对称性的常用结论 （1）函数周期的常见结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0. ①若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； ②若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； ③若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a； ④若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a； （2）对称轴常见类型 ①y=f(x)图像关于直线对称 ② 的图象关于直线对称 ③ 的图象关于直线对称 ④ 的图象关于直线对称 （3）对称中心常见类型 ①f(x+a)+f(b-x)=2cy=f(x)图像关于直线对称 ② 的图象关于点对称 ③ 的图象关于点对称 ④ 的图象关于点对称 （4）周期与对称性的区分 ①若，则具有周期性； ②若，则具有对称性： 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 考点一、函数的单调性 1.（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2.（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 1.（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且、在单调递减，则（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递淢 D．在单调递减 3.（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 考点二、函数的单调区间 1.（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数在区间A上是减函数，那么区间A是 . 1.（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 2.（20-21高三上·陕西汉中·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 3.（2023·海南海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 4.（22-23高三上·北京·阶段练习）能够说明“若在上是增函数，则在上也是增函数”是假命题的一个的解析式 . 5.（23-24高三上·海南儋州·阶段练习）若为奇函数，则的单调递减区间是 . 6.（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）若函数在区间上是严格增函数，而函数在区间上是严格减函数，那么称函数是区间上的”缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.已知函数是区间上的“缓增函数”，若定义为的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”的区间长度最大值为 . 考点三、利用函数的单调性求参数的取值范围 1.（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·吉林·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 3.（2024·全国·模拟预测）命题，命题：函数在上单调，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点四、函数的奇偶性 1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2.（2020·全国·高考真题）设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 1.（2020·全国·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 2.（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 4.（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 考点五、利用函数奇偶性求参数 1.（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2.（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 1.（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 2.（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 3.（23-24高三上·福建莆田·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 4.（2023高三·全国·专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ． 5.（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （    ）． A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 考点六、利用函数奇偶性求解析式 1.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）为定义在上的奇函数，当时，，则时， ． 1.（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 4.（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ． 5.（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 考点七、利用单调性奇偶性解不等式 1.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）定义在上的奇函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1.（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2014·全国·高考真题）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 . 5.（2024·湖南长沙·三模）已知函数则不等式的解集为 . 考点八、函数的对称性 1.（·全国·高考真题）函数的图象关于 A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 2.（2024·四川成都·三模）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 1.（2024·吉林长春·模拟预测）函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 2.（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 3.（23-24高三上·北京·开学考试）下列函数中，没有对称中心的是（    ） A． B． C． D． 4.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数，则下列命题错误的是（    ） A．该函数图象关于点对称； B．该函数的图象关于直线对称； C．该函数在定义域内单调递减； D．将该函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数的图象重合． 考点九、利用函数对称性求解析式 1.（高考真题）与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 2.（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． 1.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 3.（2022·湖北·模拟预测）下列函数与的图象关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 4.（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式 ． 5.（22-23高三上·广东汕头·期末）写出符合如下两个条件的一个函数 ．①，②在内单调递增． 6.（20-21高三上·北京西城·期中）函数的图象与曲线关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 考点十、函数的周期性 1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 2.（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 1.（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知实数，函数的定义域为，则“对任意的，都有”是“是函数的一个周期”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）关于函数的周期有如下三个命题： 甲：已知函数和定义域均为，最小正周期分别为、，如果，则函数一定是周期函数； 乙：不是周期函数，一定不是周期函数； 丙：函数在上是周期函数，则函数在上也是周期函数. 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），则函数f（x）的周期为 ． 4.（22-23高三·全国·对口高考）若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为 ． 考点十一、奇偶性与周期性求值 1.（23-24高三下·云南·阶段练习）定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（    ） A． B． C． D．1 2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C． D． 1.（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·贵州黔西·一模）已知，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 3.（2020·重庆沙坪坝·模拟预测）定义在R上的奇函数满足，且时，，则（    ） A． B．1 C．7 D． 4.（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数满足对任意实数都有，成立，若，则 ． 5.（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，当时，，则 . 考点十二、奇偶性与周期性求参数 1.2024·全国·模拟预测）若函数的图象关于点对称，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2.（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 1.（2023·江西南昌·三模）若实数满足，则（   ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 2.（2023·山西临汾·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 3.（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数满足：对，都有，则a+b为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，，，则 ． 5.（23-24高三上·广东东莞·期末）若函数的图象关于对称，则 ，的最小值为 ． 6.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数关于直线对称，则 ． 考点十三、奇偶性与周期性解不等式 1.（2022·四川凉山·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2022·湖北十堰·模拟预测）已知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（2022·上海·模拟预测）设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，，则不等式组的解集为 . 5.（2022·江西景德镇·三模）周期为4的函数满足，且当时，则不等式在上的解集为 ； 6.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数在上单调递增，若，且，则的解集为 . 1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 2．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 4．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 5．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 . 6．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 7．（2024·云南曲靖·模拟预测）写出满足为上的偶函数且的一个函数解析式： ； 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·三模）定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（     ） A． B． C． 是偶函数 D． 是增函数 3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则 . 7．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 1.（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ． 2.（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 3.（2020·全国·高考真题）已知函数=sinx+，则（） A．的最小值为2 B．)的图象关于y轴对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 4.（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 （13类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第4题,5分 函数奇偶性的定义与判断 求含cosx的函数的奇偶性 2023年天津卷，第4题,5分 函数奇偶性的定义与判断 判断指数型函数的图象形状 识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式 2022年天津卷，第3题,5分 函数奇偶性的应用函数图像的识别 根据解析式直接判断函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。 2.能掌握函数的性质 3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题 4.会解周期性与对称性的运算. 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式，解析式，求和等各种问题。 知识讲解 知识点一.函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3.函数单调性的等价结论 (1) 函数f(x)在区间[a,b]上是增函数： 任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有. (2) 函数f(x)在区间[a,b]上是减函数： 任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)>0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有 （3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． （4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． （5）对勾函数（耐克函数） 形如（，且为常数） 在和上为增函数，在和上为减函数. 对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交）， 另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）. 4.判断函数单调性的四种方法： 1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. 3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. 4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到) (5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法. 易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. ②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结. 知识点二.函数的奇偶性 1. 函数奇偶性的定义： 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 2.判断函数奇偶性的方法 1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性． 2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0. 4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 总结：奇±奇=奇 偶±偶=偶奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 3.函数奇偶性的常用结论 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 知识点三.周期性与对称性 1.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2.中心对称 定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心 3.周期性与对称性的常用结论 （1）函数周期的常见结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0. ①若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； ②若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； ③若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a； ④若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a； （2）对称轴常见类型 ①y=f(x)图像关于直线对称 ② 的图象关于直线对称 ③ 的图象关于直线对称 ④ 的图象关于直线对称 （3）对称中心常见类型 ①f(x+a)+f(b-x)=2cy=f(x)图像关于直线对称 ② 的图象关于点对称 ③ 的图象关于点对称 ④ 的图象关于点对称 （4）周期与对称性的区分 ①若，则具有周期性； ②若，则具有对称性： 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 考点一、函数的单调性 1.（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2.（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 1.（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 2.（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且、在单调递减，则（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递淢 D．在单调递减 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可. 【详解】由题意知在单调递增，为奇函数，在上单调递减. 设，则，， 所以在单调递增，故A错误， 设，则，， 所以在单调递增，故B错误； 设，则，， 所以在单调递减，故C正确； 取，则，，， 此时在不单调递减，故D错误. 故选：C. 3.（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性分析可知在区间上单调递减，进而逐项分析判断即可. 【详解】因为开口向下，对称轴为， 可知内层函数在区间上单调递增， 当，；当，； 可知， 又因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减. 对于选项A：因为函数在区间上单调递减，故A正确； 对于选项B：因为，则在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增，故D错误. 故选：A. 4.（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 考点二、函数的单调区间 1.（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质即可求解. 【详解】由反比例函数的性质可得函数的单调递减区间为（－∞，0），（0，＋∞）. 故选：D. 2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数在区间A上是减函数，那么区间A是 . 【答案】，(答案不唯一） 【分析】化简函数为，作出其图象，数形结合，即可得答案. 【详解】由题意得， 作出其图像如图： 由图像可知函数在区间，上是减函数， 故区间A是，，或其子集 故答案为：， 1.（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】作出的图像，根据图像即可求出结果. 【详解】由，得到或， 函数的图像如图所示， 由图知，函数的单调递减区间为， 故答案为：.      2.（20-21高三上·陕西汉中·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】/ 【分析】由复合函数单调性进行求解. 【详解】因为在R上单调递增，故的单调递增区间即为的单调递增区间， 的对称轴为，故或为的单调递增区间， 故的单调递增区间为或. 故答案为： 3.（2023·海南海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增， 又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到， 所以函数的单调增区间是． 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系． 4.（22-23高三上·北京·阶段练习）能够说明“若在上是增函数，则在上也是增函数”是假命题的一个的解析式 . 【答案】x(答案不唯一，符合题意即可) 【分析】根据单调性的概念分析理解. 【详解】例如：在上是增函数，则在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是增函数 故答案为：x (答案不唯一，符合题意即可). 5.（23-24高三上·海南儋州·阶段练习）若为奇函数，则的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】由奇函数得，解出值，再由复合函数单调性可得减区间. 【详解】由，为奇函数， 则，解得， 当时，， 则，满足题意. 当时，， 由解得，或， 令， 当时，单调递减，单调递增， 则单调递减； 当时，单调递增，单调递增， 则单调递增； 则的单调递减区间是. 故答案为：. 6.（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）若函数在区间上是严格增函数，而函数在区间上是严格减函数，那么称函数是区间上的”缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.已知函数是区间上的“缓增函数”，若定义为的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”的区间长度最大值为 . 【答案】 【分析】分别求出函数的单增区间，再求出的单减区间，即可求出函数的“缓增区间”，进而求出“缓增区间”的区间长度最大值. 【详解】二次函数的单增区间是. 而. 由对勾函数的性质可知：的单减区间为，. 所以及其非空真子集均为函数的“缓增区间”，其中区间的长度最长，为. 所以满足条件的“缓增区间”的区间长度最大值为. 故答案为：. 考点三、利用函数的单调性求参数的取值范围 1.（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2.（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 1.（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 2.（2024·吉林·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可得在上单调递减且恒大于0，可得，计算可求实数的取值范围. 【详解】函数在上单调递减， 由函数在定义域内单调递增， 所以函数在上单调递减且恒大于0， 则有，解得. 故实数的取值范围是. 3.（2024·全国·模拟预测）命题，命题：函数在上单调，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增，因此充分性成立． 必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，所以，则，此时函数在上单调递减． 综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立．所以是的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题为真命题时，参数的取值范围，对参数进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点. 考点四、函数的奇偶性 1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2.（2020·全国·高考真题）设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 1.（2020·全国·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 2.（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】，则为偶函数，但在区间上单调递减， 故A错误； 为偶函数，但在区间上不具有单调性， 故B错误； 的定义域为，且， 则为偶函数，令，当时，则， 则，由对勾函数的性质可知，在单调递增， 所以在区间上单调递增，故C正确； 为奇函数，故D错误； 故选：C 3.（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 4.（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断. 【详解】是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的； 是偶函数，所以选项B是错误的； 既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的； 满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的； 故选：D. 考点五、利用函数奇偶性求参数 1.（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 2.（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 1.（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】构造函数，证明为奇函数，从而得到，即可求出的值. 【详解】令，定义域为， 因为在上的最大值和最小值分别为，， 所以在上的最大值和最小值分别为，， 因为， 所以为奇函数，的图象关于原点对称， 所以的最大值和最小值互为相反数，即， 所以， 故选：A. 2.（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 3.（23-24高三上·福建莆田·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 【答案】 【分析】 将函数解析式化为，设，则，记，则为奇函数，根据奇函数的性质及，即可求得的值. 【详解】因为， 设， 则， 设， 则， 所以是上的奇函数，最大值为，最小值为， 所以， 由，得， 故答案为： 4.（2023高三·全国·专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ． 【答案】2 【分析】 根据三角恒等变换和分类常量法可得 ，由函数的奇偶性可知为奇函数，则，进而，即可求解. 【详解】 当时，，当或时，， 所以的定义域为. 又 ， 设，则，∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为N， 则，则的最大数值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为，得． 故答案为：2． 5.（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （    ）． A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值. 【详解】因为是奇函数，所以在区间 上的单调性与在上的单调性相同，也是增函数，在上的最小值5，即， 所以在区间上的最大值为. 故选：. 考点六、利用函数奇偶性求解析式 1.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数定义，结合的解析式直接求解即可. 【详解】当时，，， 又为奇函数，， 即当时，. 故选：B. 2.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）为定义在上的奇函数，当时，，则时， ． 【答案】 【分析】由时，得到，从而，再利用为定义在上的奇函数求解. 【详解】解：当时，， 则， 因为为定义在上的奇函数， 所以． 故答案为： 1.（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即 ，. 即. 故选：C 2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由函数的奇偶性可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，为奇函数，为偶函数， 则， 所以，即， 解得. 故选：B 3.（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 【答案】27 【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数， 而，① 所以，即，② 由①②得，所以． 故答案为：. 4.（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】 首先根据，求，再根据，求，即可求得函数的解析式. 【详解】由奇函数的性质可知，，即， 又，得， 所以. 故答案为： 5.（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当时要单调独验证. 【详解】解：当，又因为为上的奇函数， 所以，解得， 又，所以当． 故答案为：. 考点七、利用单调性奇偶性解不等式 1.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）定义在上的奇函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知在上单调递增，结合奇函数的对称性可得在上单调递增，根据题意分析的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为对任意的，， 可知在上单调递增， 且为定义在上的奇函数，则在上单调递增， 又因为，且，则有： 当时，，可得，解得； 当时，，可得，解得； 当时，，符合题意； 综上所述：不等式的解集为． 故选：C. 2.（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【详解】，所以，即为偶函数， 对函数，，则 ， 因为，所以，，所以，故在上恒成立. 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增. 所以 ， 所以 ，解得或． 故选：B 1.（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 2.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可. 【详解】由，可得， 因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以， 故不等式的解集为． 故选：D 3.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断在上的单调性，再由其为偶函数将转化为，则可得，从而可求得的取值范围 【详解】因为和在上均单调递增， 所以在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数， 所以可化为， 所以，解得． 故选：D 4.（2014·全国·高考真题）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得. 考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键. 5.（2024·湖南长沙·三模）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得在上单调递增，令，不等式为变为，利用单调性可得不等式的解集. 【详解】函数在上单调递增， 又在上单调递增，又， 所以在上单调递增. 设，可得在上单调递增. 又，所以原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 考点八、函数的对称性 1.（·全国·高考真题）函数的图象关于 A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】C 【详解】是奇函数，所以图象关于原点对称． 2.（2024·四川成都·三模）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】首先得到曲线关于的对称曲线为，再对比系数得到方程求出，即可得解. 【详解】因为曲线关于的对称曲线为，即， 与对比系数可知，解得， 所以函数与的图象关于对称． 故选：D 1.（2024·吉林长春·模拟预测）函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的对称中心为，利用对任意恒成立，即可求出和. 【详解】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有， 即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 故答案为：B. 2.（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 3.（23-24高三上·北京·开学考试）下列函数中，没有对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数图像及性质分别判断各个选项即可. 【详解】的对称中心是,A不正确; 的对称中心是,B不正确; 的对称中心是,C不正确; 结合指数型函数的图像可知函数无对称中心,D选项正确. 故选：D. 4.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数，则下列命题错误的是（    ） A．该函数图象关于点对称； B．该函数的图象关于直线对称； C．该函数在定义域内单调递减； D．将该函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数的图象重合． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据函数的平移变换及反比例函数的性质判断即可. 【详解】解： 把向右，向上分别平移1个单位即可得到的图象， 因为为奇函数，关于对称，所以的图象关于点对称，故A正确； 则将的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，故D正确 由于函数的图象关于对称，根据函数的图象的平移可知函数的图象关于对称，故B正确 在，上单调递减，但在整个定义域内不具备单调性，故C错误 故选：C． 考点九、利用函数对称性求解析式 1.（高考真题）与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，可知点在曲线，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得结果. 【详解】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点， 则点关于原点的对称点在曲线上，所以，， 化简得， 因此，与曲线关于原点对称的曲线为. 故选：A. 2.（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可． 详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点． 故选项B正确 点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题． 1.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的性质进行求解即可. 【详解】函数的图象关于原点对称的是， 故选：D 2.（22-23高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求函数的图象上任意一点，求得关于对称的点为，代入已知函数，即可求解. 【详解】设所求函数的图象上任意一点，则点关于对称的点为， 由题意知点Q在的图象上，可得， 即函数关于对称的函数解析式为． 故选：D． 3.（2022·湖北·模拟预测）下列函数与的图象关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令与关于原点对称，根据即可求对称函数解析式. 【详解】令，与关于原点对称，则， 所以. 故选：C 4.（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】可利用关于原点对称的图象，再把对称中心平移到点即可得． 【详解】的图象关于原点对称，则的图象关于点对称．同样如函数也满足题意． 故答案为：（答案不唯一）． 5.（22-23高三上·广东汕头·期末）写出符合如下两个条件的一个函数 ．①，②在内单调递增． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出对称轴，再结合单调性即可． 【详解】 函数的图象关于对称， 又函数在内单调递增， 符合条件的一个函数解析式可以是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 6.（20-21高三上·北京西城·期中）函数的图象与曲线关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】任取函数上的一点，先求出点关于轴对称的点坐标为，又点在曲线上，整理即可得出结果. 【详解】任取函数上的一点， 由函数的图象与曲线关于轴对称， 则点关于轴对称的点坐标为， 又点在曲线上， 可得， 则. 故选：D. 【点睛】关键点睛：求出点关于轴对称的点坐标是解题的关键. 考点十、函数的周期性 1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据函数周期的定义，求解即可． 【详解】因为的周期是3， 所以，令， 则，所以的周期为6， 故选：C． 2.（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【答案】D 【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D. 【分析】对于A，因为或均为有理数， 所以，故没有零点，A错误， 对于B，因为，所以， 故不是单调函数，B错误， 对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以， 故是偶函数，C错误， 对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数， 所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确， 故选：D. 1.（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知实数，函数的定义域为，则“对任意的，都有”是“是函数的一个周期”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性的定义，结合周期性判断题设条件间的推出关系. 【详解】由有且，故是的一个周期，充分性成立； 由是函数的一个周期，则，即，而不一定成立，即不一定成立，必要性不成立； 所以“对任意的，都有”是“是函数的一个周期”的充分不必要条件. 故选：B 2.（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）关于函数的周期有如下三个命题： 甲：已知函数和定义域均为，最小正周期分别为、，如果，则函数一定是周期函数； 乙：不是周期函数，一定不是周期函数； 丙：函数在上是周期函数，则函数在上也是周期函数. 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】根据周期的定义，依次判断即可. 【详解】对甲：设，，则，设，对于任意的，则 ，故甲说法正确； 对乙：不是周期函数，但是周期函数，故乙说法错误； 对丙：函数在上是周期函数，则存在非零常数，对任意都有，故当时，也有， 即仍是周期为的函数，故丙说法正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查对周期的定义的运用，属于中档题. 3.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），则函数f（x）的周期为 ． 【答案】2 【分析】利用已知条件进行代换即可得到答案. 【详解】已知，用替换式子中的可得，由周期定义可得函数的周期为2， 故答案为：2 4.（22-23高三·全国·对口高考）若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为 ． 【答案】/ 【分析】令，利用函数周期性的定义推导可得出结论. 【详解】令，对任意的，存在常数， 使得，即， 故函数的一个周期为，即函数的一个正周期为. 故答案为：. 考点十一、奇偶性与周期性求值 1.（23-24高三下·云南·阶段练习）定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意求得周期，再根据代入求解即可. 【详解】因为函数为奇函数，则， 即，可得． 又因为，则， 所以，可得， 则，即， 所以. 故选：B． 2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数性质对函数依次赋值即可求解. 【详解】由题为奇函数，则， 所以， 所以关于对称， 所以， 故选：D. 1.（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得关于对称，进一步求得，结合条件求得，可求得. 【详解】由，可知关于对称，又，则， 又，则， ，. 故选：A. 2.（2024·贵州黔西·一模）已知，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，推得，得到是周期为的周期函数，再由，，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且， 所以，即， 又因为，可得， 即，则，所以， 所以函数是周期为的周期函数， 因为，，可得，， 所以. 故选：C. 3.（2020·重庆沙坪坝·模拟预测）定义在R上的奇函数满足，且时，，则（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】由题可得，然后结合奇偶性，即可利用解析式求出答案. 【详解】， ， 又是奇函数，且时，， ， ， 故选：A. 【点睛】本题综合考查了函数奇偶性和对称性的应用，考查简单的指、对数计算，难度不大. 4.（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数满足对任意实数都有，成立，若，则 ． 【答案】 【分析】由可得函数的对称性，再对中的进行赋值，依次得到，，，，即可求出. 【详解】由可得函数图象关于直线对称， 因，故，在中，令，代入可得， 再令，代入可得，再令，代入可得，， 故令，代入可得，故. 故答案为：. 5.（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，当时，，则 . 【答案】2 【分析】由题意条件得到的图象关于直线对称，从而得到，再代入求值即可. 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 而函数的图象关于直线对称，所以， 所以， 所以. 故答案为：2 考点十二、奇偶性与周期性求参数 1.2024·全国·模拟预测）若函数的图象关于点对称，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】特殊值法：由图象关于点对称可得代入计算求解，然后检验即可. 【详解】解：的图象关于点对称， ，即， 解得， 经检验知的图象关于点对称， 故选：C. 2.（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【详解】由对称中心性质可知函数满足， 即， 整理可得，即， 解得. 故选：C 1.（2023·江西南昌·三模）若实数满足，则（   ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【答案】A 【分析】根据给定等式构造函数，探讨函数的对称性及单调性，由此计算得解. 【详解】令函数，求导得， 则函数在R上单调递增， 又 ，因此函数的图象关于点对称， 由，得，即， 所以. 故选：A 2.（2023·山西临汾·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】变形给定等式，构造函数并探讨函数性质推理计算即得. 【详解】由，得，令函数， 由，得，令函数， 在函数图象上任取点，该点关于直线对称点， 显然，而， 即点在函数的图象上，因此函数图象与函数的图象关于直线对称， 而点在函数的图象上，点在函数的图象上， 又函数在R上单调递减，函数在R上单调递增，所以的值唯一， 于是点与点关于直线对称，所以. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为R，则函数与的图象关于直线对称. 3.（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数满足：对，都有，则a+b为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意易得方程组，解出方程组即可得结果. 【详解】因为函数满足：对，都有， 所以，即，解得， 经检验满足题意，所以， 故选：C. 4.（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定函数，探讨其图象的对称中心，再利用对称性求出. 【详解】设函数图象的对称中心为，则有， 即， 整理得，比较系数可得， 因此函数图象的对称中心为，又，，且， 则点关于对称，所以. 故答案为：6 5.（23-24高三上·广东东莞·期末）若函数的图象关于对称，则 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】由函数的对称性可知，方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，可得出的值，变形可得出，令，利用二次函数的基本性质求出在时的最小值，即可得出函数的最小值. 【详解】因为函数的图象关于对称， 令，可得，可得或， 由对称性可知，方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，， 则， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 因为， 令，令， 所以，. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程有两个根，利用的对称性求得有对应的两个根，从而求得，由此得解. 6.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】先通过定义域关于直线对称求出，再通过求出，证明函数关于直线对称后，代入值求即可. 【详解】函数的定义域为， 又函数关于直线对称，即定义域也关于直线对称， ， ， 解得， 证明：关于直线对称， ， 故关于直线对称， . 故答案为：. 考点十三、奇偶性与周期性解不等式 1.（2022·四川凉山·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得函数是周期为4的函数，且图象关于对称，进而画出函数的图象，得到当时，求得的解，进而求得不等式的解集. 【详解】由题意，函数满足，可得， 所以函数是周期为4的函数， 又由为上的奇函数，可得， 所以，可得函数的图象关于对称， 因为当时， 可函数的图象，如图所示， 当时，令，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 2.（2022·湖北十堰·模拟预测）已知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是偶函数得到的图像关于直线对称，由函数单调性结合得到，及上单调递增，画出和的图象，数形结合求出不等式的解集. 【详解】由是偶函数知的图像关于直线对称， 再根据在区间内单调递减和知: 在区间内单调递增，， 则函数和的大致图像如图所示， 由图象可知：当时，， 故的解集为． 故选：B． 1.（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，问题转化为，再判断函数的单调性，利用单调性求解即可得解. 【详解】，，， 所以不等式可转化为， 又在R上单调递增，在R上单调递增， 进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增， ，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 2.（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先根据的图象关于点对称，得出是定义在上的奇函数，由对任意的，，，满足，得出在上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可． 【详解】 的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数， 对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减， 又所以，且， 所以当时，；当时，， 所以由可得或或， 解得或，即不等式的解集为． 故选：C. 3.（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合图象平移得到的图象，结合图象即可求解. 【详解】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到， 因为是偶函数，则其图象关于轴对称， 所以的图象关于直线对称， 又在上单调递增，则在上单调递减， 又，则有， 当，即时，需， 解得或； 当，即时，需，无解； 综上，不等式的解集为. 故选：D 4.（2022·上海·模拟预测）设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，，则不等式组的解集为 . 【答案】 【分析】首先根据函数的周期性和奇偶性得到区间上严格递增，又根据，，从而得到，再根据单调性求解即可. 【详解】因为是偶函数，且在区间上严格递减， 所以区间上严格递增， 又因为的周期为，所以区间上严格递增. 又因为，， 所以， 解得. 故答案为： 5.（2022·江西景德镇·三模）周期为4的函数满足，且当时，则不等式在上的解集为 ； 【答案】 【分析】由周期性及已知确定函数是偶函数，再说明函数在是增函数，然后利用奇偶性与单调性解不等式． 【详解】周期是4，则，所以是偶函数， 时，是增函数，且， 不等式化为， 所以，． 故答案为：． 6.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数在上单调递增，若，且，则的解集为 . 【答案】 【分析】依题意可得的图像关于点对称，即可得到，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】解：因为，所以的图像关于点对称， 因为，所以，又在上单调递增， 所以等价于，所以，即， 所以原不等式的解集为； 故答案为： 1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，结合对数的运算性质计算即可求解. 【详解】因为为R上的奇函数，所以， 即， 整理得，解得. 故选：C 2．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为， 由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意， 所以当时，， 所以. 故选：D. 3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以的图象关于对称， 令，则， 可得函数的图象关于对称， 所以函数的图象关于对称， 则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个， 则. 故选：D. 4．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 【答案】C 【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数与，如果它们的图象关于原点对称，即在定义域内恒成立，则称与为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】令函数， 所以 即，所以函数与的的图象关于原点对称， 即函数与的图象的的图象关于原点对称， 故选：C. 5．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 . 【答案】 【分析】由题意可得且，直接计算即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为，则. 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以. 故答案为： 6．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得. 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 7．（2024·云南曲靖·模拟预测）写出满足为上的偶函数且的一个函数解析式： ； 【答案】（答案不唯一） 【分析】先由题给条件求得的图象性质，结合及二次函数的对称性得到其可能的解析式. 【详解】由为上的偶函数可得，所以， 则的图象关于直线对称， 又，结合二次函数性质可得，（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用偶函数定义判断为偶函数，再利用导数得到在上单调递减，则不等式等价于，利用函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ，所以为偶函数， 由得， 当时，，，， 有， ，，， 有，故， 所以在上单调递减，又， 所以等价于，由偶函数性质得，所以， 所以，故不等式的解集为. 故选：D 2．（2024·山东青岛·三模）定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（     ） A． B． C． 是偶函数 D． 是增函数 【答案】B 【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假. 【详解】A选项，取，则，，显然，所以A不正确； B选项，设表示不超过的最大整数，所以， 所以，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； C选项，，因为， 所以，所以不是偶函数，故C错误； D选项，所以，所以不是增函数，故D错误. 故选：B. 3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】由题意令，可得，令，可得，可得关于对称，据此逐项判断可得结论. 【详解】令，则，，所以， 令，则， 即，又， 所以关于对称， 所以关于对称，故A不正确； 关于对称，故B不正确； 由A可知关于对称，故C不正确； 由A可知关于对称，故为奇函数， 所以为偶数，故D正确. 故选：D. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；令，可得，进而可求，判断B；由B可得，可判断CD； 【详解】对于A：令，得，即，所以或． 当时，不恒成立，故，故A错误． 对于B：解法一：令，得，又， 所以，故，故B错误． 解法二 ：令，得，又，所以，故B错误． 对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确． 故选：D. 5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答. 【详解】因为关于对称，有， 令，则，的图象关于对称. 由为偶函数，得，则的图象于对称， 因为， 所以， 即，则的图象关于对称. 所以，又， 所以，所以， 所以，所以为的一个周期， 因为图象关于对称，所以， 故， 所以由，得. 故选：C. 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求得的周期为，再由是偶函数，得到，进而求得的值. 【详解】因为是偶函数，又因为，其中为奇函数， 所以必为奇函数，既有， 又因为，所以，， 所以函数的周期为， 由函数是偶函数，可得，即， 所以. 故答案为：. 7．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果. 【详解】由已知得：， 所以，即 则不等式等价于， 再由， 可得在上单调递增，所以，解得， 故答案为：. 1.（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求参数. 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 2.（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 3.（2020·全国·高考真题）已知函数=sinx+，则（） A．的最小值为2 B．)的图象关于y轴对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D. 【详解】可以为负，所以A错； 关于原点对称； 故B错； 关于直线对称，故C错，D对 故选：D 【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题. 4.（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 5．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 6．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 7．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，A选项错误； 又当时，，C选项错误； 当时，函数单调递增，故B选项错误； 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$